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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,向量范数,向量的范数是刻画向量大小的量,又叫向量的模.,(1),正定性,:,且 ;,(2),齐次性,:,对 ,有 ;,(3),三角不等式,:,.,定义 Rn 上的实值函数称为向量范数，如果对任意的 x,yRn,它均满足以下3条性质:,定理,对,R,n,中的任一向量,则 和 都是向量范数,.,记,T,3种常用的范数,满足正定性是显然的.,(1),证明,仅证 是向量范数.,(2),对任意的实数,k,有,(3)设,则,证毕,p,-范数,叫,1-范数,(列范数);,叫,2-范数,(Euclid(欧几里得)范数);,叫,-范数,(行范数);,其中,练习:计算向量 的各种范数,.,任,2,种范数在刻画收敛性时等价,定理 对 Rn 上的任意二种向量范数|a,|b ,均有与向量 x 无关的常数 m 与 M (0m0,.,(2),对任意的数,k,R,，,有,(3),对任意的,n,n,矩阵,A,和,B,有,(4),对任意的,n,n,矩阵,A,和,B,有,证毕,上式所定义的矩阵范数叫做附属于所给定向量范数的矩阵范数,又称为矩阵的算子范数.,设给定的向量范数为|p,那么附属于向量范数的矩阵范数为:,上式中矩阵范数,|,A,|,p,也叫,A,的,p,-,范数.,矩阵的,p,-,范数与向量的,p,-,范数相容,即,|,Ax,|,p,|,A,|,p,|,x,|,p .,几种常用的范数,证明,对于2,-,范数,设,n,维向量,x,满足,|,x,|,2,=1,.注意到,因为，,A,T,A,是正定或半正定的,故它的全部特征值,l,i,非,负,设,设 ATA 相应的标准正交特征向量为 u1,u2,un，,因而存在实数 k1,k2,kn，使,并且有,由此可得,所以,取 ,则有 ,以及,1,-,范数公式证明,证毕,单位矩阵,I,的任何一种算子范数都有,还有一种常用的矩阵范数，,称为Frobrnius佛罗贝尼乌斯范数，又称为Euclid 范数。,注:不附属于任何向量范数，即 不是算子范数.,几,种常用的相容关系,定理1.5,设矩阵,A,R,n,n,的某种范数,|,A,|,1,，,则,I,A,为非奇异矩阵，并且当该种范数为算子,范数时，还有下式成立。,证明,假定,I,A,奇异，则齐次线性方程组(,I,A,),x=,0 有非零解,在上式两边同取与所用矩阵范数数相容的向量范数，得,因 ，故由上式得 。与已知条件矛盾，因而 必非奇异。,由于,在最后一式两端取范数，得,因为 ，故,同理可证,证毕,解,例,6,设 ，,求 以及,特征多项式为,最大的根为,练习:计算矩阵 的各种范数.,对于1-范数,设,.,矩阵,A,可表示为,其中,定理,且,于是有,取,它的第,r,个分量是1,显然,对于,-,范数,设向量 ,又设,则,取,其中,sgn是符号函数,于是有 ,以及,所以,A,0 且,汇报结束,谢谢大家,!,请各位批评指正,
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