函数奇偶性 (2)

函数的奇偶性（一）学 习 目 的 ：1、 了 解 函 数 奇 偶 性 的 定 义 ；2、 掌 握 判 断 函 数 奇 偶 性 的 方 法 2xy 3xy 22 xy o 22 xy o 2 4 2f f 1 1 1f f 1 1 12 4 2f f 2 8 2f f 1 1 1f f 1 1 12 8 2f f 32 21 xyxy 研 究 函 数 xx 2xy xy o xx 3xy xy o xfxfxx 22 xfxfxx 33当 自 变 量 取 一 对 相 .,函 数 值 相 同反 数 时 当 自 变 量 取 一 对 相 反 .,函 数 值 也 是 相 反 数数 时 (一)函数的奇偶性定义:偶函数（even function）的定义： 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 奇函数（odd function）的定义： 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数想 一 想 ：你能仿照偶函数的定义给出奇函数的定义吗？思考：判断上述例子中的两个函数的奇偶性？偶函数奇函数非奇非偶函数 2xy 3xy -1,1x变式：2xy 注意： 函 数 是 奇 函 数 或 是 偶 函 数 称 为 函 数 的 奇 偶 性 ，函 数 的 奇 偶 性 是 函 数 的 整 体 性 质 ； 由 函 数 的 奇 偶 性 定 义 可 知 ， 函 数 具 有 奇 偶 性的 一 个 必 要 条 件 是 ， 对 于 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x，则 x也 一 定 是 定 义 域 内 的 一 个 自 变 量 （ 即 定 义 域关 于 原 点 对 称 ） 首要条件 (三)典型例题例1判断下列函数的奇偶性：4(1) ( ) ;f x x 5(2) ( ) ;f x x 1(3) ( ) ;f x x x 21(4) ( ) ;f x x 解： 4( )f x x(1)对于函数 ，其定义域为( -,+ ). 对定义域内的每一个x，都有4 4( ) ( ) ( ).f x x x f x 函数 为偶函数。 4( )f x x 4(1) ( ) ;f x x 解： 5( )f x x(2)对于函数 ，其定义域为( -,+ ). 对定义域内的每一个x，都有5 5( ) ( ) ( ).f x x x f x 函数 为奇函数。 5( )f x x 5(2) ( ) ;f x x 解： 对定义域内的每一个x，都有1 1( ) ( ) ( ).f x x x f xx x (3)对于函数 ，其定义域为 x|x0 .1( )f x x x 函数 为奇函数。1( )f x x x 1(3) ( ) ;f x x x 解： 对定义域内的每一个x，都有 2 21 1( ) ( ).( )f x f xx x (4)对于函数 ，其定义域为 x|x0 .21( )f x x 函数 为奇函数。1( )f x x x 21(4) ( ) ;f x x 想 一 想 ： 判 断 函 数 奇 偶 性 的 大 体 步 骤 分 哪 几 步 ？（1）若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数；（2） 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数3、 根 据 f(-x)与 f(x)的 关 系 判 断 奇 偶 性 。可 分 三 步 ： 1、 写 出 函 数 的 定 义 域 ； 2、 判 断 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 ； 22, 0, ;2 , 2,2 ;3 ;4 3;5 0f x x xf x x xf x xf xf x 做 一 做 ： 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性1非奇非偶偶函数非奇非偶偶函数既是奇函数又是偶函数 归纳函数奇偶性的类型： 1 1 0 xf x 非 奇 函 数 非 偶 函 数 ， 如 ： f x 定 义 域 不 是 关 于 原 点 对 称 的 函 数2 偶 函 数 ， 如 ： f x =f -x ,f x =a(即 常 数 函 数 )3 奇 函 数 ， 如 ： f -x4 既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数 ， 如 ： f x 1函数f（x）=x (-1x 1)的奇偶性是（ ） A奇函数非偶函数B偶函数非奇函数 C奇函数且偶函数 D非奇非偶函数D 2. 已知函数 f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数， 那么 g（x）=ax3bx2cx 是 ( ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数A课堂练习： 12 x 2x x2 ).0()1( ),0()1( xxx xxx4. 