高等数学高数课件-92偏导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、偏导数的定义及其计算方法,二、偏导数的几何意义及函数偏,导数存在与函数连续的关系,三、高阶偏导数,第二节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算方法二、偏导数的几何意义及函数偏三、,一、偏导数的定义及其计算法,一、偏导数的定义及其计算法,高等数学高数课件-92偏导数,由偏导数的定义，可以看出,计算,f,关于,x,的偏导数,可以先将,y,0,固定,用一元函数求导的方法求导,再代入,x,0,即可求得,f,x,(,x,0,y,0,),。,由偏导数的定义，可以看出计算f关于x的偏导数,可以先将y0,因此由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函,数的微分法问题。,只要把,x,之外的其他自变量暂时看成,常量，对,x,求导数即可。,只要把,y,之外的其他自变量暂时看成,常量，对,y,求导数即可。,其它情况类似。,因此由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函只要把 x 之,高等数学高数课件-92偏导数,偏导数的定义,对自变量,的偏导数为,偏导数的概念,可推广到二元以上的函数,.,例如,三元函数,在,处的偏导数,注,:,上述定义表明,在求多元函数对某个自变量的,只需把其余自变量看作常数,然后直接利,偏导数时,用一元函数的求导公式,之,.,及复合函数求导法则来计算,偏导数的定义对自变量的偏导数为偏导数的概念可推广到二元以上,如 在 处,如 在,例,1.,求,解法,1:,解法,2:,在点,(1,2),处的偏导数,.,例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.,例,2,设,求证,证,因为,所以,原结论成立,.,例2设求证证因为所以原结论成立.,例,3,的偏导数,求三元函数,解,把,和,看作常数,对,求导得,把,和,看作常数,对,求导得,把,和,看作常数,对,求导得,例3的偏导数求三元函数解把和看作常数,对求导得把和看作常数,例,4,求,的偏导数,.,解,把,和,看作常数,对,求导得,利用函数关于自变量的对称性,可得,例4求的偏导数.解把和看作常数,对求导得利用函数关于自变量的,偏导数记号是一个,例,5.,已知理想气体的状态方程,求证,:,证,:,说明,:,(,R,为常数,),不能看作,分子与分母的商,!,此例表明,整体记号,偏导数记号是一个例5.已知理想气体的状态方程求证:证:说,有关偏导数的几点说明,1,.,偏导数,是一个整体记号,不能拆分,;,2,.,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求,;,例如,，,二元函数,在点,(0,0),处的偏导数为,有关偏导数的几点说明1.偏导数是一个整体记号,不能拆分;2.,有关偏导数的几点说明,有关偏导数的几点说明,有关偏导数的几点说明,有关偏导数的几点说明,二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关系,1几何意义,二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关,图示,图示,2.偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导,连续，,多元函数中在某点偏导数存在,连续，,2.偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存,高阶偏导数,设函数,在区域,内具有偏导数,则在,内,和,都是,、,的函数,.,如果,这两个函数的偏导数存在,则称它们是函数,的,二阶偏导数,.,按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶偏导数,:,高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数则在内和都是、的函数.如果,高阶偏导数,其中第二、第三两个偏导称为,混合偏导数,.,类似地,可以定义三阶、四阶、,.,以及,阶偏导数,我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为,高阶偏导数,.,高阶偏导数其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.