高中数学1-1平面直角坐标系

,课前自主学习,课堂讲练互动,教材超级链接,【,综合评价,】,通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标,(,有序数组,),、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的方程也有不同形式因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐标系本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义,【,学习目标,】,1,回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标,系的作用,2,通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平,面图形的变化情况,3,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系,和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标,和直角坐标的互化,4,能在极坐标系中给出简单图形,(,如过极点的直线、过极点或,圆心在极点的圆,),的方程通过比较这些图形在极坐标系,和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形,时选择适当坐标系的意义,5,借助具体实例,(,如圆形体育场看台的座位、地球的经纬,度等,),了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位,置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方,法相比较，体会它们的区别,【,学习计划,】,内容,学习重点,建议学习时间,平面直角坐标系,坐标系的选择；坐标法；伸缩变换,2,课时,极坐标系,极坐标系；极坐标和直角坐标的互化,2,课时,简单曲线的极坐标方程,直线和圆的极坐标方程,2,课时,球坐标系与柱坐标系简介,两种坐标系的意义,2,课时,【,课标要求,】,1,了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用,2,理解平面直角坐标系中的伸缩变换,3,能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题,第一节,平面直角坐标系,【,核心扫描,】,1,对平面直角坐标系的应用以及坐标法的考查是本节热点,2,本节内容常与方程、平面几何图形结合命题,3,理解图形伸缩变换与坐标变换之间的关系,(,难点,),1,平面直角坐标系,(1),平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标,(,有序实数,对,),，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合,(2),坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建,立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关,系,(3),坐标法解决几何问题的,“,三步曲,”,：第一步，建立适当坐,标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问,题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问,题；第三步，把代数运算结果,“,翻译,”,成几何结论,自学导引,2,平面直角坐标系中的伸缩变换,(1),平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸,缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研,究几何变换,想一想,如何理解点的坐标的伸缩变换？,提示,在平面直角坐标系中，变换,将点,P,(,x,，,y,),变换到,P,(,x,，,y,),当,1,时，是横向拉伸变换，当,0,1,时，是纵向拉伸变换，当,0,1,时，是纵向压缩变换,1,坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上,起着划时代的作用坐标系的创建，在代数和几何之间架,起了一座桥梁利用坐标系，我们可以方便地用代数的方,法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一,个点的位置它使几何概念得以用代数的方法来描述，几,何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数,方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法,应用于几何学的研究,建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问,题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决,名师点睛,2,解析法解题步骤,第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题,中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；,第二步：通过代数运算，解决代数问题；,第三步：把代数运算的结果,“,翻译,”,成几何结论,3,体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法,(1),平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变,换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解,(2),对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区,别,x,，,y,和,x,，,y,，点,(,x,，,y,),在原曲线上，点,(,x,，,y,