2021年高三数学三轮复习模拟考试卷（十三）

高三模拟考试卷（十三） 1、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 ， ，则 |32xAy|(3)Bxyln()RAB) A ， B C ， D(3(,)22, 2 （5 分）若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 对应的点 满足方z|1|2|iiiz(,)xy 程 () A B221()5xy22(1)()5xy C D() 3 （5 分）若双曲线 的虚轴长为 ，则其渐近线的方程是 21(0)yxb3() A B C Dy3x2yx32yx 4 （5 分）永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山 区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩 年 7 月，成功列入世界遗产名录它历史悠.208 久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形， 回字形，吊脚楼等类型现有某大学建筑系学生要 重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研 究要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一 个，方形、五角形相邻则共有 种不同的排() 法 A480 B240 C384 D1440 5 （5 分）已知 ，则 10 2101210()()()()xaxaax 9(a) A B10 C D4510 45 6 （5 分）已知 是边长为 4 的等边三角形， 为 的中点，点 在边 上，且CDBEAC ，设 与 交于点 ，当 变化时，记 ，则下列说法(01)AECADBEPmBPC 正确的是 A 随 的增大而增大m B 先随 的增大而增大后随 的增大而减少 C 随 的增大而减少 D 为定值 7 （5 分）设点 ， 在圆 外，若圆 上存在点 ，使得(3M)22(0)xyrON ，则实数 的取值范围是 4ONr A B C D3,22,3)6,2)6,23) 8 （5 分）已知函数 ，若 ，1()xflne41(log5af ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是 5(log6)bf6log4cfabc() A B C Dacbacab 2、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的对 2 分，有选错的得 0 分。 9 （5 分）使“ ”成立的一个充分不必要条件是 2log(3)x() A B 或 C D3x23x23x732x 10 （5 分）已知两种不同型号的电子元件（分别记为 ， 的使用寿命均服从正态分布，X)Y ， ， ， ，这两个正态分布1(XN2)2(YN) 密度曲线如图所示下列结论中正确的是 () 参考数据：若 ，则2(,)Z ，(0.687P(2)0.954PZ A 112)0.186X B 2()(Y C 1)P D对于任意的正数 ，有t()()PXtYt 11 （5 分）设 是椭圆 上一点， ， 是椭圆的左、右焦点，焦距 210 xyab1F2 为 ，若 是直角，则 2(0)c12F() A 为原点） B|(OP 12FPSb C 的内切圆半径 D12rac|maxc 12 （5 分）在棱长为 2 的正四面体 中，点 ， ， 分别为棱 ， ， 的ACEGBCDA 中点，则 () A 平面/CEFG B过点 ， ， 的截面的面积为 12 C 与 的公垂线段的长为D D 与平面 所成角的大小小于二面角 的大小GBCGBCD 3、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 （5 分）已知单位向量 、 的夹角为 ， 与 垂直，则 ab120kab2k 14 （5 分）已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足 ，则n1nnS12(*)naSN 数列 的通项公式 naa 15 （5 分）已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，底面半径为 ，高为 1， 和 是底PO3EF 面圆周上两点，则圆锥 的侧面展开图的圆心角为； 面积的最大值为OPEF 16 （5 分）已知直线 过抛物线 的焦点 ，且与 轴交于点 ，:20lxy2:CymxyP 是抛物线 上一点， 为坐标原点， 的中点 满足 ，则MCFMQ()|MOP ，点 的坐标为PF 4、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在条件 ， ，sincos()6aBbA25cos()cos4A 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答sinsi2BCA 问题：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，Ca ， ， ， ， ，_，求 bc3ABCabcbc 18 （12 分）已知数列 的前 项和为 ， ， nanS12a1()nnS （1）求证： 是等差数列；1nS （2）求数列 中最接近 2020 的数a 19 （12 分）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴 传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐 形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑 形镜控制孩子的近视发展） ， 市从该地区小学生中随机抽取容量为 100 的样本，其中因A 近视佩戴眼镜的有 24 人（其中佩戴角膜塑形镜的有 8 人，其中 2 名是男生，6 名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率 是多大？ （2）从这 8 名戴角膜塑形镜的学生中，选出 3 个人，求其中男生人数 的分布列；X （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从 市的小学生中，随机选出 20 位小A 学生，求佩戴角膜塑形镜的人数 的期望和方差Y 20如图，在四棱锥 中， ， ， ， 为 的中ABCDE/2BCDEBCFAB 点， BCEF （1）求证： ； （2）若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值AD2AEB 20 （12 分）已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积(2,0)A(,)B(,)SxyASB 为 记动点 的轨迹为曲线 34SC （1）求曲线 的方程，并说明曲线 是什么样的曲线；C （2）设 ， 是曲线 上的两个动点，直线 与 交于点 ，且 MNAMNBP90MAN 求证：点 在定直线上；P 求证：直线 与直线 的斜率之积为定值B 22 （12 分）已知函数 21()()(1fxaxlnalnx （1）当 时，讨论 的单调性；2ayf （2）设 是函数 的导函数，讨论函数 在 ， 上的零点个数()yfx()fx()yfx1e 高三模拟考试卷（十三）答案 1解： ，即 ， ，32xy(2,)A|(3)|0|3Bxylnxx 则 ，则 ， ，|RBR3 故选： C 2解：设 ， ， ，zxyi|1|2|zii(1)|12|xyii ，故 ，22(1)()() 25 故选： B 3解：双曲线 的渐近线方程为： ， 21(0)yxbybx 虚轴长为 ，所以 ，所以其渐近线的方程： 332 故选： D 4解：根据题意，分 2 步进行分析： 将方形、五角形看成一个整体，与除圆和方形、五角形之外的 4 个图形全排列，有 种情况，250A 将圆形安排在第一个或最后一个，有 2 种情况， 则有 种不同的排法，48 故选： A 5解： ，1010 2101210()(2)()()()xxaxaax 则 ，910aC 故选： A 6解：因为 是边长为 4 的等边三角形， 为 的中点，BCDBC 所以 ，D 由向量数量积的几何意义可知： |248mBPB 即 为定值 故选： D 7解：如图所示， 上存在点 使得 ，22(0)xyrN4OM 则 的最大值大于或者等于 时，一定存在点 ，使得 ，OMN4N4OM 当 与圆相切时， 取得最大值， 此时， ，|2sin3ON 解得： ，|6rON 又 在圆外， ，(3,)M23r 综上可得， 6 故选： D 8解：因为 ，1()2xflne 所以 ，11()()()22xxxflllnefx 所以 为偶函数，()fx 因为 ，12 xxef e 当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，0 x()0f0 x()0fx 因为 ， ， ，且441logl5)af5(log6)bf6log4c 因为 ，626ll 故 ， 2224()()(54glgll lg ，4556o60ll 所以 ，456lgl1log 则 abc 故选： B 9解：由 ，22log(3)log4x 解得 ，37 ， 7|2|2xx737|3|22xx 故选： CD 10解：对于 ， ，故 正确；A11 1()(0.687.954)0.86PXA 对于 ，由正态分布密度曲线，可知 ，则 ，故 正确；B221(PYB 对于 ，由正态分布密度曲线，可知 ，则 ，故 错误；C1()XC 