相似三角形的判定及性质人教A版选修

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.3,相似三角形的判定及性质,第一讲 相似三角形的判定及有关性质,相似三角形的定义,对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,.,相似三角形对应边的比值叫做相似比,(,或相似的系数,).,复习回顾,B,A,C,A,C,B,判定两个三角形相似的简单方法,(1),两角对应相等,两三角形相似,;,(2),两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,;,(3),三边对应成比例,两三角形相似,.,B,A,C,A,C,B,如何证明？,1.3,相似三角形的判定及性质,P11,E,B,A,C,D,1.3,相似三角形的判定,在,ABC,中，,D,、,E,分别是,AB,、,AC,边上的点，且,DEBC,，求证：,ADEABC,ADEABC,DE/BC,ADE,=,B,AED,=,C,证明：,E,B,A,C,D,1.3,相似三角形的判定,在,ABC,中，,D,、,E,分别是,AB,、,AC,边上的点，且,DEBC,，求证：,ADEABC,A,=,A,ADEABC,DE/BC,证明：,E,B,A,C,D,1.3,相似三角形的判定,在,ABC,中，,D,、,E,分别是,AB,、,AC,边上的点，且,DEBC,，求证：,ADEABC,ADEABC,DE/BC,证明：,预备定理,平行于三角形一边的直线和其他两边,(,或两边的延长线,),相交,所构成的三角形与原三角形相似,.,A,E,C,B,D,E,B,A,C,D,1.3,相似三角形的判定,C,B,A,已知,如图,在,ABC,和,A,B,C,中,A,=,A,B=B,求证,:,ABC,A,B,C,A,B,C,D,E,证明,:,在,ABC,的边,AB,(,或,AB,的延长线,),上,截取,AD=AB,过点,D,作,DE/BC,交,AC,于点,E.,由预备定理得,:,ADE,ABC,ADE,=,B,B,=,B,ADE,=B,A,=,A,AD,=,A,B,ADE,A,B,C,A,B,C,ABC,A,B,C,C,B,A,D,E,EAD,=,CAB,ADE,=,ABC,AED,=,ACB,EF/DB,ED/BC,FBDE,为,ED=FB,A,E,C,B,D,F,作,EF,/,DB,交,CB,延长线于,F,ADEABC,1.3,相似三角形的判定及性质,预备定理应用,A,E,C,B,D,1.,如图示，,DEBC,DB,与,EC,相交于,A,，求证：,ADEABC,ADEABC,DE/BC,证明：,ADEABC,2,如图所示，,AD,EF,BC,，,GH,AB,，则图中与,BOC,相似的三角形有,(,),A,1,个,B,2,个,C,3,个,D,4,个,C,判定定理,1,对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,.,简述,:,两角对应相等,两三角形相似,例,如图,在,ABC,AB,=,AC,D,是,AC,边上一点,BD,=,BC,.,求证,:,BC,2,=,AC,CD,分析,:,遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似,证明,:,ABC,是等腰三角形,A=180,-2C,BCD,是等腰三角形,DBC,=180,-2,C,DBC,=A,又,C,为公共角,ABC,BDC,即,BC,2,=,AC,CD,B,C,D,A,如图,圆内接,ABC,角平分线,CD,延长后交圆于一点,E.,分析,:,遇到线段的比例问题可以考虑三角形的,相似根据线段所在三角形考虑证,EBD,ECB,练一练,D,E,A,B,C,证明：由已知条件，可得,ACE=BCE,。,ACE,与,ABE,是同弧上的圆周角，,ACE=ABE,BCE=ABE,。,又,BED=CEB,。,EBD,ECB,判定定理,2,对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,.,简述,:,两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,A,B,C,C,B,A,D,E,已知,:,如图,在,ABC,和,A,B,C,中,A,=,A,求证,:ABCA,B,C,ADEA,B,C,?,DE/BC,ABCADE,C,B,A,D,E,已知,:,如图,ABC,中,点,D,、,E,分别在,AB,、,AC,上，且,求证,：,DE/BC,E,证明,:,作,DE,/BC,交,AC,于,E,AE=AE,因此,E,与点,E,重合即,DE,与,DE,重合,所以,DE/BC,采用了,“,同一法,”,的间接证明,引理,如果一条直线截三角形的两边,(,或两边的延,长线,),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行,于三角形的第三边,.,当一个命题的条件和结论所指的概念,唯一,存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的,逆否命题,，然后根据,唯一性,的原理断言命题为真，这种解题方法叫做,同一法,用同一法解题一般有三个步骤,先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；,根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；,从而说明已知图形符合结论,例,如图,在,ABC,内任取一点,D,连接,AD,和,BD.,点,E,在,ABC,外,EBC=ABD,ECB=DAB.,求证,:DBEABC.,B,A,C,D,E,分析,:,好容易得出,ABC,=,DBE,只需要再证明,即证,只要证明,ABDCBE,判定定理,3,对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,.,简述,:,三边对应成比例,两三角形相似,A,B,C,C,B,A,已知,:,如图,在,ABC,和,A,B,C,中,求证,:,ABC,ABC,证明,:,在,ABC,的边,AB(,或延长线,),上截取,AD=A,B,过点,D,作,DE/BC,交,AC,于点,E.,D,E,ADEABC,AD,=,A,B,ADE,A,B,C,ABC,A,B,C,例,如图,已知,D,、,E,、,F,分别是,ABC,三边、,BC,、,CA,、,AB,的中点,.,求证：,DEFABC,F,D,E,B,A,C,证明,:,线段,EF,、,FD,、,DE,都是,ABC,的中位线,DEFABC,例,2.,如图，,ABC,中，,DE,BA,，,EF,BC,，,求证：,EDC,AFE,.,用一用,例题分析,解,:,DE,AB,，,EF,BC,（已知），,CDE,B,EFA,（两直线平行，同位角相等）,AEF,C,.,（两直线平行，同位角相等）,AFE,EDC,.,（,两个角分别对应相等的两个三角形相似）,F,D,E,B,A,C,直角三角形相似的判定,定理,如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似,.,(1),如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似,;,(2),如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似,.,例,如图，已知,AD,、,BE,分别是,ABC,中,BC,边和,AC,边上的高，,H,是,AD,、,BE,的交点,求证：,(1),AD,BC,=,BE,AC,(2),AH,HD,=,BH,HE,分析,:(1),只要证明,Rt,ADC,Rt,BEC,(2),只要证明,Rt,AHE,Rt,BHD,C,A,D,B,3.,找出图中所有的相似三角形,巩固练习,ACD,CBD,ABC,你能写出对应边的比例式吗,?,相似,相似,平方,相似,平方,小结,相似三角形的概念,预备定理,判定定理,3,判定定理,2,判定定理,1,直角三角形判定定理,相似三角形的识别方法有那些？,方法,1,：通过定义,方法,5,：通过两角对应相等。,课 堂 小 结,（这可是今天新学的，要牢记噢！,),方法,2,：平行于三角形一边的直线。,方法,3,：三边对应成比例。,方法,4,：两边对应成比例且夹角。,