),在变,换后的曲线上，因此点,(,x,，,y,),的坐标满足原曲线的方,程，点,(,x,，,y,),的坐标适合变换后的曲线方程,【,思维导图,】,题型一,运用坐标法解决解析几何问题,解,以,O,1,O,2,的中点,O,为原点，,O,1,O,2,所在的直线为,x,轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则,O,1,(,2,，,0),，,O,2,(2,，,0),【,反思感悟,】,建立坐标系的几个基本原则：,尽量把点和线段放在坐标轴上,;,对称中心一般放在原点,;,对称轴一般作为坐标轴,已知圆,C,1,：,(,x,3),2,y,2,1,和圆,C,2,：,(,x,3),2,y,2,9,，动圆,M,同时与圆,C,1,及圆,C,2,相外切，求动圆圆心,M,的轨迹方程,【,变式,1,】,解,在,ABCD,中，求证：,|,AC,|,2,|,BD,|,2,2(|,AB,|,2,|,AD,|,2,),思维启迪,解答本题可以运用坐标方法，先在,ABCD,所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点,A,、,B,、,C,、,D,的坐标，再由距离公式完成证明也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明,题型,二,用坐标法解决平面几何问题,【,例,2,】,解,法一,坐标法：以,A,为坐标原点,O,，,AB,所在的直线为,x,轴，建立平面直角坐标系,xOy,，,【,反思感悟,】,本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的这种,“,以算代证,”,的解题策略就是坐标方法的表现形式之一法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感,已知在,ABC,中，点,D,在,BC,边上，且满足,|,BD,|,|,CD,|,，求证：,|,AB,|,2,|,AC,|,2,2(|,AD,|,2,|,BD,|,2,),【,变式,2,】,证明法一,以,A,为坐标原点,O,，,AB,所在直线为,x,轴，建立平面直角坐标系,xOy,，则,A,(0,，,0),，设,B,(,a,，,0),，,C,(,b,，,c,),，,法二,延长,AD,到,E,，使,DE,AD,，,连接,BE,，,CE,，,则四边形,ABEC,为平行四边形，,由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得,|,AE,|,2,|,BC,|,2,2(|,AB,|,2,|,AC,|,2,),，即,(2|,AD,|),2,(2|,BD,|),2,2(|,AB,|,2,|,AC,|,2,),，所以,|,AB,|,2,|,AC,|,2,2(|,AD,|,2,|,BD,|,2,),题型,三,平面直角坐标系中的伸缩变换,【,例,3,】,思维启迪,解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解,【,变式,3,】,方法技巧,求解曲线的轨迹方程,P,3,思考,我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点,P,的位置这种方法与用直角坐标刻画点,P,的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？,答,直角坐标点的位置用有序数组来刻画两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想在这里，应该使用角和距离刻画点,P,位置更方便,P,4,探究,你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？,答,可以建立不同的直角坐标系,(,例如以点,F,为坐标原点，,OB,所在直线为,x,轴建立直角坐标系,),解决问题的过程中，根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则,如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；,如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；,使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上,P,8,思考,答,椭圆可以变成圆，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆我们可以把圆作为椭圆的特例,课后习题解答,习题,1.1,(,第,8,页,),1,解,设两定点,A,、,B,，以线段,AB,的中点为原点，,AB,所,在直线为,x,轴建立直角坐标系，则,A,、,B,的坐标为,(,3,，,0),、,(3,，,0),设动点为,P,(,x,，,y,),，由已知得到,|,PA,|,2,|,PB,|,2,26,，,即,(,x,3),2,y,2,(,x,3),2,y,2,26,，整理得,x,2,y,2,4.,这就是点,M,的轨迹方程这是以,AB,的中点为圆心，,2,为半径的圆,2,解,以直线,l,为,x,轴，过点,A,与,l,垂直的直线为,y,轴建立平,面直角坐标系则点,A,的坐标为,(0,，,3),设,ABC,的外,心为,P,(,x,，,y,),，因为,P,是线段,BC,的垂直平分线上的点，,所以,B,、,C,的坐标分别为,(,x,2,，,0),，,(,x,2,，,0),因为,P,也在线段,AB,的垂直平分线上，,整理得,x,2,6,y,5,0.,这就是所求的轨迹方程,3.,证明,法一,如图所示，,AD,，,BE,，,CO,分别是三角形,ABC,的三条高，取边,AB,所在的直线为,x,轴，边,AB,上的高,CO,所在的直线为,y,轴建立直角坐标系设,A,，,B,，,C,的坐标依次为,(,a,，,0),，,(,b,，,0),，,(0,，,c,),，,由方程,与,，解得,x,0.,所以，,AD,，,BE,的交点,H,在,y,轴上,因此，三角形的三条高线相交于一点,所以,(,b,)(,x,a,),cy,0.,得到,(,a,b,),x,0.,因为,a,b,0,，所以,x,0.,所以点,H,在,AB,边的高线上，即,ABC,的三条高线交于一点,5.,