资源描述
,第四章,函数的应用,赢在考情精析,赢在考点训练,章末综合测试,第四章函数的应用,-,2,-,-,3,-,考点,考点函数与方程,夯实基础,1,.,函数零点的定义,(1),对于函数,y=f,(,x,)(,x,D,),把使,成立的实数,x,叫做函数,y=f,(,x,)(,x,D,),的零点,.,(2),方程,f,(,x,),=,0,有实根,函数,y=f,(,x,),的图象与,有交点,函数,y=f,(,x,),有,.,2,.,函数零点的判定,如果函数,y=f,(,x,),在区间,a,b,上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数,y=f,(,x,),在区间,内有零点,即存在,c,(,a,b,),使得,这个,也就是,f,(,x,),=,0,的根,.,我们把这一结论称为零点存在性定理,.,f,(,x,),=,0,x,轴,零,点,f,(,a,),f,(,b,),0),的图象与零点的,关系,(,x,1,0),(,x,2,0,),(,x,1,0,),两,个,一,个,无,-,5,-,考点,提升能力,考向,1,函数零点的判断与求解,典型例题,1,已知函数,f,(,x,),=-,log,2,x,在下列区间中,包含,f,(,x,),零点的区间是,(,),A,.,(0,1)B,.,(1,2),C,.,(2,4)D,.,(4,+,),【解析】,因为,f,(1),=,6,-,log,2,1,=,6,0,f,(2),=,3,-,log,2,2,=,2,0,所以函数,f,(,x,),的零点所在区间为,(2,4),.,故选,C,.,【答案】,C,-,6,-,考点,【名师点拨】,判断函数在某个区间上是否存在零点的方法,(1),解方程法,:,当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上,.,(2),零点存在性定理法,:,利用函数零点的存在性定理判断函数零点所在的区间,应分别计算各区间端点对应的函数值,并判断其正负号,如果区间端点对应的函数值异号,那么函数在该区间上存在零点,.,(3),数形结合法,:,画出函数的图象,通过观察图象与,x,轴在给定区间上是否有交点来判断,.,1,.,(2018,广东东莞学业考试,),若函数,f,(,x,),唯一的一个零点同时在区间,(0,16),(0,8),(0,4),(0,2),内,那么下列命题中正确的是,(,),A.,函数,f,(,x,),在区间,(0,1),内没有零点,B.,函数,f,(,x,),在区间,(0,1),或,(1,2),内有零点,C.,函数,f,(,x,),在区间,(1,16),内有零点,D.,函数,f,(,x,),在区间,(2,16),内没有零点,-,7,-,考点,针对训练,1,D,【解析】,由题意可确定,f,(,x,),唯一的一个零点在区间,(0,2),内,故在区间,2,16),内无零点,.,D,正确,A,不能确定,B,中零点可能为,1,C,不能确定,.,-,8,-,考点,2,.,已知,函数,f,(,x,),是定义域为,R,的奇函数,-,2,是它的一个零点,则该函数至少有,个零点,f,(,x,),所有零点的和等于,.,3,0,【解析】,函数,f,(,x,),是定义域为,R,的奇函数,f,(0),=,0,f,(,-x,),=-f,(,x,),.,由题意知,f,(,-,2),=,0,f,(,-,2),=-f,(2),=,0,即,f,(2),=,0,即,2,也是函数的一个零点,.,函数至少有,3,个零点,.f,(,x,),的所有零点的和为,0,.,-,9,-,考点,考向,2,函数零点的应用,典型例题,2,若函数,f,(,x,),=a,x,-x-a,(,a,0,且,a,1),有两个零点,则实数,a,的取值范围是,.,【解析】,函数,f,(,x,),的零点的个数就是函数,y=a,x,与函数,y=x+a,的图象的交点的个数,如图,当,a,1,时,两函数图象有两个交点,;,当,0,a,1,.,【答案】,(1,+,),我们把这一结论称为零点存在性定理.,(2)若f(x)有零点,求实数b的取值范围.,(1)解方程法:当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上.,(3)数形结合法:画出函数的图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,(x1,0),(x2,0),当x0时,令g(x)=0,即x2-4x+3=0,得x=1或3;,对于选项B:y=log2x为非奇非偶函数,与题意不符;,(1)解方程法:当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上.,【解析】因为二次函数最多有两个零点,所以函数y=ax-3(x0)必有一个零点,从而a0,所以函数y=ax2+2x+1(-2x0)必有两个零点,(2019广东汕头学业水平模拟)函数f(x)=x3-5的零点所在的区间是(),【解析】由函数f(x)=x3-5可得f(1)=1-5=-40,f(x)的所有零点的和为0.,【解】(1)f(1)=4-4-b=3,b=-3.,【答案】(1,+),【解】(1)f(1)=4-4-b=3,b=-3.,【解析】a是f(x)=2x-的零点,f(a)=0.,方程|x|=cos