CH1第5节 条件概率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、条件概率,二、乘法定理,三、全概率公式与贝叶斯公式,四、小结,第五节条件概率,将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件,A,为“至少有一次为正面”,事件,B,为“两次掷出同一面”,.,现在来求已知事件,A,已经发生的条件下事件,B,发生的概率,.,分析,事件,A,已经发生的条件下事件,B,发生的概率,记为,1.,引例,一、条件概率,同理可得,为事件,B,发生的条件下事件,A,发生的条件概率,.,2.,定义,3.,性质,二、乘法定理,例,1,在标有,1,2,3,4,5,这,5,个数字的卡片里,无放回地抽取两次,一次一张,求,(1),第一次取到奇数卡片的概率,;,(2),已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片的概率,;,(3),第二次才取到奇数卡片的概率,.,解,设,A,B,分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件,则,P(A)=,例,2,某种动物由出生算起活,20,岁以上的概率为,0.8,活到,25,岁以上的概率为,0.4,如果现在有一个,20,岁的这种动物,问它能活到,25,岁以上的概率是,多少,?,设,A,表示“能活,20,岁以上”的事件，,B,表示“能活,25,岁以上”的事件,则有,解,例,4,五个阄,其中两个阄内写着“有”,字，,三个阄内不写字，五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同,?,解,则有,抓阄是否与次序有关,?,依此类推,故抓阄与次序无关,.,例,5,一个罐子中包含,b,个白球和,r,个红球,.,随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进,c,个与所抽出的球具有相同颜色的球,.,这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率,.,波里亚罐子模型,b,个白球,r,个红球,于是,W,1,W,2,R,3,R,4,表示事件“,连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球,.,”,b,个白球,r,个红球,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进,c,个与所抽出的球具有相同颜色的球,.,解,设,W,i,=,第,i,次取出是白球,i,=1,2,3,4,R,j,=,第,j,次取出是红球,，,j,=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当,c 0,时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率,.,这是一个,传染病模型,.,每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率,.,=,P,(,W,1,)P(,W,2,|,W,1,)P(,R,3,|,W,1,W,2,)P(,R,4,|,W,1,W,2,R,3,),P,(,W,1,W,2,R,3,R,4,),例,6,设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为,1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为,7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为,9/10.,试求透镜落下三次而未打破的概率,.,解,以,B,表示事件“透镜落下三次而未打破”,.,所以,1.,样本空间的划分,三、全概率公式与贝叶斯公式,2.,全概率公式,全概率公式,图示,证明,化整为零,各个击破,说明,全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果,.,例,7,有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占,30%,，二厂生产的占,50%,，三厂生产的占,20,%,，又知这三个厂的产品次品率分别为,2%,，,1%,，,1%,，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少,?,设事件,A,为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,称此为,贝叶斯公式,.,3.,贝叶斯公式,证明,例,8,解,(1),由,全概率公式得,(2),由,贝叶斯公式得,解,例,9,由,贝叶斯公式得所求概率为,上题,中,概率,0.95,是由以往的数据分析得到的,叫,做,先验概率,.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率,0.97,叫做,后验概率,.,先验概率与后验概率,解,例,10,由,贝叶斯公式得所求概率为,即,平均,1000,个具有阳性反应的人中大约只有,87,人,患有癌症,.,1.,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结,乘法定理,贝叶斯资料,Thomas,Bayes,Born:,1702 in London,England,Died:,17 Apr.1761 in,Tunbridge,Wells,Kent,England,