有限长单位脉冲响应FIR数字滤波器的设计

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本章主要内容,线性相位,FIR,数字滤波器的特点,用窗函数法设计,FIR,滤波器,用频率采样法设计,FIR,滤波器,第六章 有限长脉冲响应,(FIR),数字滤波器的设计,方法,1,：,设计满足幅度指标要求的,IIR,滤波器,，再加,线性相位校正网络（如全通网络）,；设计复杂，成本高；,方法,2,：,用,FIR,滤波器,的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严格的,线性相位,。,线性相位数字滤波器的实现,h(n,),是,FIR,滤波器的单位脉冲响应，长度为,N,，,则其系统函数为：,H(z)=,z,-n,收敛域包括单位圆；,z,平面上有,N-1,个零点；,z=0,是,N-1,阶极点,;,特点：,FIR,滤波器,永远稳定和容易实现线性相位,6.1,线性相位,FIR,数字滤波器的特点,对于长度为,N,的,h(n),，,传输函数为：,注意：,H,(),为,的实函数，可能取负值；,|,H(e,j,)|,称为幅度响应，总是正值,H,(),称为幅度函数，,(),称为相位函数,一、线性相位条件,=H (),但上两种情况都满足,群时延,是一个常数,第一类线性相位,第二类线性相位,() =,为常数；,()=,0,，,0,是起始相位,线性相位是指,(),是,的线性函数，即：,1,、什么是线性相位,-,=,h(n),是以,(N-1)/2,偶对称实序列,，即：,h(n) = h(N,n,1),2,、第一类线性相位条件,N,为奇数的情况,n,0,h(n,),N,为偶数的情况,n,0,h(n,),h(n),是以,(N-1)/2,奇对称实序列,，即：,h(n) =,h(N,n,1),3,、第二类线性相位条件,N,为偶数的情况,N,为奇数的情况,n,0,h(n,),n,0,h(n,),4,、第一类线性相位特点,令：,m=N-n-1,则有,将,z=e,j,代入上式，得到：,相位函数,幅度函数,H,第二类线性相位条件证明,将,z=e,j,代入上式，得到：,相位函数,幅度函数,m=0,第一类相位函数条件,:,h(n),偶对称,第二类相位函数条件,:,h(n),奇对称,1,、,h(n)=h(N-n-1),，,N=,奇数,由前面推导的幅度函数,H (),为：,二、线性相位,FIR,滤波器幅度函数的特点,特点：,h(n,),对,(N-1)/2,偶对称，余弦项也对,(N-1)/2,偶对称；,以,(N-1)/2,为中心，把两两相等的项进行合并，因,N,为奇数,，,余下中间项,n=(N-1)/2,H (),m=1,令m=(N-1)/2-n,H (),其中,，,幅度函数特点：,(1),式中,cos,n,项对,=0,皆为偶对称，则幅度特性对,=0, ,是偶对称,的。,(2),可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）。,H ()=,2,、,h(n)=h(N-n-1),，,N=,偶数,推导情况和前面,N,为奇数相似，不同点是由于,N,为偶数，,H,g,(),中没有单独项，相等的项合并成,N/2,项。,其中：,令m=N/2-n,H (),幅度特点：,(1),当,=,时，,故,H (,)=0,，即,H(z),在,z= ,1,处，有一零点,；,(2),由于,cos,(n,),对,w=,奇对称，所以,H(,),在,=,呈奇对称,；,(3),用这种滤波器设计方法,不能实现高通、带阻滤波器,；,H (),3,、,h(n)=-h(N-n-1),，,N=,奇数,由前面推导的幅度函数可得,：,由于,h(n)=-h(N-n-1),，当,n=(N-1)/2,时：,h(n),和,正弦项都对,(N-1)/2,奇对称，相同项合并，共合并,(N-1)/2,项。,h(N-1)/2=0,n0,(N-3)/2,2h(n),Sin,( - n),令,m=(N-1)/2-n,H (),幅度特点：,(1),幅度函数,H(,),在,=0, ,呈,奇对称。,(2) H(,),在,=0,、,、,2,处值为,0,，即,H(z),零点在,z=,1,处,，只能实现,带通滤波器,;,H (),4 h(n)=,h(N-n-1),，,N=,偶数,令：,m=N/2-n,，,则有：,H (),H (),幅度特点：,(1),由于,sin,(n,-,),在,=0,、,2,处都为,0,，因此,H (,),在,=0,，,2,处也为,0,，,H(z),在,z=1,处为零点；,不能实现低通、带阻滤波器,。