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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,自动控制原理,第四章 控制系统的根轨迹分析法,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,自动控制原理第四章 控制系统的根轨迹分析法4.2 绘制根轨迹,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,一、根轨迹的幅值条件和相角条件,一般的闭环系统结构框图如图所示，其特征方程为：,其开环传递函数：,由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得：,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、根轨迹的幅值条件和,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,以上两式分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件。,在,S,平面上的任一点，凡能满足以上条件的，就是系统特征方程的根，就,必定在根轨迹上,。,注,：,当闭环系统为负反馈时，对应的轨迹为,180,根轨迹,；,而正反馈系统的轨迹为,零度根轨迹,。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则以上两式分别称为根轨迹,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,开环传递函数通常可以写为（,零极点形式,）：,其中,K,g,开环传递系数,z,j,和,p,i,开环零点和极点,因此，幅值条件可表示为：,或,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则开环传递函数通常可以写,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,相角条件为：,其中,j,开环零点到,S,的矢量角,i,开环极点到,S,的矢量角,注,：,在测量相角时，规定以,逆时针方向为正,。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则相角条件为：其中j,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,说明：,（,1,）幅角条件只与开环零、极点有关，为,充要条件,；,（,2,）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关，,必要条件,。,（,3,）凡满足幅值和幅角条件的,s,值，都是,闭环极点,。,绘制根轨迹的步骤,：,（,1,）寻找满足幅角条件所有的,s,点，由这些点构成根轨迹；,（,2,）根据幅值条件确定对应点,(,即特征方程根,),处的,K,g,值。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则说明：,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,在根轨迹图中，,一般约定：,“,”,表示,开环极点,；,“,”,表示开环,有限值零点,；,粗线表示根轨迹；,箭头表示某一参数增加的方向；,“,.,”,表示根轨迹上的点。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则在根轨迹图中，一般约定,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,例,已知开环系统的传递函数如下式，设,-,s,0,为该闭环系统的一个极点，,求其对应的传递系数,K,g0,。式中,-,z,1,为开环有限零点；,0,、,-,p,1,、,-,p,2,为开环极点。,解,由相角条件确定根轨迹上的某点位置，如图，使其满足：,再按幅值条件求得该点的根轨迹传递系数：,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则例 已知开环系统的传递,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,例,已知系统的开环传递函数,证明,该系统的开环极点,试证明复平面上点,是该系统的闭环极点。,若系统,闭环,极点为,s,1,，,s,2,，则,它们应满足相角条件。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则例 已知系统的开环传递,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,以,s,1,为试验点，由图可得,以,s,2,为试验点，由图可得,可见，,s,1,和,s,2,均满足相角条件，,均为闭环极点。,证毕。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则以s1为试验点，由图可,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,例,已知系统的开环传递函数,解,根据幅值条件,当 变化时其根轨迹如图所示，求根轨迹上点 所对应的,K,值。,求得,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则例 已知系统的开环传递,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,二、绘制根轨迹的基本规则,1,连续性,根轨迹是连续的,当,K,g,连续变化时，特征方程的根也是连续变化的，所以根轨迹是连续的。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则二、绘制根轨迹的基本规,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,2,对称性,由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对称于实轴。,3,根轨迹的条数为系统的阶数,即系统特征方程的阶数，也为开环传递函数的极点数。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则2 对称性 由于,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,4,起点和终点,根轨迹的起点是指,Kg,=0,根轨迹的点。,根轨迹的终点是指,Kg,=,根轨迹的点，,即终点为开环传递函数的零点。,由幅值条件可知，当,K,g,=0,时对应,s,=-,p,i,，即,根轨迹的起点为开环传递函数的极点。,若起点数,n,大于零点数,m,则有,m,条根轨迹终于零点，有,n-m,条终于无穷远处（无穷远处的零点称之为,无限零点,）。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则4 起点和终点根轨迹的,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,5,实轴上的根轨迹,在,S,平面实轴上的线段存在根轨迹的条件是：,线段右侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为奇数,。,1,）每对共轭复数极点所提供的幅角之和为,360,；,2,）,s,1,左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为,0,；,3,）,s,1,右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为,180,。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则5 实轴上的根轨迹在S,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,例,已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。,解,上在实轴，右边线段零、极点数为奇数的线段是：,-1,，,-2,右侧实零、极点数,=3,。,-4,，,-6,右侧实零、极点数,=7,。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则例 已知系统的开环传递,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,例,设一单位负反馈系统的开环传递函数为,解,将开环传递函数写成,零、极点形式,求 时的闭环根轨迹。