x在(-,+)内(),【解析】设f(x)=mx2-x-1,综上可知f(x)的零点个数为2.,-,10,-,考点,【名师点拨】,已知函数有零点,(,方程有根,),求参数取值常用的方法,(1),直接法,:,直接根据题设条件构建关于参数的不等式,(,组,),再通过解不等式,(,组,),确定参数范围,.,(2),分离参数法,:,将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决,.,(3),数形结合法,:,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解,.,-,11,-,考点,针对训练,2,1,.,已知,a,是,f,(,x,),=,2,x,-,x,的零点,若,0,x,0,a,则,f,(,x,0,),的值满足,(,),A,.f,(,x,0,),0D,.f,(,x,0,),的符号不确定,A,【解析】,a,是,f,(,x,),=,2,x,-,的,零点,f,(,a,),=,0,.,再由函数,f,(,x,),的解析式可得函数在区间,(0,+,),上是增函数,且,0,x,0,a,可得,f,(,x,0,),f,(,a,),=,0,.,2,.,已知方程,mx,2,-x-,1,=,0,在,(0,1),上恰有一解,则实数,m,的取值范围为,.,(2,+,),【解析】,设,f,(,x,),=mx,2,-x-,1,方程,mx,2,-x-,1,=,0,在,(0,1),上恰有一解,当,m=,0,时,方程,-x-,1,=,0,在,(0,1),上无解,m,0,.,由,f,(0),f,(1),0,得,-,1(,m-,1,-,1),2,.,故,m,的取值范围为,(2,+,),.,-,12,-,考点,3,.,直线,y=,1,与曲线,y=x,2,-|x|+a,有四个交点,求,a,的取值范围,.,【解】,y=x,2,-|x|+a,是偶函数,其大致图象如下,.,-,13,-,考点,学业,达标,1,.,(2019,广东清远学业水平模拟,),下列函数中,是奇函数且存在零点的是,(,),A.,y=x,3,+x,B.,y=,log,2,x,C.,y=,2,x,2,-,3D.,y,=,A,【解析】,对于选项,A:,y=x,3,+x,为奇函数,且存在零点为,x=,0,与题意相符,;,对于选项,B:,y=,log,2,x,为非奇非偶函数,与题意不符,;,对于选项,C:,y=,2,x,2,-,3,为偶函数,与题意不符,;,-,14,-,考点,2,.,(,2018,广东东莞高一检测,),函数,f,(,x,),=x,2,-ax,的两零点间的距离为,1,则,a,的值为,(,),A.0B.1,C.0,或,2D.-1,或,1,D,【解析】,令,f,(,x,),=x,2,-ax=,0,解得,x,1,=,0,x,2,=a.,函数,f,(,x,),=x,2,-ax,的两零点间的距离为,1,|a-,0,|=,1,解得,a=,1,.,3,.,(2017,广东惠州学业水平测试,),函数,f,(,x,),=,log,2,x+x-,2,的零点所在的区间是,(,),A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),B,【解析】,函数,f,(,x,),=,log,2,x+x-,2,在,(0,+,),上连续,f,(1),=,0,+,1,-,2,0,故函数,f,(,x,),=,log,2,x+x-,2,的零点所在的区间是,(1,2),.,-,15,-,考点,4,.,(2019,广东汕头学业水平模拟,),函数,f,(,x,),=x,3,-,5,的零点所在的区间是,(,),A.(1,2),B,.(,2,3),C,.(3,4),D,.(4,5),A,【解析】,由函数,f,(,x,),=x,3,-,5,可得,f,(1),=,1,-,5,=-,4,0,故有,f,(1),f,(2),1,时,由,f,(,x,),=,1,+,log,2,x=,0,解得,x,=,又因为,x,1,所以此时方程无解,.,综上,函数,f,(,x,),的零点只有,0,.,(2018广东河源校级学业考试)函数f(x)=x2-2x+a在区间(1,3)内有一个零点,则实数a的取值范围是(),【名师点拨】已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法,(2)令4x-2x+1-b=0,则b=4x-2x+1=(2x)2-22x=(2x-1)2-1,根据函数零点的存在性定理可得,函数f(x)的零点所在区间为(1,2),故选A.,函数f(x)在区间(1,3)内与x轴有一个交点,【名师点拨】判断函数在某个区间上是否存在零点的方法,对于选项B:y=log2x为非奇非偶函数,与题意不符;,(2)若f(x)有零点,求实数b的取值范围.,【解析】因为二次函数最多有两个零点,所以函数y=ax-3(x0)必有一个零点,从而a0,所以函数y=ax2+2x+1(-20)必有一个零点,从而a0,所以函数y=ax2+2x+1(-2x0)必有两个零点,(1)若f(1)=3,求f(log23)的值;,b-1,即实数b的取值范围为-1,+).,f(x)的所有零点的和为0.,f(x)的所有零点的和为0.,【解析】a是f(x)=2x-的零点,f(a)=0.,对于选项B:y=log2x为非奇非偶函数,与题意不符;,(2)令4x-2x+1-b=0,则b=4x-2x+1=(2x)2-22x=(2x-1)2-1,【解析】设f(x)=mx2-x-1,-,20,-,选择题,填空题,解答题,4,.,(2018,广东河源校级学业考试,),函数,f,(,x,),=x,2,-,2,x+a,在区间,(1,3),内有一个零点,则实数,a,的取值范围是,(,),A.(-3,0)B.(-3,1),C.(-1,3)D.(-1,1),B,【解析】,令,f,(,x,),=x,2,-,2,x+a,它的对称轴为,x=,1,函数,f,(,x,),在区间,(1,3),单调递增,方程,x,2,-,2,x+a=,0,在区间,(1,3),内有一个零点,函数,f,(,x,),在区间,(1,3),内与,x,轴有一个交点,-,21,-,选择题,填空题,解答题,5,.,方程,|x|=,cos,x,在,(,-,+,),内,(,),A.,没有根,B,.,有且仅有一个根,C.,有且仅有两个根,D.,有无穷多个根,C,【解析】,构造两个函数,y=|x|,和,y=,cos,x,在同一个坐标系内画出它们的图象,草图如图所示,观察知图象有两个公共点,故已知方程有且仅有两个根,.,-,22,-,选择题,填空题,解答题,6,.,已知,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数,当,x,0,时,f,(,x,),=x,2,-,3,x,则函数,g,(,x,),=f,(,x,),-x+,3,的零点的集合为,(,),A.1,3,B.-3,-1,1,3,D,【解析】,由已知可得,x,0,时,f,(,x,),=-x,2,-,3,x,.,当,x,0,时,令,g,(,x,),=
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