,(2),由于,sin,(n,),在,=0,、,2,处都呈奇对称，对,=,呈偶对称，故幅度函数,H(,),在,=0, ,也呈,奇对称，在,=,处呈偶对称,。,H (),第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示：,三、零点位置,表明：,如果,z=,z,i,是,H(z),的零点,，,则,z=z,i,-1,也是,H(z),的零点,。,由于,h(n),为实序列，零点必定共轭成对。则,z,i,*,和,(z,i,-1,)*,也是,H(z),的零点,；即,H(z),的,零点必定互为倒数的共轭对。,0,1,Re(z),jIm(z,),Z,i,-1,Z,i,Z,i,*,(Z,i,-1,)*,(1),分析：,(1),当,z,i,不在实轴上，不在,|z|=1,上，则,零点是互为倒数的两组共轭对；,确定了一个零点，其它三个确定了。,(2),当,z,i,不在实轴上，但在,|z|=1,上，由于共轭对的倒数是它们本身，故此时,零点是一组共轭对,；,Re(z),jIm(z,),Z,i,0,1,Z,I,*,(2),(3),z,i,在实轴上，不在,|z|=1,上，则零点是,互为倒数两个实数零点,；,-1,(4),0,1,jIm(z,),Re(z),(4),z,i,在实轴上，也在,|z|=1,上，则零点只有一个，或位于,z=1,，或,位于,z =,1,。,Z,I,1,0,1,jIm(z,),Z,i,(3),Re(z),例：如果系统的单位脉冲响应为,(1),判断该系统是否具有线性相位，说明理由。,(2),求出该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线。,h(n,),1,，,0n ,5,0,，其他,n,一、设计思想,设希望设计的滤波器传输函数为,H,d,(e,j,),，,h,d,(n,),是与其对应的单位脉冲响应，因此 ：,6.2,用窗函数法设计,FIR,滤波器,n,问题,：,一般情况下,H,d,(e,j,),是,逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，所以,h,d,(n,),是,无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。,例,：一理想低通滤波器的传输函数,H,d,(e,j,),为,相应的单位脉冲响应,h,d,(n,),为,h,d,(n,),n,h,d,(n,),是无限时宽，非因果序列,0,c,-,c,|,H,d,(e,j,)|,1,要求,:,(1),得到一,因果序列,h(n),；,(2),构造,一个长度为,N,的线性相位滤波器,；,将,h,d,(n,),截取一段，并保证截取的一段对,(N-1)/2,对称,(,线性相位,),。,设截取的一段用,h(n),表示，即,h(n)=,h,d,(n)R,N,(n,),R,N,(n),n,0,N-1,h,d,(n,),n,h,(n),n,a,(N-1)/2,矩形窗的长度为,N,，且,a,(N-1)/2,时,，满足上述两个要求。,二、加窗处理对,FIR,滤波器幅频特性的影响,设计过程中，加窗后的单位响应序列为,h(n)=,h,d,(n),R,N,(n,),。,即用一个,有限长的序列,h(n),去代替一个,无限长的序列,h,d,(n,),，,会产生误差，时域中是,截断处理,，在频域表现出的现象就是,通带和阻带中有波动,，也称为吉布斯效应,(,截断效应,),。,这样设计出来的,频响,H(e,jw,),只能是尽量逼近要求的,H,d,(e,jw,),h(n)=,h,d,(n),R,N,(n,),*,分析：,频域卷积定理,),矩形窗的幅度函数,理想低通滤波器的幅度特性,*,结论：,设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性,H,d,(,),与,矩形窗幅度特性,R,d,(),的,卷积。,H,d,(,),与,R,d,(),卷积形成,H(),的过程,Wc+2,/N,Wc,2,/N,H(w),最大的正峰与最大的负峰对应的频率相差,4/N,H(,),与原理想低通,H,d,(,),差别有以下,2,点：,H(,),在,=,C,附近形成过渡带,，过渡带,宽度,B=4,/N,，,近似于矩形序列,幅度谱,R,N,(,),的主瓣宽度,；,通带内增加了,波动,，最大的峰值在,=,C,2,/N,处，阻带内产生了,余振,，最大的负峰值在,=,C,+2,/N,处。幅度谱,R,N,(,),波动越快,(N,加大,),，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响,H(,),波动的大小。