基于matlab的模糊聚类分析

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,*,基于,Matlab,的模糊聚类分析及其应用,管理数学实验,课程汇报,学号：,2120111705,姓名：贾珊,1,预备知识,1,基于,MATLAB,的模糊聚类分析的传递方法,2,实例应用,3,Contents,1.,预备知识,3,1.,预备知识,聚类分析和模糊聚类分析,模糊相似矩阵,模糊等价矩阵,模糊矩阵的,-,截矩阵,模糊传递闭包和等价闭包,4,定义一：（模糊）聚类分析,在科学技术，经济管理中常常需要按一定的标准,(,相似程度或亲疏关系,),进行分类。对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为,聚类分析,。,由于科学技术，经济管理中的分类往往具有模糊性，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。我们不能明确地回答“是”或“否”，而是只能作出“,在某种程度上是,”的回答，这就是,模糊聚类分析,。,定义二：模糊相似矩阵,若模糊关系,R,是,X,上各元素之间的,模糊关系，且满足：,(1),自反性：,R,(,x,x,),=1,；,(2),对称性：,R,(,x,y,),=,R,(,y,x,),；,则称,模糊关系,R,是,X,上的一个,模糊相似关系,.,当论域,X,=,x,1,x,2,x,n,为有限时，,X,上的一个,模糊相似关系,R,就是,模糊相似矩阵,，即,R,满足：,(1),自反性：,I,R,(,r,ii,=1,),；,(2),对称性：,R,T,=,R,(,r,ij,=,r,ji,),.,定义三：模糊等价矩阵,若,X,=,x,1,x,2,x,n,为有限论域时，,X,上的模糊等价关,系,R,是一个矩阵（称为,模糊等价矩阵,），它满足下述三个条件：,(1),自反性：,r,ii,=1,i,=1,2,n,。,(2),对称性：,r,ij,=,r,ji,，,i,，,j,=1,2,n,。,(3),传递性：,R,R,R,，即,定义四：模糊矩阵的,截矩阵,设,A,=(,a,ij,),m,n,对任意的,0,1,，称,A,=(,a,ij,(,),),m,n,为,模糊矩阵,A,的,-,截矩阵,其中,当,a,ij,时，,a,ij,(,),=1,；当,a,ij,时，,a,ij,(,),=0.,显然，,A,的,-,截矩阵为布尔矩阵,.,若,R,是,X,上的模糊等价关系，则其,截关系是经典等价关系，它们都可将,X,作一个划分，当,从,1,下降到,0,时，就得到一个划分族，而且由于,时，,R,x,R,x,，,即,R,给出的分类结果中的每类，是,R,给出的分类结果的子类，所以,R,给出的分类结,果比,R,给出的分类结果更细。随着,的下降，,R,给出的分类越来越粗，这样就得到一个,动态的聚类图,。,但,通常模糊关系，不一定有传递性，因而不是模糊等价关系，对这种模糊关系直接进行上述分类显然是不合理的。为此，我们希望寻求一种方法，能将不是等价的模糊关系进行改造，以便分类使用。,定义五：模糊传递闭包,设,R,F,(,X,X,),，,称,t,(,R,),为,R,的,传递闭包,，如果,t,(,R,),满足,:,(1),传递性：,(,t,(,R,),2,t,(,R,),；,(2),包容性：,R,t,(,R,),；,(3),最小性：若,R,是,X,上的模糊传递关系，且,R,R,t,(,R,),R,，,即,R,的传递闭包,t,(,R,),是包含,R,的最小的传递关系。,定义六：模糊等价闭包,设,R,F,(,X,X,),，,称,e,(,R,),为,R,的,等价闭包,，若,e,(,R,),满足下述条件：,(1),等价性：,e,(,R,),是,X,上的模糊等价关系。,(2),包容性：,R,e,(,R,),。,(3),最小性：若,R,是,X,上的模糊等价关系，且,R,R,e,(,R,),R,。,显然，,R,的等价闭包是包含,R,的最小的等价关系。,重要定理,设,R,F,(,X,X,),是相似关系,(,即,R,是自反、对称模糊关系,),，则,e,(,R,)=,t,(,R,),即模糊相似关系的传递闭包就是它的等价闭包。,在实际问题中建立的模糊关系，多数情况下都是相似关系，定理给我们提供了一个求相似关系的等价闭包的方法。当论域为有限集时，此法很简便，即对相似矩阵,R,，求,R,2,，,R,4,，,，当,R,k,R,k,=,R,k,时，便有,e,(,R,),=,t,(,R,),=,R,k,。,2.,基于,MATLAB,的,模糊聚类分析的传递方法,13,2.1,特征抽取，建立原始数据矩阵,假设待分类对象的集合为,X,=,X,1,X,2,X,n,，集合中的每个元素具有,m,个特征，设第,i,个对象,X,i,的第,j,(,j,=1,2,m,),个特征为,x,ij,，则,X,i,就可以用这,m,个特征的取值来描述，记,X,i,=(,x,i,1,x,i,2,x,im,)(,i,=1,，,2,，,，,n,),于是,得到原始数据矩阵为：,2.2,数据标准化处理,描述事物特征的量纲是各种各样的,为了便于分析和比较,从而在计算的过程中消除这种干扰。因此要对矩阵进行标准化处理,这可以有各种类型的方法,如平移,-,标准差变换和平移,-,标准差变换，从而可以把矩阵尽量转化为标准化矩阵。,2.2,数据标准化处理（续）,平移,标准差变换,其中,平移,极差变换,Matlab,程序,-bzh1.m,function Y=bzh1(X),a,b=size(X);,C=max(X);,D=min(X);,Y=zeros(a,b);,for i=1:a,for j=1:b,Y(i,j)=(X(i,j)-D(j)/(C(j)-D(j);,%,平移极差变化进行数据标准化,end,end,fprintf(,标准化矩阵如下：,Y=n);,disp(Y),end,2.3,标定,建立模糊相似矩阵,针对上述的标准化矩阵,计算各分类对象间的相似程度,从而建立模糊相似矩阵,R,=,(,r,ij,),n,n,这个过程又称为标定,计算标定的方法是很多的,主要包括三大类方法,:(1),相似系数法,;(2),距离法,;(3),主观评分法。