用平面向量坐标表示向量共线条件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,用平面向量坐标表示向量共线条件,两个向量,a,b,平行的条件：,a,=,b,，,b,0.,那么当向量,a,的坐标为(,a,1,a,2,),b,的坐标为(,b,1,b,2,)时，代入上式，得,(,a,1,a,2,)=(,b,1,b,2,) .,(,a,1,a,2,)=(,b,1, ,b,2,),即,a,1,=,b,1,，,a,2,=,b,2,a,1,b,2,a,2,b,1,=0,式就是,两个向量平行的条件,那么当向量,b,不平行于坐标轴时，即,b,1,0，,b,2,0时，式可化为：,式用语言可表示为:两个,向量平行的条件,是相应,坐标成比例,。,例1 已知向量 =（2，5）和向量,a,(1,y,),并且向量 ,a,，求,a,的纵坐标,y,。,解：利用式可求出,y,的值，,152,y,=0,所以,例2. 在直角坐标系,xOy,内，已知,A,(2,3)、,B,(0,1)、,C,(2,5)，求证：,A,、,B,、,C,三点共线。,说明：利用向量的线性运算求出向量,的坐标，再利用向量平行的条件式 ，就可知,A,、,B,、,C,三点共线。,解：,284 4=0，,所以,因此A，B，C三点共线.,练习：,1.已知,a,=(4, 2)，,b,=(6,y,)，且,a,/,b,，求,y,.,y,=3,2.已知,a,=(3, 4),b,=(cos, sin), 且,a,/,b,求tan.,tan=4 /3,3. 已知,a,=(1, 0),b,=(2, 1), 当实数,k,为何值时,向量,k,a,b,与,a,+3,b,平行? 并确定它们是同向还是反向.,解：,k,a,b,=(,k,2, 1),a,+3,b,=(7, 3),a,/,b,这两个向量是反向。,4.已知,A,B,C,三点共线,且,A,(3, 6),B,(5, 2),若点,C,横坐标为6, 则,C,点的纵坐标为 ( ),A13 B9,C9 D13,C,5. 若三点,P,(1, 1)，,A,(2, 4)，,B,(,x, 9)共线，则 （ ）,A,x,=1 B,x,=3,C,x,= D51,B,6.设,a,=( , sin,)，,b,=(cos, )，且,a/,b,，则锐角,为 ( ),A30,o,B60,o,C45,o,D75,o,C,7. ,ABC,的三条边的中点分别为(2, 1)和(3, 4),(1,1)，则,ABC,的重心坐标为 _,8.已知向量,a,=(2,x, 7),b,=(6,x,+4)，当,x,=_时，,a,/,b,3或7,9.若|,a,|=2，,b,=(1, 3)，且,a,/,b,，则,a,=_,练习1. 设向量,a,=(1,3)，,b,=(2,4)，,c,=(1,2)，若表示向量4,a,、4,b,2,c,、2(,a,c,)、,d,的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量,d,为,.,解： 4,a,+(4,b,2,c,)+2(,a,c,)+,d,=0,所以,d,=6,a,4,b,+4,c,=(2, 6).,2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量,设起始P(10,10), 则5秒钟后点P的坐标为( ).,解：5秒种后，P点坐标为,(10, 10)+5(4, 3)=(10, 5).,3.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足,(1) 为何值时,点P在直线,y,=,x,上?,(2)设点P在第三象限, 求的范围.,解,: (1) 设P(,x,y,)，则,(,x,2,y,3,)=(3, 1)+(5, 7),所以,x,=5+5，,y,=7+4.,解得 =,(2) 由已知,5+50,7+40 ,所以1.,