直线与平面垂直的判定

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,教学内容：,一、理解直线与平面垂直的定义；,2.3.1,直线与平面垂直的判定,二、探究、归纳直线与平面垂直的判定定理及应用。,回顾知识：,空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？,（,1,）直线在平面内，,（,2,）直线与平面平行，,（,3,）直线与平面相交,知识探究（一）：,直线与平面垂直的概念,(,垂直,),大漠孤烟直,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,C,C,1,B,1,A,B,地面内,任意一条,直线,AB,所在直线,C,C,1,B,1,A,B,内过点,B,的直线,AB,所在直线,内不过点,B,的直线,AB,所在直线,内,任意一条,直线,AB,所在直线,直线与平面垂直的定义：,图形表示：,P,l,文字表示：,如果一条直线,l,与,平面,内的,任意一条,直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直,.,记作,垂足,平面,的垂线,直线,l,的垂面,画直线与平面平行时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的,一边垂直,。,深入理解“线面垂直定义”,判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）,1.,如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直,.,（）,2.,如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直,.,（,),b,a,探究活动：,请同学们拿出一块三角形的纸片，做如图所示的试验：,过,ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）,.,(1),折痕,AD与桌面垂直吗？,(2),如何翻折才能保证折痕AD,与桌面所在平面肯定垂直？,A,知识探究（二）：,直线与平面垂直的判定定理,提出问题：,除定义外，有没有比较方便可行的方法来 判断一条直线与一个平面垂直呢？,D,O,n,m,l,A,P65,思考,直线与平面垂直的判定定理：,一条直线和一个平面内的,两条相交直线,都,垂直,，则这条直线垂直于这个平面,.,P,m,n,l,线线垂直 线面垂直,关键：线不在多，相交则行,例,1.,在下图的长方体中，请列举与平面,ABCD,垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？,例题示范,巩固新知,A,B,C,D,例,2.,如,图，已知,ab,、,a,.,求证,：,b,.,例题示范,巩固新知,分析：在平面内作两条相交,直线，由,直线与平面垂直的定义,可知，直线,a,与这两条相交直线,是垂直的，又,由,b,平行,a,，可证,b,与,这两条相交直线也垂直，从而,可,证直线与平面垂直,。,a,b,例,2.,如,图，已知,ab,、,a,.,求证,：,b,.,（线面垂直 线线垂直）,（线线垂直 线面垂直）,复习引入,1,直线与平面垂直的定义,如果直线,l,与平面,的任意一条直线都垂直,，我们就说直线,l,与平面,互相垂直，记作,l.,2,直线与平面垂直的判定定理,一条直线,与一个平面内的两条相交直线都垂直,，则该直线与此平面垂直。,V,A,B,C,练习：,如图，已知,OA,、,OB,、,OC,两两垂直,（,1,）求证：,OA,平面,OBC,（,2,）,求证：,OABC,B,C,O,A,分析,：（,1,）要证,OA,平面,OBC,，必须在平面,OBC,中找出两条与,OA,垂直的相交直线。,因 为,OA,、,OB,、,OC,两两垂直,OAOB,、,OAOC.,OAOC,，且,OBOC=O,（,2,）,OA,平面,OBC,，,OA,垂直平面内任意一条直线,.,我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢,?,此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢,?,直线与平面所成的角,1.平面的斜线,如图,若一条直线,PA,和一个平面,相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点,A,叫做斜足。,P,A,斜足,斜线,2.直线和平面所成的角,如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,PO,过垂足,O,和斜足,A,的直线,AO,叫做斜线在这个平面上的射影,.,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,。,斜线,斜足,射影,垂足,垂线,一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是,0,0,的角。