对于 ，对于任意的正数 ，直线 左侧 的正态密度曲线所含面积大于 的正态密度DtxtY 曲线所含面积， 故有 ，故 正确()()PXtYtD 故选： AB 11解：设 , , ，1|Fm2|Pn12|Fc 因为 ,所以在直角三角形 中有 ,1290 224.mnc 由椭圆的定义可得 ,2.na 联立解得 ,2mnb 所以三角形 的面积为 ,故 正确；12PF21SmnbB 因为 是斜边 的中线，所以 ,故 正确；O12|OPFcA 设三角形 的内切圆半径为 ，则 ,12r12 2()()Srnacrb 所以 ,故 正确；bacrC 为椭圆上的一点，当点 为椭圆的右顶点时， ,PP1|maxPFc 但是此时 ,所以点 不可能为椭圆的右顶点，故 错误，1290F D 故选： ABC 12解：对于 ，因为 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 对；/AGFCEFG/ACEFGA 对于 ，取 为 中点， 与 都平行 ，且等于 一半，MBD 所以 ， ，同理， ， ，/GEF/M 又取 为 点，连接 、 ，得 ， ，所以 平面 ，所以HBDHAHABDACH ，AC 所以 ，于是 为正方形，所以过点 ， ， 的截面为正方形 ，EFEFGEFGEFGM 其面积为 1，所以 错；B 对于 ，因为 ，所以 ，同理 ，BCAD 所以， 为 与 的公垂线段，其长为 ，所以 对；EADC2C 对于 ，由 知 平面 ， 平面 ，所以 与平面 所成角为 ；BGEGBCD 二面角 的平面角为 ；GD 因为 ，所以 ，于是 ，所以CDEsinsinEGCDE 对 故选： A 13解：根据题意，单位向量 、 的夹角为 ，则 ，ab12012ab 若 与 垂直，则 ，kab2()()kk 解可得： ，45 故答案为： 14解： ，12(*)naSN 当 时， ，所以 ，221a 当 时， ，n1(*)naS 两式相减可得 ，即 ，20na12na 所以 ， ，1na 又 ，满足上式，21 所以 ，(*)nNa 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，n1a12 所以 1()2 故答案为： 1n 15解：圆锥的顶点为 ，高为 1，底面半径为 ，所以母线长为 ，P32(3)1l 如图所示： 所以圆锥侧面展开图是扇形，且扇形的圆心角为 23rl 由于 和 为底面圆周上两个动点，由于 ，所以 为等腰三角形，EFPEFPE 计算 的面积为 ，P12sin2sinS 由于 ， ，所以当 时，三 面积的最大值为 2(03 故答案为： ，2 16解：令直线中 ，可得 ，由题意可得抛物线的焦点为 ， ，0y1x (1,0)(,2)P 所以 ，所以 ，14m4 即抛物线的方程为： ，2yx 因为 ，所以 平分 ，()|PMOQPQOM 作 轴于 ，作 轴于 ，交抛物线的准线于 ，Ny1y1 2 则 ，122|F 所以 ，|QM 由 平分 ，PO 所以 ，可得 ，90PF 则 在以线段 为直径的圆上， 设 ， ，则 ，将 ，0(Mx)y22005(1)()4xy 20yx 代入 ，且 ，32 所以 ，20001()16)yyy 解得： ，可得 ，02y01x 所以 的坐标 ，M(,) 故答案为 ， 901,2 17解：若选择条件，因为 ，sincos()6aBbA 由正弦定理 ，可得 ，siniabAii() 因为 ，所以 ，可得 ，i0B31cos()cosin62tan3A 因为 ，可得 ，3 因为 ，所以 ，ACcosbA 所以 ，6bc 又由余弦定理可得 ， ，222cs()abcbc 所以 3bc 若选择条件，因为 ，25cos()cos4A 所以 ，可得 ，21cos04A12 因为 ，所以 (0,)3 下同选 若选择条件， ，sinsi2BCA 因为 ，所以 ，所以 ，iincos2incosA 因为 ，所以 ，所以 ，(0,)A(0,)2s02 所以 ，所以 ，所以 1sin2A263A 下同选 18 （1）证明： ，11Sa 由 ，得 ，1(2)nnS2nnS 因为 ，1 111nnnnn S 所以 是以 为首项， 为公差的等差数列nS2 （2）解：由（1）得 ，1(1)(1)n nS 即 ，n 则 ，11(2)naSnn 当 时， 也成立，() 所以 ，*1naN 则 ，()n 当 时， ；4451980a 当 时， ，551627 所以数列 中最接近 2020 的数是 1980na 19解：（1）设“这位小学生佩戴眼镜”为事件 ，A “这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件 ，B 则所求的概率为： （1 分）(|)PBA 所以 ， （3 分）0.8(|)(24 所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜， 