教育专题：万有引力理论的成就

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,万有引力定律,物理,必修,2,万有引力理论的成就,课前导航,月亮在逃离地球,当你看着图,13,1,遥想月球时，月球正在悄悄地从地球身边溜走！,图,13,1,月球和地球通过相互吸引，地球自转的能量被月球一点点地,“,偷,”,走了，每,1,年，月球都从地球上吸取一点自转能量，并利用这些能量来使自己在轨道上向外偏离,3.75 cm,，因此每,100,年地球的自转周期就要减慢,1.5 ms,天文学家指出，在月球刚形成的时候，它与地球的距离仅仅是,22530 km,，而现在的距离已经拉大到了,400000 km,，而且随着时间的推移，月球会走得越来越远！,请你思考：,1,若月球绕地球的运行可以看做是匀速圆周运动，为什么月球向外偏离时，其运行周期会增大？,2,你能否根据上面提供的数据估算出月球的年龄？,基础梳理,知识精析,一、天体的质量和密度的估算,1,已知某星球表面的重力加速度,g,和该星球的半径,R,，可计算出该星球的质量与平均密度,由公式,mg,G,得：,基本要求,1.,了解万有引力定律在天文学上的重要应用,2.,会用万有引力定律计算天体质量，了解,“,称量地球质量,”,和,“,计算太阳质量,”,的基本思路,发展要求,认识万有引力定律的科学成就，体会科学思想方法,星球的质量,M,平均密度,例如，地球表面的重力加速度,g,9.8 m/s,2,，半径,R,6400 km,，代入上式求得地球的质量,M,6.0,10,24,kg,，地球的平均密度,5.48,10,3,_,kg/m,3,2.,已知行星的轨道半径和周期,可求出中心天体的质量,大多数行星的椭圆轨道都十分接近圆形,它们的运动可近似看做是匀速圆周运动,运动所需的向心力由万有引力来提供,以,M,表示某天体的质量，以,m,表示此天体的一个卫星的质量，以,r,表示它们间的距离，以,T,表示卫星绕天体做匀速圆周运动的周期,根据牛顿第二定律和万有引力定律得：,G,mr,(),2,则中心天体的质量,M,可见，只要能够测出,r,和,T,，就可以求得中心天体的质量,若已知中心天体的半径为,R,，则体积,V,R,3,则中心天体的平均密度,当卫星沿天体表面绕天体运动时，有,r,R,，则：,M,，,二、注意常数的应用,1,用测定绕行天体,(,如卫星,),的轨道半径和周期的方法测质量，只能测定其中心天体,(,如太阳,),的质量，不能测定绕行天体自身的质量,2,地球的公转周期、地球的自转周期、月球绕地球运动的周期及地球同步卫星的周期等，应作为常识记住，在估算天体的质量时，可作为已知条件直接使用,如地球公转一周是,365,天，地球自转一周是,24,小时，地球表面的重力加速度约为,9.8 m/s,2,等可根据不同的已知条件，灵活选用以上公式及关系式本单元中的不少题目可采用比例求解,三、应用万有引力定律处理天体运动问题,1,将天体,(,行星或者卫星,),的运动看成是匀速圆周运动，万有引力为其提供做圆周运动的向心力，然后根据牛顿第二,定律和万有 引 力 定 律列方程,即,G,m a,向,m,m,m,2,r,2,天体运动的参量应该由上式确定，并且可以确定下面的比例关系：,a,或,a,v,或,v,或,T,或,T,3,由地球,(,或星球表面,),的重力近似等于万有引力公式，,即,mg,G,可得,GM,gR,2,运用,GM,gR,2,作为桥梁，可,把,GM,和,gR,2,互相替代，从而把,“,地上,”,和,“,天上,”,联系起来由于这种代换经常应用，因此被称为,“,黄金代换,”,四、双星问题,1,双星系统：在宇宙中有许多由两颗恒星相互环绕组成的系统，它们远离其他星系，在引力的作用下绕它们连线上的某点做匀速圆周运动,2,特点：,(1),以连线上的某点为圆周运动的共同圆心；,(2),角速度相同,;(3),动力学方程：,方法探究,一、求未知天体的质量的方法,例,1,为了研究太阳的演化过程，需知道目前太阳的质量,M,已知地球半径,R,6.4,10,6,m,，地球质量,m,6,10,24,kg,，日地中心的距离,r,1.5,10,11,m,，地球表面的重力加速度,g,10 m/s,2,，地球绕太阳的公转周期约为,3.2,10,7,s,，试估算目前太阳的质量,M,(,结果保留一位有效数字，引力常量未知,),分析,天体的运动可看做是匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，这是处理这类题目的关键,解析,本题已知地球绕太阳公转的轨道半径,R,和周期,T,，可根据牛顿第二定律和万有引力定律列方程求解，有：,G,m,(),2,r,对地球表面质量为,m,的物体，有：,m,g,G,由以上两式可解得：,M,代入数值得：,M,2,10,30,kg,答案,2,10,30,kg,点评,估算天体质量的方法通常有两个：一是根据卫星,(,或行星,),的周期和运行半径由,G,mr,求得；二是根,据行星表面的重力近似等于万有引力，由,mg,G,求,得本题联合使用,F,引,F,向,和,mg,F,引,进行计算,变式训练,天文学家新发现了太阳系外的一颗行星这颗行星的体积是地球的,4.7,倍，质量是地球的,25,倍已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为,1.4,小时，引力常量,G,6.67,10,11,Nm,2,/kg,2,，由此估算该行星的平均密度约为,2009,年高考,全国理综卷,(,),A,1.8,10,3,kg/m,3,B,5.6,10,3,kg/m,3,C,1.1,10,4,kg/m,3,D,2.9,10,4,kg/m,3,解析,近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，,有：,G,可求出地球的质量,M,再根据,可得：该行星的密度约为,2.9,10,4,kg/m,3,答案,D,二、应用万有引力定律计算重力加速度,例,2,一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面,的重力加速度为,g,行,，行星的质量,M,与卫星的质量,m,之比 ,81,，行星的半径,R,行,与卫星的半径,R,卫,之比 ,3.6,，行星与,卫星之间的距离,r,与行星的半径,R,行,之比 ,60,设卫星表,面的重力加速度为,g,卫,，则在卫星表面有：,G,mg,卫,根据上式经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星,表面的重力加速度的,上述结果是否正确？