D95隐函数求导

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第九章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,1)方程在,什么条件,下才能确定隐函数.,例如,方程,C,0 时,不能确定隐函数,2)方程能确定隐函数时,研究其,连续性,可微性,及,求导方法,问题.,本节讨论:,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.,设函数,则方程,单值连续函数,y=f,(,x,),并有连续,(,隐函数求导公式,),定理证明从略，,仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的,某邻域内,可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对,x,求导,在,的某邻域内,则,若,F,(,x,y,),的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还可求隐函数的,例1,.,验证方程,在点(0,0),某邻域,可,确定一个,单值可导隐函数,解:,令,连续;,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在,x=,0,的某邻域内方程存在单值可,且,并求,两边对,x,求导,两边再对,x,求导,令,x,=0,注意此时,导数的另一求法,利用隐函数求导,定理2.,若函数,的某邻域内具有,连续偏导数,;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z=f,(,x,y,),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对,x,求偏导,同样可得,则,例2,.,设,解法1,利用隐函数求导,再对,x,求导,解法2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,例3.,设,F,(,x,y,)具有连续偏导数,解法1,利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分,:,解法,2,微分法.,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由,F、G,的偏导数组成的行列式,称为,F、G,的,雅可比 行列式,.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的,单值连续函数,且有偏导数公式:,在点,的某一邻域内可,唯一,确定一组满足条件,满足:,导数；,定理证明略.,仅推导偏导数公式如下：,(P86),有隐函数组,则,两边对,x,求导得,设方程组,在点,P,的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,同样可得,例4.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,练习:,求,答案:,由题设,故有,例5.,设函数,在点,(,u,v,),的某一,1)证明函数组,(,x,y,),的某一邻域内,2)求,解:,1)令,对,x,y,的偏导数.,在与点,(,u,v,),对应的点,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,式两边对,x,求导,得,则有,由,定理 3,可知结论 1)成立.,2)求反函数的偏导数.,从方程组,解得,同理,式两边对,y,求导,可得,例5的应用:,计算极坐标变换,的反变换的导数.,同样有,所以,由于,内容小结,1.隐函数(组)存在定理,2.隐函数(组)求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用微分形式不变性;,方法3.代公式.,思考与练习,设,求,提示:,解法,2.,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,第六节,由d,y,d,z,的系数即可得,备用题,分别由下列两式确定:,又函数,有连续的一阶偏导数,1.,设,解:,两个隐函数方程两边对,x,求导,得,(2001考研),解得,因此,2.,设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法1,分别在各方程两端对,x,求导,得,(1999考研),解法2,微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,可得,二元线性代数方程组解的公式,解:,雅可比,(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积,分中.,他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微,分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.,他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.,作业,P82 2;8(3),P89 3,10(1),