资源描述
1.若 称 函 数 F(x)为 f (x) 的 原 函 数 ,)()( xfxF 称 F(x)+C为 f (x) 的 不 定 积 分 。2. 设 f(x)在 a,b上 连 续 ， F(x)是 f(x)的 原 函 数 ， 则ba dxxf )( )()( aFbF 3. 设 f(x)在 a,b上 连 续 ， 则 )()( xfdttfxa .cossin )1( 20 3 xdxx求 积 分 .)ln1(ln )2( 43 ee xxx dx .)ln1(ln )2( 43 ee xxx dx 43 )ln1(ln )(lnee xx xd 43 )ln1(ln )(lnee xx xd 43 2)ln(1 ln2 ee xxd 43)lnarcsin(2 eex .6 定 理 设 (1) 函 数 f (x)在 a,b上 连 续 ； (2)函 数 x=(t)在 ,上 有 连 续 导 数 ; (3)当 t 在 ,上 变 化 时 , x=(t)在 a,b上 变 化 ， 且 ()=a, ()=b; 则 dtttfdxxfba )()()(应 用 换 元 公 式 时 应 注 意 :(1)换 积 分 限 .(2)求 出 不 定 积 分 后 代 入 新 变 量 的 上 、 下 限 . 证 设 F(x)是 f (x) 的 一 个 原 函 数 ，),()()( aFbFdxxfba )( tF )()( ttF ),()( ttf 则 是 的 一 个 原 函 数 ，)( tF )()( ttf dtttf )()( )()( FF ),()( aFbF dxxfba )( .)()( dtttf 例 1 计 算 积 分 .12 2)1( 40 dxxx 解 令 12 xt tdtdx)1(21 2 txdxxx 40 12 2 tdttt 31 2 2)1(21dtt )3(21 231 313 33121 tt 322 基 本 类 型 6： 当 被 积 函 数 含 有 时 ，n baxn baxt 可 做 代 换.)1()2( 10 1002 dxxx 解 令 xt 1 dtdx 0 x ,1t1x ,0tdxxx 10 1002 )1( dttt 01 1002)1(dtttt 10 1002)21( dtttt 10 102101100 )2(10103102101 )103110221011( ttt 103110221011 证 令 x= t, 则 dx= dt aa a dxxfdxxf 0 )(2)( aa dxxf 0)(例 2 设 f (x)在 -a,a上 连 续 ， 若 f (x)为 偶 函 数 ， 则 若 f (x)为 奇 函 数 ， 则0 )(a dxxf 0 )(a dttf a dttf0 )( a dxxf0 )( ),()( xfxf aa dxxf )( ;)(2 0 a dxxf),()( xfxf aa dxxf )( .0 若 f (x)为 偶 函 数 ， 若 f (x)为 奇 函 数 ， ,)()()( 00 aa aa dxxfdxxfdxxf ,)()(0 a dxxfxf a dxxfxf0 )()( a dxxfxf0 )()( a dxxf0 )( a dxxf0 )( 奇函数例 3 计 算 .11 cos211 22 dxx xxx 11 2211 2 dxxx 11 211 cos dxxxx偶函数 10 22114 dxxx 10 2 22 )1(1 )11(4 dxx xx 10 2)11(4 dxx 10 2144 dxx.4 单位圆的面积 例 4 设 xx xxexf x 0 cos1 1 01 )( 2 dxxf )2(: 41 计算解 设 t = x 2 则 x= 1时 , t = 1; x= 4时 ,t=2dxxf )2(41 dttf )(21 dttf )(01 dttf )(20dtet t201 dtt 20 cos1 1 01221 te dtt 20 2 2sec21)1(21 e 202tant )1(21 e 1tan 例 5 若 f (x)是 ( , ) 上 以 T 为 周 期 的 连 续 函 数 ，证 明 TTaa dxxfdxxf 0 )()()1( TnTaa dxxfndxxf 0 )()()2(并 由 此 计 算 n dxx0 2sin1证 (1) 记 Taa dxxfa )()( )()( Taa dxxfa )()( 00 aTa dxxfdxxf0)()( afTaf ,)()( Cdxxfa Taa CdxxfT 0 )()0( TTaa dxxfdxxf 0 )()( nTaa dxxf )()2( Taa dxxf )( TTaTa dxxf)( )( TTna Tna dxxf)1( )1( )(T dxxf0 )( TT dxxfdxxf 00 )()( T dxxfn 0 )( n dxx0 2sin1 0 2sin1 dxxn 0 2)cos(sin dxxxn 0 |cossin| dxxxn 0 |)4sin(2| dxxn (令 ) 4 xt 454 |sin|2 dttn 0 |sin|2 dttn 0 sin2 tdtn 0cos2 tn n22 44 |sin|2 dttn 证 （ 1） 设 tx 2 ,dtdx 0 x ,2t 2x ,0 t 2020 )(cos)(sin )1( dxxfdxxf 00 )(sin2)(sin )2( dxxfdxxxf 0 2cos1 sin dxxxx例 6 若 f (x)在 0,1上 连 续 , 证 明由 此 计 算 20 )(sin dxxf 02 )2sin( dttf 20 )(cos dttf ;)(cos20 dxxf（ 2） 设 tx ,dtdx 0 x ,t x ,0t0 )(sin dxxxf 0 )sin()( dttft,)(sin)(0 dttft 0 )(sin dttf 0 )(sin dtttf 0 )(sin dxxf ,)(sin0 dxxxf .)(sin2)(sin 00 dxxfdxxxf 0 2cos1 sin dxxxx 0 2cos1 sin2 dxxx 0 2 )(coscos1 12 xdx 0)arctan(cos2 x.42)44(2 0 )(sin dxxxf 练 习 (1) 计 算 0 2sin1 dxx(2) 证 明 200 sin2sin xdxxdx nn (1) 0 2sin1 dxx 0 2)cos(sin dxxx 0 |cossin| dxxx 0 |)4sin(|2 dxx )4( xt 434 |sin|2 dtt 44 |sin|2 dtt 0 |sin|2 dtt 0 sin2 tdt 22 220 sinsin xdxxdx nntx 设2sin xdxn 20 sin tdtn 20 sin xdxn (2) 证 0 sin xdxn 02 )(sin dttn 200 sin2sin xdxxdx nn 定 理 是 单 调 的 、 可 导 的 函 数 ， 且 )( tx 设,0)( t 具 有 原 函 数 ， )()( ttf 则 dtttfdxxf )()()(求微分换元积分用 法 ： dxxf )( )()( tdtf dtttf )()( )0( 22 adxxa例 7 求 积 分解 设 x=asint , 则 dx=acostdt )22( tdxxa 22 tdtataa cos)sin( 22 dtta 22cos dtta )2cos1(22Ctata 2sin42 22 Cxaxaxa 222 21arcsin2 Cttata cossin22 22 例 8 求 积 分解 令 x=atant ).0(1 22 adxax tdtadx 2sec dxax 221 tdtata 2secsec1 tdtsec Ctt tansecln t a x22 ax .ln 22 Ca axax 2,2t.)ln( 22 Caxx 例 8 求 积 分 ).0(1 22 adxax另 解 令 x=asht， 则 dx=achtdtdxax 221 achtdtatsha 222 1achtdtacht 1 Ctdtt Caxarsh .)ln( 22 Caxx 基 本 类 型 7： 当 被 积 函 数 含 有 时 ，22 xa 可 做 代 换 x asint基 本 类 型 8： 当 被 积 函 数 含 有 时 ，22 ax 可 做 代 换 x atant或 x asht基 本 类 型 9： 当 被 积 函 数 含 有 时 ，22 ax 可 做 代 换 x asect或 x acht
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