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则例设一单位负反馈系统的,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,按绘制根规迹法则逐步进行：,1,）法则三，,2,阶系统，因此有,两条根轨迹,；,2,）法则四，两条根轨迹分别,起始于开环极点,0,、,2,，其中一条,终于有限零点,1,，另一条趋于无穷远处；,3,）法则五，,在,负实轴上,，0到1区间和2到负无穷区间是根轨迹,；,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则按绘制根规迹法则逐步进,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,最后绘制出根轨迹如下图所示。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则最后绘制出根轨迹如下图,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,6,分离点和会合点,特征方程的重根为根轨迹的分离点或会合点。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则6 分离点和会合点特征,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,闭环特征方程式,分离点或会合点可由下式求得,此外，,s,对应的,Kg,值为正时，才是实际的分离或会合点。,上式为,必要条件,，求出,S,值可能为分离点或会合点；,上式的解根轨迹上，需满足：,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则闭环特征方程式分离点或,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,注：,1,）位于实轴上,两个极点之间的根轨迹上，存在分离点,；,4,）分离或会合点还可由以下公式（试凑法）计算。,2,）,位于实轴上,两个零点（含无穷零点）之间的根轨迹上，存在会合点,；,3,）根轨迹以,/2,的角度方向离开分离点（分离角）或进入会合点（会合角）；,j,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则注：1）位于实轴上两个,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,例,已知系统的开环传递函数，,求根轨迹的分离点和会合点。,解,系统有一个开环零点为,-1,，有两个开环极点分别为,-0.1,和,-0.5,。,根据规则五，根轨迹与实轴相重合的区间为,-0.1,，,-0.5,（,-,，,-1,。,求根轨迹的分离点和会合点：,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则例 已知系统的开环传递,j,S1=-0.33,Kg1=0.06,S1=-1.67,Kg1=2.74,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,求对应分离点、会合点的,Kg,：,根轨迹如下图：,jS1=-0.33S1=-1.674.2 绘制根轨迹的基本,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,7,渐近线,（,1,）渐近线条数：,n-m,条，根轨迹沿渐近线,倾角,方向趋向无穷远，倾角为,（,2,）渐近线,交点,：与实轴交于一点 坐标为（,-,，,j0,），其中,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则7 渐近线（1）渐近线,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,例,已知系统的开环传递函数，,试画出根轨迹的大致图形。,解,按根轨迹绘制的规则：,（,1,）起点：,0,，,-1,，,-5,；,终点：，。,（,2,）分支数：,n=3,（,3,）根轨迹对称于实轴。,（,4,）渐近线：因为本系统中，,n=3,m=0,所以渐近线共有,3,条。渐近线的倾角：,取,k,0,，,1,，,2,，得到：,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则例 已知系统的开环传递,（,5,）根轨迹在实轴上的分布：,0-1,，,-5-,之间。,-5,-2,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,渐近线与实轴的交点：,（5）根轨迹在实轴上的分布：-5-24.2 绘制根轨迹的基本,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,0,0,0,0,n-m,不同取值下的渐近线,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则0000n-m不同取值,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,8,与虚轴的交点,方法一：代数法,将,s=j,代入系统特征方程，令实部和虚部分别等于零，求出,和对应的,K,值。,方法二：劳斯判据,若劳斯表第一列中,有一为零项,，且其余各项都具有正号，则系统为临界状态，即有零根或虚根。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则8 与虚轴的交点方法一,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,例,已知系统的特征方程为,求与虚轴的交点。,解,方法一：将,s=j,代入特征方程，得,经整理为：,解得：,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则例 已知系统的特征方程,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，列劳斯表,若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的,Kg,使系统处于临界稳定状态，因此,又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表,s,2,行的系数可以构成辅助方程。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则方法二：由特征方程可知,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,9,出射角与入射角,出射角：根轨迹离开开环复数极点处切线与正实轴的夹角。,入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角。,j,开环极点,开环零点,出射角,j,开环极点,开环零点,入射角,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则9 出射角与入射角出射,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,zj,除被测终点外，所有,开环有限零点,到该点矢量的相角；,pi,除被测起点外，所有,开环极点,到被测极点矢量的相角。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则zj除被测终点外,例,系统零极点分布如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的,起始,角。,p,1,=-1+j1,，,p,2,=-1-j1,，,p,3,=0,，,p,4,=-3,，,z,1,=-2,根据对称性，可知,p,2,点的出射角为：,注意：,相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负；,注意矢量的方向。,解：,tan,j,1,=1,j,1,=45,2,=90,3,=135,tan,4,=0.5,4,=26.6,取,k,=0(,考虑到周期性,),：,p1,=-26.6,p2,=,-,p1,=,26.6,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,例 系统零极点分布如图，试确定
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