,H,d,(,),在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应,影响,:,(1),通带内的波动影响滤波器通带的,平稳性,；,(2),阻带内波动影响,阻带的衰减,，可使最小衰减不满足技术要求；,减小吉布斯效应措施,1,、增加,N,值,可减小过渡带宽度,，由于,主瓣与旁瓣幅度也增加，且主瓣和旁瓣的,相对值不变,，,H(w),的波动幅度没有改变。,带内最大肩峰比,H(0),高,8.95%,，阻带最大负峰比零值超过,8.95%,。使阻带最小的,衰减只有,21dB,。,谱间干扰未减小，波动更明显，因此,加大,N,并不是减少吉布斯效应的有效方法,；,2,、改善窗函数的形状,减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从,窗函数的形状,找出解决方法，主要考虑以下,2,点因素：,尽量,减小主瓣宽度,，以获得较窄的过渡带；,尽量使窗函数的,最大副瓣,相对于主瓣要小，使设计出来的滤波器幅度特性中,肩峰和余振较小,，阻带衰减较大。,三、几种常见的窗函数,1,、矩形窗,(Rectangle Window),w,R,(n,)=R,N,(n),其频率响应,为,W,R,(e,jw,),主瓣宽度为,4,/N,，,第一副瓣比主瓣低,13dB,。,w,2,、三角窗,(Bartlett Window),，,巴特利特窗,W,Br,(e,jw,),主瓣宽度为,8,/N,；,第一副瓣比主瓣低,26dB,。,w,2,3.,汉宁,(,Hanning,),窗,升余弦窗,频响函数,其幅度函数,W,Hn,(e,jw,),主瓣宽度为,8,/N,，,第一副瓣比主瓣低,33dB,。,w,|,4,哈明窗,(Hamming Window),改进的余弦窗,W,Hm,(e,jw,),主瓣宽度为,8,/N,，,第一副瓣比主瓣低,40dB,。,w,5,布莱克曼窗,(Blackman Window):,二阶升余弦窗,W,Bl,(e,jw,),主瓣宽度为,12,/N,，,第一副瓣比主瓣低,57dB,。,w,6,、凯塞,-,贝塞尔窗,(Kaiser-Basel Window),参数用以,控制窗的形状,，影响滤波器的性能参数，,加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为：,49,；当,5.44,时，窗函数接近哈明窗， ,7.865,时，窗函数接近布莱克曼窗。,凯塞窗的幅度函数为：,I,0,(x),取,1525,项，可满足精度要求,I,0,(x),是零阶第一类修正贝塞尔函数,凯塞窗参数对滤波器的性能影响,六种窗函数的基本参数,四、窗函数法的设计步骤,1,确定希望逼近的滤波器的频响函数,H,d,(e,j,),2,、根据,H,d,(e,j,),确定其对应的单位脉冲响应,h,d,(n,),IDFT,R,M,(n),n,(1),H,d,(e,j,),可封闭求解，则：,(2),H,d,(e,j,),不可封闭求解，对,H,d,(e,j,),从,=0,2,采样,M,点，采样值为,H,d,(e,j2,k/M,),，,k=0,1,M-1,，,用,2,/M,代替上式中,d,，则：,(3),如果已知通带,(,或阻带,),衰减和边界截止频率,c,，,选,理想滤波器,作为逼近函数，对理想滤波器频响函数作,IFT,，,求出,h,d,(n,),。,2,、选择窗函数,根据,过渡带,与,阻带衰减,的要求，选择满足条件的,窗函数形式,，并,估计窗口长度,N,。,原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄的窗函数。,3,、计算所要设计的滤波器的单位采样响应,h(n),计算滤波器的单位取样响应,h(n)=,h,d,(n),w(n,),。,其中,w(n),是上面选择好的窗函数，,h,d,(n,),与,w(n),都应满足线性相位要求。,4,、验证技术指标是否满足要求,已设计出的滤波器的频率响应 。验算,H(e,j,),是否满足设计要求，若不满足要求，重复上面,2,，,3,，,4,过程,。,窗函数法优点：,从时域出发的一种设计方法,，,设计简单，方便，实用。,缺点是：,要求用计算机实现，边界频率不易控制。,H,d,(e,j,),h(n),h,d,(n,),IFT,加窗截断,FT,比较，满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数,H,(,e,j,),例：,用矩形窗设计法设计一个,FIR,线性相位低通滤波器，已知,c,=0.5,，,N=21,，,(N-1)/2,，,画出,h(n),和,20lg|H()/H(0)|,曲线，再计算正、负肩峰的位置和过渡带宽带度。