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*,河北理工大学,http:/,/,*,河北理工大学,http:/,/,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 解线性方程组的迭代解法,迭代发的一般理论,迭代法的收敛条件,Jacobi,迭代法、,G-S,迭代法,松弛迭代法,迭代法收敛的其它判定方法,解线性方程组的迭代法,3,1,2,3,3,4,3,5,AX,=,b,直接法,迭代法,是,列主元,消去法,Gauss,消去法,全主元,消去法,否,是,LU,分解法,追赶法,A,对称,且正定,平方根法,A,三对角矩阵,是,改进平,方根法,一般理论,Jabobi,迭代,G-S,迭代,松弛迭代,改进,改进,误差估计,收敛分析,请,重,点,掌,握,基本内容,难点,知识结构框图,Jacobi,迭代法的计算公式,Jacobi,迭代法,Jacobi,迭代法的特点,Jacobi,迭代法的特点,Ganss,-Seidel,迭代法,Ganss,-Seidel,迭代法,不如前一种形式好记,Ganss,-Seidel,迭代法,Ganss,-Seidel,迭代法,即,：,Ganss,-Seidel,迭代法,Ganss,-Seidel,迭代法,Gauss,迭代法的特点,Gauss,迭代法的特点,Gauss_Seidel,迭代法一般程序,A=8,-3,2,4,11,-1,6,3,12;,MatrixForm,%;,b=20,33,36;,I1=IdentityMatrix3;,DD=DiagonalMatrixA1,1,A2,2,A3,3;,L=-0,0,0,A2,1,0,0,A3,1,A3,2,0;,DDLN=,InverseDD,-L;,G=I1-DDLN.A;,MatrixForm,%;,R=MaxAbsEigenvaluesNG-1,f=,DDLN.b,;,xa,=0,0,0;,Doxb,=,G.xa+f/N;z,=,MaxAbsxb-xa/N;Printk,xb,z;xa,=xb,k,1,12;,LinearSolveA,b,Ganss,-Seidel,迭代法,Jacobi,与,Gauss,迭代法的比较,如果收敛的话,Gauss,迭代法比,Jacobi,迭代法收敛的速度快,Jacobi,与,Gauss,迭代法的比较,松弛法,松弛迭代法的基本思想,松弛迭代法的矩阵格式,松弛迭代法的收敛性分析,松 弛 法,一、松弛法的基本思想,为,Gauss-Seidel,迭代法加速。,Gauss-Seidel,迭代公式得到，于是有,松弛法的基本思想,可以把 看作,Gauss-Seidel,迭代的修正项，即第,k,次,近似解 以此项修正后得到新的近似解。,得到新的近似解，具体公式为,松弛法,是将 乘上一个参数因子 作为修正项而,松弛法的基本思想,松弛法,称为,松弛因子,当 时称为,低松弛,；,时称为,超松弛法,。,是,Gauss-Seidel,迭代,松弛法的基本思想,SOR,方法的,计算公式,SOR,方 法,结 论,松弛法收敛的,必要,条件是：,前面的判定定理虽然给出了判别迭代收敛的充,要条件，但要求逆矩阵和特征值。而,也,只是松弛法收敛的必要条件，应用不方便。,下面对一些特殊的矩阵给出几个常用的判别收敛的条件。,迭代法收敛性的其它判定方法,若,n,阶方阵 满足,定义,1,定义,2,如果矩阵,A,不能通过行的互换和相应的列互换成,为形式 ，其中 为方阵，则称,A,为,不可约。,且至少有一个,i,值,使得上式中不等号严格成立，则称,A,为,弱对角占优阵,。,若对所有,i,上式不等号均严格成立，,则称,A,为,严格对角占优阵,。,定 义,定理,定 理,设有线性方程组 ，下列结论成立,1.,若,A,为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则,Jacobi,迭代法和,Gass,-Seidel,迭代法均收敛。,2.,若,A,为严格对角占优阵，则松弛法收敛。,3.,若,A,为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为,上两例中：,A,为严格对角占优阵，,Jacobi,迭代法和,Gass,-Seidel,迭代均收敛。,B,为非严格对角占优阵，故松弛法收敛。,一、简单迭代法：,称为简单迭代法,二、雅可比迭代法,Jacobi,迭代法的计算公式为：,小,结,三、高斯,-,塞德尔迭代法,小,结,分量计算公式为,四、松弛法,小,结,五、迭代法收敛性的判定,2,、若,A,为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则,Jacobi,迭代法和,Gauss-Seidel,迭代法均收敛。,六、误差估计,小,结,
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