第3讲条件概率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、条件概率,二、乘法公式,三、全概率公式,四、贝叶斯公式,第,3,讲 条件概率,例,1,在一个盒子中装有大小相同,20,个小球，其中红色小球,9,个，白色小球,11,个，塑料小球,10,个，玻璃小,球,10,个。现从中任取一个小球，试求,(1),取出小球是红色小球的概率,.,(2),取出小球是玻璃小球的概率,.,(3),取出小球既是玻璃小球，又是红色小球的概率。,(4),如果已知所取小球是玻璃的，那么该小球是红色小球的概率。,解,设,A,=,任取一球该小球是红色小球,B,=,任取一球该小球是玻璃小球,AB,=(,任取一球该小球是既是玻璃小球，又是红色小球,红色,白色,塑料,6,4,玻璃,3,7,在第,4,问中，任取的小球必须是玻璃的，这就比前,3,问多了一个附加条件，也就是已知在,“,事件,B,发生,”,的附加条,件下，求事件,A,发生的概率。显然,定义,设,A,、,B,为两事件，,P,(,B,),0,则称,为事件,B,发生的条件下事件,A,发生的条件概率，记为,P,(,A,|,B,),，即,同理可定义,事件,A,发生的条件下事件,B,发生的条件概率,.,一、条件概率,性质,非负性,规范性,可列可加性,性质,非负性,规范性,可列可加性,（,1,）,古 典 概 型,可用缩减样本空间法,（,2,）,其 他 概 型,用定义与有关公式,条件概率的计算方法,例,2,某厂生产的灯泡能用,1000,小时的概率为,0.8,能用,1500,小时的概率为,0.4,求已用,1000,小时的灯泡能用到,1500,小时的概率,解,令,A=,灯泡能用到,1000,小时,B,=,灯泡能用到,1500,小时,.,所求概率为,解,令,A,表示“其中,1,张是假钞”,.,B,表示“,2,张都是假钞”,由缩减样本空间法得,解法正确吗？,例,2,从混有,5,张假钞的,20,张百元钞票中任意抽出,2,张,将其中,1,张放到验钞机上检验发现是假钞,.,求,2,张都是假钞的概率,.,解,令,A,表示“抽到,2,张都是假钞”,.,B,表示“,2,张中至少有,1,张假钞”,.,例,2,从混有,5,张假钞的,20,张百元钞票中任意抽出,2,张,将其中,1,张放到验钞机上检验发现是假钞,.,求,2,张都是假钞的概率,.,则所求概率是 （而不是 ！）,.,所以,利用条件概率求积事件的概率即,乘法公式,推广,二、乘法公式,证,利用条件概率求积事件的概率即,乘法公式,推广,二、乘法公式,例,3,设袋中装有,r,只黑球,t,只白球,.,每次自袋中任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入,a,只与所取出的那只球同色的小球,.,若在袋中连续取球四次,试求一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率,.,解,例,4,设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为,1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为,7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为,9/10.,试求透镜落下三次而未打破的概率,.,以,B,表示事件,“,透镜落下三次而未打破,”,.,解,例,5,盒中装有,5,件产品,其中,3,件一等品，,2,件二等品,从中不放回地取产品，每次,1,件,求第二次取得一等品的概率,.,解,令,A,=,第一,次取到一等品,，,B,=,第二次取到一等品,.,三、全概率公式,1.,样本空间的划分,1.,样本空间的划分,2.,全概率公式,全概率公式,三、全概率公式,图示,证,例,6(,抓阄与次序有是否关,),五个阄,其中两个阄内写着,“,有,”,字,三个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到,“,有,”,字阄的概率是否相同？,解,则有,由全概率公式,第三个人抓到有字,阄的可能性受到前两次抓取情况的影响，而前两次抓取的所有可能情况如下：,并且构成样本空间的一个划分。,由全概率公式,依此类推,故抓阄与次序无关,.,说明,全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果,.,例,7,有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占,30,%,二厂生产的占,50,%,三厂生产的占,20,%,又知这三个厂的产品次品率分别为,2,%,，,1,%,，,1,%,，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？