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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1.2 垂直于弦的直径,人教版九年级上册,24.1.2 垂直于弦的直径 人教版九年级上册,问题,:,你知道赵州桥吗,?,它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,创设情境：,问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(,1,、举例什么是轴对称图形。,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。,2,、举例什么是中心对称图形。,把一个图形绕着某一个点旋转,180,，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。,3,、圆是不是轴对称图形？,圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。,复习,1、举例什么是轴对称图形。如果一个图形沿一条直线对折,实践探究,没有任何工具如何找到一个圆形纸片的圆心？,可以利用：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,O,实践探究 没有任何工具如何找到一个圆形纸片的圆,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（,1,）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（,2,）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,思考,（,1,）是轴对称图形直径,CD,所在的直线是它的对称轴,（,2,）线段：,AE=BE,弧：，,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E,C,A,E,B,O,.,D,想一想：,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，,并且平分弦对的两条弧。,CD,为,O,的直径,CDAB,条件,结论,AE=BE,AC=BC,AD=BD,CAEBO.D想一想：垂径定理：CD为O的直径条件结论,O,A,B,C,D,E,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,题设,结论,（,1,）直径,（,2,）垂直于弦,（,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧,（,5,）平分弦所对的劣弧,CD,是直径,CDAB,可推得,AE=BE,AD=BD.,AC=BC,垂直于弦的直径,平分弦，并且平分弦所对的两条弧,OABCDE垂径定理题设结论（1）直径（3）平分弦,垂径定理,三种语言,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧,.,O,A,B,C,D,M,CDAB,3,.,如图,CD,是直径,AM=BM,AC=BC,AD =BD.,2.,条件,CD,为直径,CDAB,CD,平 分 弧,ADB,CD,平分弦,AB,CD,平 分 弧,ACB,结论,垂径定理三种语言定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的,垂径定理的几个基本图形：,CD,过圆心,CDAB,于,E,AE=BE,AC=,BC,AD=,BD,垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CDAB于EAE=BEA,E,O,A,B,D,C,E,A,B,C,D,E,O,A,B,D,C,E,O,A,B,C,E,O,C,D,A,B,练习,1,O,B,A,E,D,在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等,的线段或相等的圆弧,.,O,EOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDAB 练,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件,（直径，垂直于弦）,缺一不可！,判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（直径,巩固：,1,、如图，,AB,是,O,的直径，,CD,为弦，,CDAB,于,E,，则下列结论中,不成立,的是（）,A,、,C,OE=DOE,B,、,CE=DE,C,、,OE=AE,D,、,BD=BC,O,A,B,E,C,D,巩固：1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，,8cm,1,半径,为,4cm,的,O,中，弦,AB=4cm,那么圆心,O,到弦,AB,的距离是,。,2,O,的,直径,为,10cm,，圆心,O,到弦,AB,的,距离为,3cm,，则弦,AB,的长是,。,3,半径,为,2cm,的圆中，过半径中点且,垂直于这条半径的弦长是,。,练习,2,A,B,O,E,A,B,O,E,O,A,B,E,8cm1半径为4cm的O中，弦AB=4cm,练习 2,方法归纳,:,解决有关弦的问题时，经常,连接半径,；,过圆心作一条与弦垂直的线段,等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,垂径定理经常和勾股定理结合使用,。,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,方法归纳:解决有关弦的问题时，经常连接半径；,E,例,1,如图，已知在,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，求,O,的半径。,讲解,A,B,.,O,垂 径 定 理 的 应 用,E例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O,2,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD,E,已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。,求证：,AC,BD,。,.,A,C,D,B,O,图,课 堂 练 习,E已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小,2,、如图，,OEAB,于,E,，若,O,的半径为,10cm,OE=6cm,则,AB=,cm,。,O,A,B,E,解：,连接,OA,，,OEAB,AB=2AE=16cm,2、如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6c,3,、如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，求,O,的半径。