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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称,式,为平面,的,点法式方程,求该平面,的,方程,.,法向量,.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,求过三点,即,解,:,取该平面,的法向量为,的平面,的方程,.,利用点法式得平面,的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此平面的,三点式方程,也可写成,一般情况,:,过三点,的平面方程为,说明,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的,截距式方程,.,时,平面方程为,分析,:,利用三点式,按第一行展开得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为,平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程,与此点法式方程等价,的平面,因此方程,的图形是,法向量为,方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊情形,当,D,=0,时,A x,+,B y,+,C z,=0,表示,通过原点,的平面,;,当,A,=0,时,B y,+,C z,+,D,=0,的法向量,平面平行于,x,轴,;,A x+C z+D,=0,表示,A x+B y+D,=0,表示,C z,+,D,=0,表示,A x,+,D,=0,表示,B y,+,D,=0,表示,平行于,y,轴,的平面,;,平行于,z,轴,的平面,;,平行于,xoy,面 的平面,;,平行于,yoz,面 的平面；,平行于,zox,面 的平面,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、两平面的夹角,设平面,1,的法向量为,平面,2,的法向量为,则两平面夹角,的余弦为,即,两平面法向量的夹角,(,常为锐角,),称为,两平面的夹角,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有下列结论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、空间直线方程,因此其一般式方程,1,.,一般式方程,直线可视为两平面交线，,(,不唯一,),2.,对称式方程,故有,说明,:,某些分母为零时,其分子也理解为零,.,设直线上的动点,则,此式称为直线的,对称式方程,(,也称为,点向式方程,),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,3.,参数式方程,设,得参数式方程,:,解题思路,:,先找直线上一点,;,再找直线的方向向量,.,五、线面间的位置关系,1.,两直线的夹角,则两直线夹角,满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角,(,锐角,),的方向向量分别为,特别有,:,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角,称为直线与平面间的夹角,;,2.,直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线,L,的方向向量为,平面,的法向量为,则直线与平面夹角,满足,直线和它在平面上的投影直,特别有,:,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,代入体积式,所求平面方程为,解,点到平面距离公式,例,1,用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,解,所以交点为,取,所求直线方程,解,先作一过点,M,且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点,N,令,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,内容小结,1.,平面,基本方程,:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,平,面,与平面,之间的关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,空间直线方程,一般式,对称式,参数式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,2.,线与线的关系,直线,夹角公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面,:,L,L/,夹角公式：,3.,面与线间的关系,直线,L,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.,平面束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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