,单位脉冲响应,h,d,(n,),为,:,解,：,理想滤波器的频响为：,计算得：,h,d,(n,),，,0,，,1/9,，,0,，,1/7,，,0,，,1/5,，,0,，,1/3,，,0,，,1/,，,0.5,，,1/,，,0,，,-1/3,，,0,，,1/5,，,0,，,-1/7,，,0,，,1/9,，,0,，,n=0,加矩形窗：,h(n)=,h,d,(n).R,N,(n,),h(n), 0,，,0.,0354,，,0,，,-0.0455,，,0,，,0.0637,，,0,，,-0.1061,，,0,，,0.3183,，,0.50,，,0.3183,，,0,，,-0.1061,，,0,，,0.0637,，,0,，,-0.0455,，,0,，,0.0345,，,0 ,h(n,),0,，,1/9,，,0,，,1/7,，,0,，,1/5,，,0,，,1/3,，,0,，,1/,，,0.5,，,1/,，,0,，,-1/3,，,0,，,1/5,，,0,，,-1/7,，,0,，,1/9,，,0 ,20lg|H()/H(0)|,曲线如下：,正,肩峰,A,点：,c,- 2/N,0.5- 2/21,20lg(1.0895) = 0.74dB,临界频率,B,点：,c,0.5,20lg(0.5) = -6dB,负肩峰,C,点：,c,2/N,0.5,2/21,20lg(0.0895) = -21dB,过渡带,AC,宽度为：,c,2/N,(,c,-2/N) = 4/N = 0.19,一、频率采样法基本原理,设,H,d,(e,j,),为所要设计的数字滤波器的频率响应，则,:,1,、在,=,范围内对,H,d,(e,j,),进行,N,点等间隔采样，得到,H,d,(k,),6.3,用频率采样法设计,FIR,滤波器,2,、对,N,点,H,d,(K,),进行,IDFT,，得所设计的滤波器的单位脉冲响应,h(n,),3,对求出的,h(n),进行,z,变换，得到滤波器的系统函数,H(z),或利用频域内插公式（,P88,）,H,d,(e,j,),H,d,(k,),h(n),H(e,j,),等间隔采样,IDFT,内插函数,是否满足指标,二、线性相位的约束,(1),第一类线性相位：,h(n,),偶对称，,N,为奇数,特点：,幅度函数,H(,),关于,=0,，,，,2,偶对称，,H (,) = H(2,),采样值：,H,k,关于,N/2,偶对称，即：,H,k,= H,N-k,相位采样值：,(2),第一类线性相位：,h(n,),偶对称，,N,为偶数,特点：,幅度函数,H(,),关于,=,奇对称，,H (,) = -H(2,),采样值：,H,k,关于,N/2,奇对称，即：,H,k,= -H,N-k,，且,H,N/2,=0,相位采样值：,(3),第二类线性相位：,h(n,),奇对称，,N,为奇数,特点：,幅度函数,H(,),关于,=0,，,，,2,奇对称，,H (,) = -H(2,),采样值：,H,k,奇对称，即：,H,k,= -H,N-k,相位采样值：,(4),第二类线性相位：,h(n,),奇对称，,N,为偶数,特点：,幅度函数,H(,),关于,=,偶对称，,H (,) = H(2,),采样值：,H,k,偶对称，即：,H,k,=H,N-k,相位采样值：,（,2,）,h(n,),偶对称，,N,为偶数时：,设计方法：,用理想滤波器作为逼近滤波器，截止频率为,c,，采样点数为,N,，则,H,k,和,k,的计算公式为：,（,1,）,h(n,),偶对称，,N,为奇数时：,H,k,=,H,N-k,=,1,，,k=0,，,1,，,，,kc,；,H,k,= 0,，,k= kc+1,，,kc+2,，,，,N-kc-1,；,k=0,，,1,，,，,N-1,；,H,k,= 1,，,k=0,，,1,，,，,kc,；,H,k,= 0,，,k= kc+1,，,kc+2,，,，,N-kc-1,；,k=0,，,1,，,，,N-1,；,H,N-k,= -,1,，,k=0,，,1,，,，,kc,；,kc,取小于等于,c,N,/2,的,最大整数,对,H(k,),进行,IDFT,变换，求出,h(n),；,由,h(n),可求出所设计滤波器的频响,H(e,jw,),由前面计算出的,H,k,和,k,的值可构造出,H(k,),等效于在,0,，,2,上的,N,个采样值,k=0,，,1,，,，,N-1,；,三、误差分析与改进措施,设待设计的滤波器为,H,d,(e,j,),，,对应的单位取样响应为,h,d,(n,),1,、,从时域分析误差,频域采样定理：在频域,02,之间等间隔采样,N,点，利用,IDFT,得到的,h(n,),。