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 ：(1)f(x) lg(2)f(x) +(3) f（ x） = -x); 2 1x 2 1x 解 (1)此 函 数 的 定 义 域 为 R. f(-x)+f(x) lg( +x)+lg(（ 3） 函 数 f（ x） 定 义 域 （ ， 0） （ 0， + ） ，当 x 0时 ， x 0， f（ x） =（ x） 1 （ x） = x（ 1+x） = f（ x） （ x 0） .当 x 0时 ， x 0， f（ x） = x（ 1 x） = f（ x） （ x 0） .故 函 数 f（ x） 为 奇 函 数 . -x) lg1 0 f(-x) -f(x)， 即 f(x)是 奇 函 数 。(2)此 函 数 定 义 域 为 2 ， 故 f(x)是 非 奇 非 偶 函 数 。 5, ,R已 知 函 数 f x ， x都 有 f x+y =f x +f y1 证 明 f x 是 奇 函 数 ;2 若 f -3 =a， 试 用 a表 示 24 证明：（1）证明： 令y=-x，得：f（x）+f（-x）=f（0）， 令x=y=0，则f（0）=2f（0）即f（0）=0， f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）， f（x）是奇函数（2） f（24）=f（3）+f（21） =2f（3）+f（18） = =8f（3）， 又 f（-3）=a f（3）=-a f（24）=-8a 小 结奇函数的概念偶函数的概念判断函数奇偶性的方法与步骤总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(-x)与f(x)的关系； 作出相应结论： 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶 函数； 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是 奇函数 函数的奇偶性（二）学习目的： 函数奇偶性的灵活运用 : ?.思 考 题奇 函 数 和 偶 函 数 的 图 象 各 有 什 么 特 点各 举 一 例 2xy xy o 3xy xy o o xyxy 1 | 1xy o xy xfxP , xfxP , xfxP , xfxP , 一、具有奇偶性的函数的图象的特征: 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称注 意 ： 简 称 ： 奇 原 偶 其 逆 命 题 也 成 立 二、单调性：偶函数在对称区间的单调性相反；奇函数在对称区间的单调性相同； 2xy xy o 3xy xy o 奇偶函数的图象对称定理的应用：作图；判断函数的奇偶性；数形结合解题 1利用函数的奇偶性补全函数的图象例如图是函数 图像的一部分，你能根据 的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？ 3( )f x x x ( )f x课堂练习： 解： 对定义域内的每一个x，都有3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f x x x x x f x 对于函数 ，其定义域为(-,+).3( )f x x x 函数 为奇函数。 3( )f x x x 奇函数的图象关于原点对称，因此可以画出函数 的图象：3( )f x x x 2、 已 知 f(x)是 奇 函 数 ， g(x)是 偶 函 数 ，如 图 （ 1） 、 （ 2） 分 别 是 他 们的 局 部 图 象 ， 试 求 f(-2) ， g(1) ，并 把 这 两 个 函 数 的 图 象 补 充 完 整 。 x43210-1-2-3-4 213-3y-2-1 f(x)(1) 3210-1-3 23-3-2-14y 1-2 x(2)g (x)f(-2)=- f(2)=-2 g(1)=g(-1)=1 x43210-1-2-3-4 213-3y-2-1 f(x)（ 1） x3210-1-3 23-3-2-14y1-2g (x) (2) 3： 奇 函 数 f(x)在 区 间 3， 7上 递 增 ， 且 最 小 值 为 5， 那 么 在 区 间 7， 3 上 是 （ ） A 增 函 数 且 最 小 值 为 5 B 增 函 数 且 最 大 值 为 5 C 减 函 数 且 最 小 值 为 5 D 减 函 数 且 最 大 值 为 5 B 3 ,0 12 _0 _f xx f x xfx f x 4、 设 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 且 时 , 则 ； 当 时 ， ；解析：f(2)f(2)9， x0时， x0 f(x)(x)311x3。 而函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以有f(-x) = f(x) 所以f(x) = 1x 3 9 1x3 题 结 ： 在 哪 个 区 间 求 解 函 数 式 ， 就 设 在 哪 个 区 间 里 ； 利 用 已 知 区 间 的 解 析 式 进 行 代 入 ; 利 用 f(x)的 奇 偶 性 把 f(-x)写 成 -f(x)或 f(x)， 从 而 求 解 f(x). 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质