则他戴的是角膜塑形镜的概率是 （4 分）13 （2）依题意可知：其中男生人数 的所有可能取值分别为：0，1，2， （5 分）X 其中： ； 368205()14CPX ； 12638()5 ， （8 分） 21638()CPX 所以男生人数 的分布列为： 0 1 2P51452838 （9 分） （3）由已知可得： ， （10 分）(20,.8)YB 则： ， ，().16Enp(1)20.8921.47DYnp 所以佩戴角膜塑形镜的人数 的期望是 1.6，方差是 1.472 （12 分） 20解：（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，ACOF ， 分别为 ， 的中点，FOB ，/2 又 ，1/DEC ，OF 故四边形 为平行四边形， ，/EFDO ， ，BCEDO ， ， ， ， 平面 ，COCD 平面 ， 又 平面 ， ；ACAB （2）由（1）知， 平面 ， ，故 平面 ，OCD/FC ， 为 中点，D ，OA 以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，xFyz 设 的长为 ，则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，OD()t(1A)(1C)(D)t(0E)t ，1,AEtCtDE 设平面 的一个法向量为 ，则 ，则可取 ，B(,)nxyz0nxtzEy(,01)nt ，22cos,| 1AEtnt 与平面 所成角的正弦值为 ，AEBD2222(1)3tt 当且仅当 ，即 时等号成立，2tO 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 AEB2(1) 201 解：（1）由题意可得： ，324yxx 化简可得： ， 21()43xy 所以曲线 的中心在原点，焦点在 轴上的椭圆，不含 ， 两点；CxAB （2）证明：由题设知，直线 ， 的斜率存在且不为 0，MANB 设直线 的方程为 ，AM2(0)xty 由 ，可知直线 的斜率为 ，方程为 ，NNAkt12xyt 联立方程 ，消去 整理可得： ，2 143xytx2(43)0tyt 解得 ，则 ，即 ，21Nty 22168()3434Nttt22681(,)34ttN 所以直线 的斜率为 ，NB2 1033468NBtktt 则直线 的方程为： ，代入 ，解得 ，(2)4yxt2xty14x 故点 在直线 上；P1x 由（1） ，得 ， ，3NABk 34MABk 所以 ，9()416ABM 结合 ，得 为定值，1NkBNk 即直线 与直线 的斜率之积为定值 22解：（1） 的定义域为 ，()fx(0,) ，1()afxln 令 ，()hfxlx 则 ，21()ax 当 时， ，23()hx 令 ，解得 ，()0 x 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 （3） ，h(,3)(3,)h4230ln 所以 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增()0fx,fx(0,) （2）当 ，即 时，1aeae 当 时， ，故 在 上单调递减，(,)x()hx()hx1, （1） ， （e） ，h20a 1()aee 当 （e） ，即 ，即 时， 在 ， 上恒成立，1()0 2()0hxe 所以 时， 在 ， 上无零点， 21aehxe 当 （e） ，即 ，即 时， （1） （e） ，h01()0 2ah0 由零点存在性定理可知，此时 在 ， 上有零点，()hx1e 又因为函数 在 ， 上单调递减，所以此时 在 ， 上有一个零点()hx1e()hx1e 当 ，即 时，0a 当 时， ，所以 在 上单调递增，(1,)xe()0hx()hx1,e （1） ， （e） ，h2a0a 当 （1） ，即 时， （1） （e） ，02h 由零点存在性定理，知此时 在 ， 上有零点，()x 因为 在 ， 上单调递增，故 在 ， 上仅有 1 个零点()hx1eh1e 当 时， （1） ，此时 在 ， 上无零点20a()minx0()x 当 ，即 时，1eae 当 时， ，当 时， ，(,)xa()0hx(1,)ae()0hx 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，1, , 故 ()()2(1)minhxaaln 令 （a） ，则 （a） ，g1g1()lna 所以 （a）在 ， 上单调递减，且 ， ，(0e(0)10ge 所以 （a）在 ， 上先增后减，g1 又 ，(0)2e 所以 ，故 ，此时 在 ， 上无零点(1minhxa()0hx()hx1e 综上所述，当 或 时， 在 ， 上有 1 个零点；2 2eyf 当 时， 在 ， 上无零点21ea()yfx1e