,设事件,A,为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,从这批产品中任取一件是次品的概率为,：,30%,20%,50%,2%,1%,1%,又,例,9,设一仓库中有,10,箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有,5,箱,3,箱,2,箱,三厂产品的废品率依次为,0.1,0.2,0.3,，从这,10,箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品，求取得的正品概率,.,解,设,A,为事件“取得的产品为正品”，,分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知,故,四、贝叶斯公式,称此为,贝叶斯公式,.,证,证毕,.,例,10,设有甲、乙两个炮位,向同一目标同时发射炮弹,已知发射出去的,15,发炮弹中,甲炮位发射,8,发乙炮为发射,7,发,.,甲炮位的命中率为,0.8,乙炮位的命中率为,0.6.,现有一发炮弹命中目标,问这发炮弹是甲炮位发射的概率是多少,?,解,设事件 分别为甲、乙炮位发射，事件,B,为“炮弹命中目标”，,例,11,由于随机干扰,在无线电通讯中发出信号“,”,收到信号“,”,“,不清”,“”,的概率分别为,0.7,0.2,0.1;,发出信号“,”,收到信号“,”,“,不清”,“”,的概率分别为,0.0,0.1,0.9.,已知在发出的信号中,“”,和“,”,出现的概率分别为,0.6,和,0.4,试分析,当收到信号“不清”时,原发信号为,“,”,还是“,”,的概率 哪个大？,解,设原发信号为“,”,为事件,B,1,，,原发信号为“,”,为事件,B,2,，,收到信号“不清”为事件,A.,可见,当收到信号“不清”时,原发信号为“,”,的可能性大,.,称,为,后验概率,，它是得到了信息,A,发生,再对导致,A,发生的原因发生的可能性大小重新加以修正,.,称,P,(,B,i,),为,先验概率,，它是由以往的经验 得到的，它是事件,A,的原因,例,2,设袋中有,4,只白球,2,只红球,(1),无放回随机地抽取两次,每次取一球,求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率,?(2),若无放回的抽取,3,次,每次抽取一球,求,(,a,),第一次是白球的情况下,第二次与第三次均是白球的概率,?(,b,),第一次与第二次均是白球的情况下,第三次是白球,的概率,?,则有,(1),设事件,A,为“两次抽取中至多抽到一个红,球”事件 为“第一次取出红球”,为“第二次,取出红球”,解,摸球试验,例,3,掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为,7,求其中有一颗为,1,点的概率,.,解,设事件,A,为“两颗点数之和为,7”,事件,B,为“,一颗点数为,1”.,故所求概率为,掷骰子试验,两颗点数之和为,7,的种数为,3,其中有一颗为,1,点的种数为,1,例,4,某种动物由出生算起活,20,岁以上的概率为,0.8,活,25,岁以上的概率为,0.4,如果现在有一个,20,岁的这种动物,问它能活到,25,岁以上的概率是多,少,?,解,设,A,表示“能活,20,岁以上”的事件,;,B,表示“能,活,25,岁以上”的事件,则有,例,7,已知,求,解,说明,全概率公式的主要用处在于它可以将一个,复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件,的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最,终结果,.,例,8,有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占,30,%,二厂生产的占,50,%,三厂生产的占,20,%,又知这三个厂的产品次品率分别为,2,%,1,%,，,1,%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？,设事件,A,为“任取一件为次品”,由全概率公式得：,30%,20%,50%,2%,1%,1%,解,故从这批产品中任取一件是次品的概率为,例,9,设一仓库中有,10,箱同种规格的产品,其中,由甲、乙、丙三厂生产的分别有,5,箱,3,箱,2,箱,三厂产品的废品率依次为,0.1,0.2,0.3,从这,10,箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率,.,设,A,为事件“取得的产品为正品”，,分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知,故,解,例,11,已知男人中有,5,%,是色盲患者,女人中有,0.25%,是色盲患者,今从男女人数相等的人群中,随机地挑选一人,恰好是色盲患者的概率是多少,?,问此人是男性的概率是多少,?,解,（,2,）由贝叶斯公式得所求概率为,（,1,）恰好是色盲患者的概率为,小结,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,思考题,