若正确，列,式证明；若错误，求出正确结果,解析,所得的结果是错误的因为式中的,g,卫,并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度,正确解法如下：,在卫星表面上有：,G,g,卫,在行星表面上有：,G,g,行,由两式可得：,代入数据得：,g,卫,0.16,g,行,答案,错误,g,卫,0.16,g,行,点评,本题主要考查了应用万有引力定律计算重力加速度本题虽然是考查万有引力定律和重力加速度，但题目设计新颖、形式灵活处理本类问题的关键仍是对基本规律和公式的理解，尤其要注意公式中物理量的对应性,三、双星运动问题,例,3,观察到一对双星,A,、,B,绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，其周期为,T,，,A,、,B,间的距离为,L,，它们的线速度,之比 ,2,试求这两颗星的质量,解析,设,A,、,B,两颗星的圆轨道半径分别为,r,1,和,r,2,，它们,的质量分别为,m,1,和,m,2,，它们的角速度相同，且,由,于它们间的万有引力提供其做圆周运动的向心力，所以有：,G,m,1,r,1,2,m,2,r,2,2,又,r,1,r,2,L,2,解得：,r,1,，,r,2,由上三式得：,m,2,2,m,1,联立解得：,m,1,，,m,2,答案,点评,双星之间的万有引力分别提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，且角速度相同，这是双星的物理模型在研究双星运动时要特别注意轨道半径与两者间的距离的区别，并注意它们之间的相关物理量,(,如,、,F,等,),互动平台,育才老师与细心同学关于,“,月球在逃离地球,”,的对话,细心：老师，我现在知道了月球为什么在逃离地球,育才：说说你的想法,细心：月球利用从地球上,“,偷,”,取的一点能量，使自己的运行速度增大，这就使得月球绕地球运行所需的向心力增大，可万有引力无法满足，因此月球就做离心运动当轨道,半径增大时，由,G,m,可得,T,由此可知月,球绕地球运行的周期要变大,育才：很好！那你能否求出月球的年龄？,细心：这个问题就更简单了根据月亮每年要逃离,3.75 cm,，可知月球形成的时间为：,t,年,1.0,10,10,年,育才：这是你根据短文中的条件估算的你能从短文中获取信息，确实不错,粗心同学与细心同学关于,“,海王星,”,的对话,粗心：课本上说海王星是在万有引力定律的指导下发现的，这是怎么回事呢？,细心：这是因为在对天王星进行观察和研究时，用万有引力定律计算出来的位置和轨道与实际观察到的情况不符合，原因是在用万有引力定律计算时，没有考虑天王星外未知天体的引力，所以有天文学家就大胆推测天王星外面一定还有一个大行星在影响着天王星的运动随后人们根据他们的推测果然观察到这颗新的行星，命,“,海王星,”,粗心：噢！原来如此！,互动训练,1,一飞船在某行星表面附近沿圆形轨道绕该行星飞行，假设行星是质量分布均匀的球体要确定该行星的密度，只需要测量,(,),A,飞船的轨道半径,B,飞船的运行速度,C,飞船的运行周期,D,行星的质量,解析,因为,F,向,m,(),2,r,G,其中,M,r,3,可得：,答案,C,2,土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动其中有两个岩石颗粒,A,和,B,与土星中心的距离分别为,rA,8.0104 km,和,rB,1.2105 km,忽略所有岩石颗粒间的相互作用,(,结果可用根式表示,)2007,年高考,广东物理卷,(1),求岩石颗粒,A,和,B,的线速度之比,(2),求岩石颗粒,A,和,B,的周期之比,(3),土星探测器上有一物体，在地球上重为,10 N,，推算出它在距土星中心,3.2,10,5,km,处受到土星的引力为,0.38 N,已知地球半径为,6.4,10,3,km,，请估算土星质量是地球质量的多少倍？,解析,岩石颗粒绕土星做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和万有引力定律得：,(1),G,m,，所以,v,岩石颗粒,A,和,B,的线速度之比为：,v,A,v,B,(2),G,mr,(),2,所以,T,则岩石颗粒,A,和,B,的周期之比,T,A,T,B,2,9,(3),F,万,G,G,重,由题意可得：,10,G,0.38,G,联立解得：,95,即土星质量是地球质量的,95,倍,答案,(1),(2)2,3,(3)95,倍,3,已知太阳光经,500 s,到达地球，地球的半径是,6.4,10,6,m,，试估算太阳的质量与地球质量的比值,(,结果保留一位有效数字,),解析,地球到太阳的距离为：,r,ct,3.0,10,8,500 m,1.5,10,11,m,地球绕太阳的运动可看做是匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力,地球绕太阳公转的周期,T,365 d,3.2,10,7,s,，由,G,m r,得：太阳的质量,M,地球表面的重力加速度,g,9.8 m/s,2,，在忽略地球自转的情况下，质量为,m,的物体在地球表面所受的重力等于地球,对物体的引力，即,m,g,G,则地球的质量,m,太阳的质量和地球质量的比值为：,3,10,5,答案,3,10,5,敬请指导,谢谢！,