高等数学电子教案 (2)

,高等数学电子教案,武汉科技学院数理系,(定积分,),第五章 定 积 分,第一节 定积分的概念和性质,第五章 定 积分,定积分问题举例,1,曲边梯形面积,第一节 定积分概念与性质,设,y=f(x),是闭区间,a,b,上,的连续函数,且,f(x),0.,由,直线,x=a,x=b,和,x,轴,y=f(x),曲线构成的图形称为曲,边梯形.,y,y=f(x),a,A,c,b,x,B,y,y=f(x),A,x,x,i,x,i+1,分割,取点,求和,取极限,是求面积的主要方法,B,它的面积为,y,y=f(x),二 定 积 分 的 定 义,定义 设函数,f(x),在区间,a,b,上有界,在,a,b,内任意,插入(,n-1),个分点,将,a,b,分成,n,个小区间,为各区间的长度,在每一个小区间上取一点,令,令,如果极限存在,y=f(x),x,a,b,x,i,x,i-1,A,i,其中,f(x),称为被积函数,f(x),dx,称为被积表达式,x,称为积分变量.,a,b,为积分区间,b,为积分上限,a,为积分下限,为黎曼积分和,y,注意,:(1)函数在区间上可积,要求区间,有限.函数在这区间内是有界的.,(2)定义中对小区间的划分和选点是任意的,虽然在划分和选点是任意的,但其和式只有唯一的极限.这样,对于,函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题简单.,(3)定积分和积分变量的字母的选取无关.例如,(4)定积分只与被积函数和积分区间有关.与区间的划分,和选点无关.,由积分定义,可知,以,a,b,上连续曲线,y=f(x),0,为曲边的曲边梯形的面积,如果(2)中的极限存在,我们称为函数,f(x),在区间,a,b,内可积.,下面我们不加证明给出几个定理和推理。,定理1 若函数,f(x),在,a,b,上可积,则,f(x),在,a,b,上有界,定理2 若函数,f(x),在,a,b,上连续,则,f(x),在,a,b,上可积,定理3 若函数,f(x),在,a,b,上有界,且又有有限个间断点,则,f(x),在,a,b,上可积.,推论1 在区间,a,b,上分段连续的函数,f(x),在,a,b,可积.,推论2 若函数,f(x),在,a,b,上可积,则,f(x),在,a,b,上的定积分等于它在(,a,b),(a,b,或,a,b),上的定积分.,对于这几种区间上的定积分,我们通常用闭区间,a,b,作为代表来进行研究,并把它们统一作为,(2)当,b0,则,这性质表示以,f(x)0,为边的曲边梯形的面积非负.,推论(不等式)如果在,a,b,上,f(x)g(x),则,性质6(绝对值不等式),性质7(估计不等式)设,M,与,m,分别是,f(x),在区间,a,b,是的最大值与最小值,则,这个性质用来计算不等式.具体做法是利用被积函数的性质;如极值,单调性等得到在这区间中的最大值,M,和最小值,m.,性质8(,定积分中值定理,)如果函数,f(x),在闭区间,a,b,上连续,则至少存在一点,a,b,使得,几何意义是曲边梯形的面积等于,以(,b-a),为底边,f(,),为高的矩形,面积,a,b,y=f(x),f(,),x,y,例2 估计积分,的值之范围,先求极值:,积分中值定理可推广为:若函数,f(x),与,g(x),在,a,b,上连续,且,g(x),不,变号,则存在,a,b,使有,利用性质7,不等式的证明除了利用性质7外,还可利用定积分的几何意义,例3 设,f(x),在,a,b,上二次可微,且,f,(x)0.,f,“,(x)0,试证,o,x,y,A,B,C,D,E,f(x),证明:因为,f,(x)0,f,”,(x)0.,所以,f(x),在,a,b,上递增,且是凹的.,显然,f(x),的定积分是存在的.它等于曲,边梯形,ABCD,的面积,从图上看,它小于,梯形,ABCD,的面积,大于矩形,ABED,的面积,所以不等式成立,注意:这种面积证法,显得非常简洁,对于面积有关的问题可应用这种证明方法.,