,规定,:,想一想,:,直线与平面所成的角,的取值范围,是什么,?,1.,如图：正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,:,（1）AB,1,在面BB,1,D,1,D中的射影,（2）AB,1,在面A,1,B,1,CD中的射影,（3）AB,1,在面CDD,1,C,1,中的射影,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,练,习,2.,如图：正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,:,（1）AB,1,在面BB,1,D,1,D中的射影,（2）AB,1,在面A,1,B,1,CD中的射影,（3）AB,1,在面CDD,1,C,1,中的射影,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,O,线段,B,1,O,巩固练习,2.,如图：正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,:,（1）AB,1,在面BB,1,D,1,D中的射影,（2）AB,1,在面A,1,B,1,CD中的射影,（3）AB,1,在面CDD,1,C,1,中的射影,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,E,线段,B,1,E,巩固练习,2.,如图：正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,:,（1）AB,1,在面BB,1,D,1,D中的射影,（2）AB,1,在面A,1,B,1,CD中的射影,（3）AB,1,在面CDD,1,C,1,中的射影,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,线段,C,1,D,巩固练习,3.,如图：正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,:,（1）A,1,C,1,与面ABCD所成的角,（2）A,1,C,1,与面BB,1,D,1,D所成的角,（3）A,1,C,1,与面BB,1,C,1,C所成的角,（4）A,1,C,1,与面ABC,1,D,1,所成的角,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,0,o,巩固练习,3.,如图：正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,:,（1）A,1,C,1,与面ABCD所成的角,（2）A,1,C,1,与面BB,1,D,1,D所成的角,（3）A,1,C,1,与面BB,1,C,1,C所成的角,（4）A,1,C,1,与面ABC,1,D,1,所成的角,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,90,o,巩固练习,3.,如图：正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,:,（1）A,1,C,1,与面ABCD所成的角,（2）A,1,C,1,与面BB,1,D,1,D所成的角,（3）A,1,C,1,与面BB,1,C,1,C所成的角,（4）A,1,C,1,与面ABC,1,D,1,所成的角,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,45,o,巩固练习,2.,如图：正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,:,（1）A,1,C,1,与面ABCD所成的角,（2）A,1,C,1,与面BB,1,D,1,D所成的角,（3）A,1,C,1,与面BB,1,C,1,C所成的角,（4）A,1,C,1,与面ABC,1,D,1,所成的角,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,E,30,o,练,习,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,例,1,、如图，正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求,（1）直线A,1,B和平面BCC,1,B,1,所成的角。,（2）直线A,1,B和平面A,1,B,1,CD所成的角。,O,例题示范,巩固新知,分析:找出直线A,1,B在平面,BCC,1,B,1,和平面,A,1,B,1,CD内的射影,就可以求出A,1,B和平面,BCC,1,B,1,和平面,A,1,B,1,CD所成的角。,阅读教科书,P67,上的解答过程,A,V,B,C,K,练习：,1.,如图,在三棱锥,V-ABC,中,VA,VC,AB,BC,K,是,AC,的中点,.,求证：,AC,平面,VKB,变式：,在练习,1.,中,若,E,、,F,分别为,AB,、,BC,的中点，试判断,EF,与平面,VKB,的位置关系,A,V,B,C,E,F,K,在,的条件下，有人说“,VBAC,，,VBEF,，,VB,平面,ABC”,，,对吗？,巩固练习,2.,平行四边形,ABCD,所在平面,a,外有一点,P,，且,PA,=,PB,=,PC,=,PD,，求证：点,P,与平行四边形对角线交点,O,的连线,PO,垂直于,AB,、,AD.,C,A,B,D,O,P,巩固练习,P,A,B,C,2,、一旗杆高,8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这两点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直，为什么？,解：如图，旗杆,PO,8,，两绳子长,PA,PB,10,，,OA,OB,6,，,A,，,O,，,B,三点不共线,因此,A,，,O,，,B,三点确定平面,，,因为,PO,2,AO,2,PA,2,，,PO,2,BO,2,PB,2,，,所以,POOA,，,POOB,又,OAOB,O,所以,OP,，因此旗杆与地面垂直。,归纳小结,1,直线与平面垂直的概念,（,1,）利用定义；,（,2,）利用判定定理,3,数学思想方法：转化的思想,空间问题,平面问题,3,直线与平面垂直的判定,线线垂直,线面垂直,垂直于平面内任意一条直线,2.,线面角的概念及范围,再见,巩固练习,1,.判断下列说法是否正确,（,1,）两条平行直线在同一平面内的射影,一定是平行直线 （）,（,2,）两条相交直线在同一平面内的射影,一定是相交直线 （）,（,3,）两条异面直线在同一平面内的射影,要么是平行直线，要么是相交直线（）,（,4,）若斜线段长相等，则它们在平面内,的射影长也相等 （）,