类似地,可以,例,6,设,求,及,解,例6设求及解,例,7,解,设,求二阶偏导数,.,例7解设求二阶偏导数.,例,8,求,的二阶偏导数,.,解,例8求的二阶偏导数.解,例,9,满足拉普,验证函数,拉斯方程,证,例9满足拉普验证函数拉斯方程证,例,9,满足拉普,验证函数,拉斯方程,证,例9满足拉普验证函数拉斯方程证,例,9,满足拉普,验证函数,拉斯方程,证,可以看出关于,y,的偏导可通过互换变量,x,y,而得到。,例9满足拉普验证函数拉斯方程证可以看出关于y的偏导可通过互换,2,）,然后互换,x,y,后，,若将函数的自变量互换后，函数的表达式不变，,则称该二元函数具有对称性，即,1,）,若将函数的自变量互换后，函数的表达式相反，,则称该二元函数具有反对称性，即,若,具有对称性，计算二阶偏导数时，先,计算出,变得到,若,具有反对称性，,只需互换,x,y,后,再添加,一个负号即可到关于,y,的三个偏导。,2）然后互换x,y后，若将函数的自变量互换后，函数的表达式不,例,10,证明函数,满足,Laplace,方程,其中,证,由函数关于自变量的对称性,得,x,换,y,，,y,换,z,，,z,换,x,，表达式不变,例10证明函数满足Laplace方程其中证由函数关于自变量的,例,10,证明函数,满足,Laplace,方程,其中,证,例10证明函数满足Laplace方程其中证,例,10,证明函数,满足,Laplace,方程,其中,证,例10证明函数满足Laplace方程其中证,例,11,设,试求,及,解,因,当,时,例11设试求及解因当时,例,11,设,试求,及,解,当,时,例11设试求及解当时,例,11,设,试求,及,解,当,时,例11设试求及解当时,例,11,设,试求,及,解,例11设试求及解,例,11,设,试求,及,解,所以,例11设试求及解所以,例,11,设,试求,及,解,例11设试求及解,例,11,设,试求,及,解,同理有,当,时,例11设试求及解同理有当时,例,11,设,试求,及,解,同理有,例11设试求及解同理有,例,11,设,试求,及,解,同理有,所以,例11设试求及解同理有所以,我们有下面的定理：,那么一个函数具有什么条件时，它的二阶混合偏导数与求导的顺序无关呢？,则,本定理对,n,元函数的高阶混合导数也成立。,由上例我们可以看到，同一函数不同顺序的同阶混合偏导数未必相等。,我们有下面的定理：那么一个函数具有什么条件时，它的二阶混合偏,更一般地有如下的定理：,更一般地有如下的定理：,类似,对三元函数,u=f,(,x,y,z,),说明,:,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序。,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点,(,x,y,z,),连续时,有,而初等,类似,对三元函数 u=f(x,y,z),说,例,12,设,计算,（其中,p,q,为正整数）。,因此，关于,y,用,Leibniz,公式得,解,:,关于,x,再用一次,Leibniz,公式就得：,例12 设,计算（其中p,q为正整数）。因此，关于y用 Le,命题：若,f,(,x,y,),在凸区域,D,上连续，对,(,x,y,),D,，且,f,(,x,y,),在,D,上恒为一常数。,在一元函数中，函数的导数为,0,，则此函数必恒为一个常数。则在二元函数中，若它的两个偏导数都为,0,，此二元函数是否也恒为常数呢？,答案是成立的，但要满足一定的条件。,有,f,x,(,x,y,)=,f,y,(,x,y,)=0,则,命题：若f(x,y)在凸区域D上连续，对(x,y)D，且,命题：若,f,(,x,y,),在凸区域,D,上连续，,则,f,(,x,y,),在,D,上恒为一常数。,证：,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),D,利用单变量的拉格朗日定理,由于在,D,上，,f,x,(,x,y,)=,f,y,(,x,y,)=0,便有,f,(,x,1,y,1,)=,f,(,x,2,y,2,),。,故,f,(,x,y,),在,D,上恒为一常数。,对,(,x,y,),D,，且,有,f,x,(,x,y,)=,f,y,(,x,y,)=0,命题：若f(x,y)在凸区域D上连续，则 f(x,y)在D上,1.,若函数,在点,连续，,在该点的偏导数必定存在？,能否断定,2.,设,是否,问,与,存在？,3.,设,试求,与,课堂练习,1.若函数在点连续，在该点的偏导数必定存在？能否断定2.设是,