资源描述
,-,#,-,函数习题课,函数习题课,函数习题课,1,.,能掌握函数的定义、三要素及其表示,.,2,.,会求函数的定义域、值域、最值,.,3,.,能利用函数单调性、奇偶性的定义研究函数的性质,.,4,.,能解决简单的抽象函数问题,.,1.能掌握函数的定义、三要素及其表示.,1,.,函数的三要素,:,定义域,、,值域,、,对应关系,.,函数,f,(,x,),的值域为,1,2,.,答案,:,1,2,1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.函数f(x)的值,2,.,函数的表示法,:,图象法,、,列表法,、,解析法,.,【做一做,2,】,已知函数,f,(,x+,1),=x,则函数,f,(,x,),的图象是,(,),解析,:,f,(,x+,1),=x,f,(,x+,1),=,(,x+,1),-,1,.,f,(,x,),=x-,1,.,f,(,x,),=x-,1,的图象如图所示,.,故选,C,.,答案,:,C,2.函数的表示法:图象法、列表法、解析法.解析:f(x+1,3,.,函数的单调性,:,一般地,设函数,f,(,x,),的定义域为,I,:,如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量的值,x,1,x,2,当,x,1,x,2,时,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),那么就说函数,f,(,x,),在区间,D,上是,增函数,;,如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量的值,x,1,x,2,当,x,1,f,(,x,2,),那么就说函数,f,(,x,),在区间,D,上是减函数,.,【做一做,3,-,1,】,下列函数在区间,(0,+,),内为增函数的是,(,),解析,:,对于,B,函数,y=x,2,+,2,x,为二次函数,且图象开口向上,对称轴为,x=-,1,故函数,y=x,2,+,2,x,在,(0,+,),内为增函数,;A,C,D,在,(0,+,),内均为减函数,.,答案,:,B,3.函数的单调性:一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对,【做一做,3,-,2,】,已知函数,f,(,x,),=|,2,x-,1,|,则函数,f,(,x,),的递减区间是,.,【做一做3-2】已知函数f(x)=|2x-1|,则函数f(,4,.,函数的奇偶性,:,一般地,如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,都有,f,(,-x,),=f,(,x,),那么函数,f,(,x,),就叫做偶函数,.,一般地,如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,都有,f,(,-x,),=-f,(,x,),那么函数,f,(,x,),就叫做奇函数,.,【做一做,4,】,已知函数,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数,.,当,x,0,时,f,(,x,),=-x,2,+,2,x,则,f,(1),=,.,解析,:,当,x,0,时,f,(,x,),与,af,(,x,),具有相同的单调性,;,当,a,0,时,f,(,x,),与,af,(,x,),具有相反的单调性,.,(5),当,f,(,x,),g,(,x,),都是增,(,减,),函数时,f,(,x,),+g,(,x,),也是增,(,减,),函数,.,1.利用函数单调性的性质判断函数的单调性(5)当f(x),g,2,.,函数奇偶性的判断方法,剖析,:(1),定义法,根据函数奇偶性的定义进行判断,步骤如下,:,判断函数,f,(,x,),的定义域是否关于原点对称,.,若不对称,则函数,f,(,x,),为非奇非偶函数,;,若对称,则进行下一步,.,验证,.f,(,-x,),=-f,(,x,),或,f,(,-x,),=f,(,x,),.,下结论,.,若,f,(,-x,),=-f,(,x,),则,f,(,x,),为奇函数,;,若,f,(,-x,),=f,(,x,),则,f,(,x,),为偶函数,;,若,f,(,-x,),-f,(,x,),且,f,(,-x,),f,(,x,),则,f,(,x,),为非奇非偶函数,;,若,f,(,-x,),=-f,(,x,),且,f,(,-x,),=f,(,x,),则,f,(,x,),既是奇函数也是偶函数,.,2.函数奇偶性的判断方法,(2),图象法,f,(,x,),是奇,(,偶,),函数的条件是,f,(,x,),的图象关于原点,(,y,轴,),对称,.,(3),性质法,偶函数的和、差、积、商,(,分母不为零,),仍为偶函数,;,奇函数的和、差仍为奇函数,;,奇,(,偶,),数个奇函数的积、商,(,分母不为零,),为奇,(,偶,),函数,;,一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数,.,(2)图象法,题型一,题型二,题型三,题型四,求函数的定义域和函数,值,故,x=-,1,或,x=,3,.,答案,:,(1),x|x,4,且,x,-,1,(2),-,1,或,3,题型一题型二题型三题型四求函数的定义域和函数值故x=-1或x,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,1,.,求函数的定义域就是求使函数,解析式,有意义的自变量的取值集合,.,如果函数的,解析式,是由几部分组成,那么它的定义域就是使各部分有意义的自变量的取值集合的交集,.,定义域的表示方法与集合的表示方法相同,.,2,.,对于分段函数的函数值,应采用分类讨论思想即分段进行求解,.,各段独立进行,分别讨论求解,.,题型一题型二题型三题型四反思1.