三类方法各有不同的适用范围,不同的问题需要的方法是不一样的。,（,1,）相似系数法,-,夹角余弦法,相似系数法,-,相关系数法,其中,，,19,（,2,）距离法,r,ij,=1,c d,(,x,i,x,j,),其中,c,为适当选取的参数,.,海明距离,欧氏距离,切比雪夫距离,d,(,x,i,x,j,)=,|,x,ik,-,x,jk,|,1,k,m,20,（,3,）主观评分法,请有经验的人来分别对,X,i,与,X,j,的相似性打分，设有,s,个人参加评分，若第,k,个人,(1,k,s,),认为,X,i,与,X,j,相似的程度为,a,ij,(,k,),（,在,0,，,1,中,）,，他对自己评分的自信度也打分，若自信度分值是,b,ij,(,k,),，,则可以用下式来计算相似系数,:,Matlab,程序,-biaod2.m,function R=biaod2(Y,c),a,b=size(Y);,Z=zeros(a);,R=zeros(a);,for i=1:a,for j=1:a,for k=1:b,Z(i,j)=abs(Y(i,k)-Y(j,k)+Z(i,j);,R(i,j)=,1-c*Z(i,j);,%,绝对值减数法,-,欧氏距离求模糊相似矩阵,end,end,end,fprintf,(,模糊相似矩阵如下：,R=,n);,disp(R),end,2.4,求传递闭包,所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信水平,0,1,，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：,传递闭包法,布尔矩阵法,直接聚类法,本文基于模糊聚类分析的传递闭包方法进行,matlab,编程。,当,X,、,Y,、,Z,为有限论域时，即,X,=,x,1,x,2,x,n,Y,=,y,1,y,2,y,m,，,Z,=,z,1,z,2,z,l,，,则,Q,、,R,、,S,（,=,Q,R,）,均可表示为矩阵形式：,Q,=(,q,ij,),n,m,R,=(,r,jk,),m,l,S,=(,s,ik,),n,l,其中,S,称为,模糊矩阵,Q,与,R,的乘积,。,在当论域为有限集时，传递闭包法很简便，即对相似矩阵,R,，求,R,2,，,R,4,，,，当,R,k,R,k,=,R,k,时，便有,e,(,R,),=,t,(,R,),=,R,k,。,24,Matlab,程序,-cd3.m,function B=cd3(R),a=size(R);,B=zeros(a);,flag=0;,while flag=0,for i=1:a,for j=1:a,for k=1:a,B(i,j)=max(min(R(i,k),R(k,j),B(i,j),;,%R,与,R,内积，先取小再取大,end,end,end,if B=R,flag=1;,else,R=B,;,%,循环计算,R,传递闭包,end,end,2.5,求,模糊矩阵的,截矩阵,依次取,0,1,，,截关系,R,，,R,是经典等价关系，它诱导出,X,上的一个划分,X,/,R,将,X,分成一些等价类。,确定相应的,截矩阵，则可以将其分类。,随,由大到小，分类由细到粗，形成一个动态的分类图。,Matlab,程序,-,jjz4.m,function D k=jjz4(B),L=unique(B);,a=size(B);,D=zeros(a);,for m=length(L):-1:1,k=L(m);,for i=1:a,for j=1:a,if B(i,j)=k,D(i,j)=1;,else D(i,j)=0;,%,求,截距阵，,当,b,ij,时，,b,ij,(,),=1,；当,b,ij,时，,b,ij,(,),=0,end,end,end,fprintf(,当分类系数,k=,：,n);,disp(L(m);,fprintf(,所得截距阵为：,n);,disp(D);,end,3.,案例分析,28,3.,案例分析,环境单元分类,每个环境单元可以包括空气、水分、土壤、作物等四个要素。环境单元的污染状况由污染物在四要素中含量的超限度来描写。,假设有五个单元,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,，,它们的污染数据如下表所示。,空气,水分,土壤,作物,x,1,5,5,3,2,x,2,2,3,4,5,x,3,5,5,2,3,x,4,2,3,4,1,x,5,2,4,5,1,原始矩阵,X,：,X=,5 5 3 2,2 3 4 5,5 5 2 3,2 3 4 1,其动态分类如图,3.47,所示：,=1,x,1,x,3,x,4,x,5,x,2,0.8,0.6,0.5,0.4,动态聚类图,Y=bzh1(X),标准化矩阵如下：Y=,1.0000 1.0000 0.3333 0.2500,0 0 0.6667 1.0000,1.0000 1.0000 0 0.5000,0 0 0.6667 0,0 0.5000 1.0000 0,R=biaod2(Y,0.1),模糊相似距离矩阵如下：R=,1.0000 0.6917 0.9417 0.7417 0.7583,0.6917 1.0000 0.6833 0.9000 0.8167,0.9417 0.6833 1.0000 0.6833 0.7000,0.7417 0.9000 0.6833 1.0000 0.9167,0.7583 0.8167 0.7000 0.9167 1.0000,B=cd3(R),模糊相似矩阵R的传递闭包如下：t(R)=,1.0000 0.7583 0.9417 0.7583 0.7583,0.7583 1.0000 0.7583 0.9000 0.9000,0.9417 0.7583 1.0000 0.7583 0.7583,0.7583 0.9000