,分析：,如果,H,d,(e,j,),有间断点，则,h,d,(n,),是无限长的，这样得到的,h(n),产生时域的混迭，无法逼近,h,d,(n,),。,改进措施,：,增大,N,值，使设计出的滤波器愈逼近待设计,H,d,(e,j,),。,2,、从频域分析误差,频率域等间隔采样得到,N,个采样值,H(k,),，频响函数和,H(k),的关系为,内插函数,内插公式,在采样点,=2,k/N,，,k=0,1,N-1,处，,(,-2,k/N)=1,，,因此采样点,H(e,j,k,),与,H(k,),相等，逼近误差为,0,。,在采样点间，,H(e,j,),由有限项,H(k,),与,(,-2,k/N),之乘积和形成，其误差与,H,d,(e,j,),平滑度有关，越平滑，误差越小。,特性曲线,间断点处，误差最大,，表现形式为间断点用斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻带衰减减小，有可能满足不了技术要求。,误差分析,：,(1),增大,N,值，,但间断点仍无法弥补，带来体积增大，成本增加。,(2),在频响,间断点,附近区间,内插一个或几个过渡采样点,，使不连续点变成缓慢过渡，虽然,增加了过渡带带宽,(,代价）,，,但,增加了阻带衰减,(,收获,),。过渡带的优化要借助于计算机优化设计。,减小误差措施,总结：频率采样法设计线性相位,FIR,滤波器步骤,1,、根据,c,及,N,的奇偶性，确定滤波器,H,k,和,k,及,k,C,值；,2,、由,H(k,) =,H,k,e,j,k,，求出,H,(k),；,3,、,对,H,(k),进行,IDFT,变换，求出,h(n),；,4,、,由,h(n),求出所设计的滤波器的频率响应,H(e,jw,),，,并分析误差，优化设计。,例：,试用频率采样设计法设计一个,FIR,线性相位低通滤波器，已知：,c,=0.5,，,N=51,。,画出,|,H,d,(e,jw,)|,，,|,H(k)|, 20lg,|,H(e,jw,)|,曲线。,解：,在,0,0.5,和,1.5,2,处的,幅度函数为,1,，其余为,0,。采样频率为：,2/N,2/51,，,c,51/2,12.7,，,所以,k,c,取值,12,。,H,k,1,0k12,和,39k50,13k38,0,(k) =, ,k(N-1)/N50,k/51,由幅度和相位特性，得到,FIR DF,的采样值为,H(k,),H,k,e,j,k,e,j50,K/51,0k12,和,39k50,13k38,0,画出,|,H,d,(e,jw,)|,，,|,H,d,(k)|,的曲线如下图所示,20lg|H(e,jw,)|,曲线如下图所示,-,-,-,频率采样法特点：,优点：,(1),可以在频域直接进行设计，并且适合于最优化设计；,(2),特别适合于设计窄选频滤波器，因为只有少数几个非零值的,H(k),，,因而设计计算量小。,缺点：,采样频率只能等于,2/N,的整数倍，因而不能确保制止频率的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数,N,，,但这又使计算量加大。,1,性能方面：,IIR,滤波器,：传输极点可位于单位圆内任何地方。,优点：,较低阶数滤波器实现，存储单元少，所以经济且效率高；,缺点：,相位是非线性的，往往可选择性越好，相位非线性越严重。,FIR,滤波器,优点,：可以得到严格的线性相位。,缺点：,由于滤波器传输函数的极点固定在原点，所以只能用较高阶数的滤波器达到性能指标。,6.5 IIR,和,FIR,数字滤波器的比较,2,结构方面：,IIR,滤波器采用,递归型结构,，极点要控制在单位圆内，系统才确保稳定，缺点是有限字长效应时，有,寄生振荡,；,FIR,采用,非递归型结构,，由于,FIR,的单位冲激响应,h(n),有限长，可采用,FFT,运算，其运算速度快，误差小；,3.,设计工具方面：,IIR,滤波器的设计可借助于模拟滤波器的成果,由于有有效的封闭设计公式和图表供选择，计算工作量小,计算工具要求不高,；,FIR,滤波器设计没有封闭形式的公式和图表，一般,FIR,设计只有按照计算程序进行，故对,计算工具要求较高,。,4.,应用方面：,IIR,设计较简单，主要应用于设计具有,片断常数,特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻等滤波器；,FIR,滤波器能适应某些特殊的应用，如构成微分器或积分器，因而适应性更大，范围更广。,在语音通信中，对相位线性特性要求不高，可以选用经济高效的,IIR,滤波器实现,；而在图像通信中，对相位的线性特性要求较高，则要用稍为复杂的,FIR,滤波器来实现,。,作业,P322 6.6,P323 6.12,