求函数的定义域就是求使函数解,题型一,题型二,题型三,题型四,解析,:,(1),根据题意知,g,(,x,),的定义域为,B=,x|x,0,则当,n,N,*,时,有,(,),A,.f,(,-n,),f,(,n-,1),f,(,n+,1),B,.f,(,n-,1),f,(,-n,),f,(,n+,1),C,.f,(,n+,1),f,(,-n,),f,(,n-,1),D,.f,(,n+,1),f,(,n-,1),f,(,-n,),(2),已知函数,y=f,(,x,),是定义在,-,1,1,上的奇函数,又是减函数,.,若,f,(1,-a,2,),+f,(1,-a,),0,得,f,(,x,),在区间,(,-,0,上为增函数,.,f,(,x,),为偶函数,f,(,x,),在区间,0,+,),内为减函数,.,又,f,(,-n,),=f,(,n,),且,0,n-,1,nn+,1,f,(,n+,1),f,(,n,),f,(,n-,1),即,f,(,n+,1),f,(,-n,),f,(,n-,1),.,答案,:,C,题型一题型二题型三题型四(1)解析:由(x2-x1)f(x,题型一,题型二,题型三,题型四,(2),解,:,由,f,(1,-a,2,),+f,(1,-a,),0,得,f,(1,-a,2,),-f,(1,-a,),.,y=f,(,x,),在区间,-,1,1,上是奇函数,-f,(1,-a,),=f,(,a-,1),f,(1,-a,2,),f,(,a-,1),.,又,f,(,x,),在定义域,-,1,1,上单调递减,0,a,1,.,a,的取值范围是,0,1,),.,题型一题型二题型三题型四(2)解:由f(1-a2)+f(1-,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,奇偶性与单调性综合的两种题型及解法,1,.,比较大小问题,一般解法是先利用奇偶性,将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值,转化为其对称区间上的函数值,使其在同一单调区间上,然后利用单调性比较大小,.,2,.,抽象不等式问题,解题步骤是,:(1),将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系,;(2),利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性,“,脱去,”,函数的符号,“,f,”,转化为解不等式,(,组,),的问题,.,需要注意的是,:,在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上,;,当不等式一边没有符号,“,f,”,时,需转化为含符号,“,f,”,的形式,如,0,=f,(1),f,(,x-,1),0,则,f,(,x-,1),f,(3),f,(,-,2)B.,f,(,-,),f,(,-,2),f,(3),C.,f,(3),f,(,-,2),f,(,-,)D.,f,(3),f,(,-,),f,(,-,2),(2),已知偶函数,f,(,x,),在区间,0,+,),内单调递增,则满足,f,(2,x-,1),题型一题型二题型三题型四【变式训练3】(1)设f(x)是R,题型一,题型二,题型三,题型四,解析,:,(1),f,(,x,),是,R,上的偶函数,f,(,-,2),=f,(2),f,(,-,),=f,(,),又,f,(,x,),在区间,0,+,),上单调递增,且,2,3,f,(3),f,(2),即,f,(,-,),f,(3),f,(,-,2),.,(2),由于,f,(,x,),为偶函数,且在,0,+,),上单调递增,答案,:,(1)A,(,2)A,题型一题型二题型三题型四解析:(1)f(x)是R上的偶函数,题型一,题型二,题型三,题型四,抽象函数的单调性与奇偶性问题,【例,4,】,设函数,f,(,x,),对任意,x,y,R,都有,f,(,x+y,),=f,(,x,),+f,(,y,),且当,x,0,时,f,(,x,),0,f,(1),=-,2,.,(1),求证,:,f,(,x,),是奇函数,.,(2),试问,:,当,-,3,x,3,时,f,(,x,),是否有最值,?,如果有,求出最值,;,如果没有,请说明理由,.,分析,:,(1),f,(,x+y,),=f,(,x,),+f,(,y,),对一切,x,y,R,均成立,先计算,f,(0),再令,y=-x,可证得,f,(,x,),为奇函数,.,(2),利用函数的单调性来确定是否存在最值,.,题型一题型二题型三题型四抽象函数的单调性与奇偶性问题,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,(1),令,x=y=,0,则有,f,(0,+,0),=f,(0),+f,(0),即,f,(0),=,2,f,(0),解得,f,(0),=,0,.,令,y=-x,则有,0,=f,(0),=f,(,x,),+f,(,-x,),故,f,(,x,),为奇函数,.,(2),任取,x,1,x,2,且,-,3,x,1,0,.,由题意得,f,(,x,2,-x,1,),0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,),在区间,-,3,3,上为减函数,.,f,(3),为函数的最小值,f,(,-,3),为函数的最大值,.,f,(3),=f,(1,+,1,+,1),=,3,f,(1),=-,6,f,(,-,3),=-f,(3),=,6,当,-,3,x,3,时,函数,f,(,x,),的最大值、最小值分别为,6,-,6,.,题型一题型二题型三题型四解:(1)令x=y=0,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,抽象函数奇偶性和单调性的判断方法,1,.,判断或证明抽象函数的奇偶性,需利用奇函数、偶函数的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑,找出,f,(,x,),与,f,(,-x,),的关系,.,2,.,判断或证明抽象函数的单调性,通常有两种方法,.,一种是,“,凑,”,凑定义或凑已知,从而使用定义或已知条件得出结论,;,另一种是,“,赋值,”,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试,.,注意,:,若给出的是和型,(,f,(,x+y,),=,),抽象函数,则判定符号时的变形为,f,(,x,2,),-f,(,x,1,),=f,(,x,2,-x,1,),+x,1,),-f,(,x,1,),f,(,x,2,),-f,(,x,1,),=f,(,x,2,),-f,(,x,1,-x,2,),+x,2,);,若给出的是积型,(,f,(,xy,),=,),抽象函数,则判定符号时的变形,为,题型一题型二题型三题型四反思抽象函数奇偶性和单调性的判断方法,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,4,】,已知函数,f,(,x,),的定义域是,(0,+,),当,x,1,时,f,(,x,),0,且,f,(,x,y,),=f,(,x,),+f,(,y,),.,(1),求,f,(1);,(2),证明,:,f,(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