,O,A,B,E,解：,过点,O,作,OEAB,于,E,，连接,OA,即,O,的半径为,5,cm.,3、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为,4,、如图，,CD,是,O,的直径，弦,ABCD,于,E,，,CE=1,，,AB=10,，求直径,CD,的长。,O,A,B,E,C,D,解：,连接,OA,，,CD,是直径，,OEAB,AE=1/2 AB=5,设,OA=x,，则,OE=x-1,，由勾股定理得,x,2,=5,2,+(x-1),2,解得：,x=13,OA=13,CD=2OA=26,即直径,CD,的长为,26.,4、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗,?,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,关于弦的问题，常常需要,过圆心作弦的垂线段,，这是一条非常重要的,辅助线,。,圆心到弦的距离、半径、弦,构成,直角三角形,，便将问题转化为直角三角形的问题。,37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常需要过圆心作弦,A,B,O,C,D,解：,如图，用,AB,表示主桥拱，设,AB,所在的圆的圆心为,O,，半径为,r.,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,垂足为,D,，与,AB,交于点,C,，则,D,是,AB,的中点，,C,是,AB,的中点，,CD,就是拱高,.,AB=37.4m,，,CD=7.2m,AD=1/2 AB=18.7m,，,OD=OC-CD=r-7.2,解得,r=27.9,（,m,）,即,主桥拱半径约为,27.9m.,ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为,垂径定理推论,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,CDAB,CD,是直径，,AE=BE,AC=BC,AD=BD.,O,A,B,C,D,E,垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且,（,1,）如何证明？,探究：,O,A,B,C,D,E,已知：,如图，,CD,是,O,的直径，,AB,为弦,，且,AE=BE.,证明：,连接,OA,，,OB,，则,OA=OB,AE=BE,CDAB,CD,是直径,AD=BD,求证：,CDAB,，且,AD=BD,AC=BC,AC=BC,（1）如何证明？探究：OABCDE已知：如图，CD是O的,（,2,）,“,不是直径,”,这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,O,A,B,C,D,（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。,CD,是直径,CDAB,AM=BM,AC=BC,AD=BD.,如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？,一条直线,满足,:(1),过圆心,;(2),垂直于弦,;(3),平分弦,（不是直径）,;(4),平分弦所对优弧,;(5),平分弦所对的劣弧,.,O,A,B,C,D,M,推广：,CD是直径,CDAB,AM=BMAC,课堂讨论,根据已知条件进行推导：,过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对优弧,平分弦所对劣弧,（,1,）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所,对的两条弧。,（,3,）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（,2,）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分,弦所对的另一条弧。,只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个,.,课堂讨论根据已知条件进行推导：（1）平分弦（不是直径）的直径,(4),若 ，,CD,是直径,则,、,、,.,(1),若,CDAB,CD,是直径,则,、,、,.,(2),若,AM=MB,CD,是直径,则,、,、,.,(3),若,CDAB,AM=MB,则,、,、,.,1.,如图所示,:,练习,O,A,B,C,D,M,AM=BM,AC=BC,AD=BD,CDAB,AC=BC,AD=BD,CD,是直径,AC=BC,AD=BD,AC=BC,CDAB,AM=BM,AD=BD,(4)若 ，CD是直径,(1)若C,试一试,2.,判断：,()(1),垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分,弦所对的两条弧,.,()(2),平分弦所对的一条弧的直径一定平分,这条弦所对的另一条弧,.,()(3),经过弦的中点的直径一定垂直于弦,.,()(4),圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行,.,()(5),弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧,.,试一试2.判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条,3,、如图，点,P,是半径为,5cm,的,O,内一点，且,OP=3cm,则过,P,点的弦中，,（,1,）最长的弦,=,cm,（,2,）最短的弦,=,cm,（,3,）弦的长度为整数的共有（）,A,、,2,条,b,、,3,条,C,、,4,条,D,、,5,条,巩固：,A,O,C,D,5,4,P,3,B,3、如图，点P是半径为5cm的O内一点，且OP=3cm,4,、如图，点,A,、,B,是,O,上两点，,AB=8,点,P,是,O,上的动点（,P,与,A,、,B,不重合）,连接,AP,、,BP,过点,O,分别作,OEAP,于,E,OFBP,于,F,EF,=,。,4,4、如图，点A、B是O上两点，AB=8,点P是O上的动点,船能过拱桥吗,?,例,3.,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为,7.2,米,拱顶高出水面,2.4,米,.,现有一艘宽,3,米、船舱顶部为长方形并高出水面,2,米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗?例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7,船能过拱桥吗,解,:,如图,用 表示桥拱,所在圆的圆心为,O,半径为,Rm,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OD,D,为垂足,与 相交于点,C.,根,据垂径定理,D,是,AB,的中点,C,是 的中点,CD,就是拱高,.,由题设得,在,RtOAD,中，由勾股定理，得,解得,R3.9,（,m,）,.,在,RtONH,中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥,
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