第4讲(必修1)函数的值域与最值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,人教,A,版高中数学,必修,章节复习,10/4/2024,(必修1)第一章 集合与函数概念,第,4,讲,函数的值域与最值,1,理解函数的单调性、值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段,.,2,1.,函数,y,=3,x,(-1,x,3,，且,x,Z,),的值域是,.,-3,0,3,6,9,由,-1,x,3,，且,x,Z,知,x,=-1,0,1,2,3,代入,y,=3,x,，得所求值域为,-3,0,3,6,9,.,2.,函数,f,(,x,)=(,x,R,),的值域是,(),A.(0,1)B.,（,0,，,1,C.,0,，,1)D.,0,1,B,函数,f,(,x,)=(,x,R,),所以,1+,x,2,所以原函数的值域是,(0,1,.,3,3.,函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,(,x,0,4,),的最大值是,，最小值是,.,8,-1,f,(,x,)=(,x,-1),2,-1.,当,x,=1,时,f,(,x,),min,=-1;,当,x,=4,时，,f(,x,),max,=4,2,-24=8.,4.,函数,f,(,x,)=(,x,-1/2),的值域是,.,(-,-2,当,x,=-1,时，取最大值,-2,.,4,5.,已知,x,0,，,y,0,，且,x,+2,y,=1,，则,2,x,+3,y,2,的最小值为,.,因为,x,+2,y,=1,，,x,0,，,y,0,，,所以,02,y,1,知,0,y,，,2,x,+3,y,2,=2-4,y,+3y,2,=3(,y,-),2,+,，,所以当,y,=,时，,(2,x,+3,y,2,),min,=3(-),2,+=.,5,1.,函数的值域与最值,(1),函数的值域是,的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的,.,(2),函数的最值,.,设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足：,(),对于任意的,x,I,都有,f,(,x,),M,;(),存在,x,0,I,使得,f,(,x,0,)=,M,则称,M,是函数,y,=,f,(,x,),的,.,类似地可定义,f,(,x,),的最小值,.,函数值,定义域,最大值,6,2.,基本初等函数的值域,(1),一次函数,y,=,kx,+,b,(,k,0),的值域为,.,(2),二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),的值域：,当,a0,时，值域为,;,当,a0,且,a,),的值域为,.,R,+),(-,y,|,y,0,(0,+),7,(5),对数函数,y,=,log,a,x,(,a,0,且,a,),的值域为,.,(6),正、余弦函数,y,=,sin,x,(,x,R,),、,y,=,cos,x,(,x,R,),的值域为,;,正切函数,y,=,tan,x,(,x,k,+,k,Z,),的值域为,.,R,-1,1,11,R,8,9,3.,求函数的值域（最值）常用的方法,(1),二次函数用配方法,.,(2),单调性法,.,(3),复合函数的值域由中间变量的范围确定,.,此外还有换元法、数形结合法、基本不等式法等,.,(4),导数法,(,选修内容,).,4.,若,f,(,x,),为闭区间,a,b,上的连续函数，则,f,(,x,),在,a,b,上一定有最大、最小值,.,10,已知函数,y,=,f,(,x,),的值域为集合,D,，函数,y,=,f,(,x,),的最大值、最小值分别为,M,、,N,，则,M,、,N,、,D,的关系是,(),题型一,值域与最值的关系,例,1,A.,D,=,N,，,M,B.,M,D,N,C.,D,N,，,M,D.,M,、,N,D,D,11,不妨设,f,(,x,)=3,x,(-1,x,3,，且,x,Z,),，可知,D,=-3,0,3,6,9,，,M,=9,，,N,=-3,，可知，,A,、,B,、,C,错误，选,D,.,1.,函数的值域是函数值的集合，函数的最值是该集合中的元素,.,2.,当函数,y,=,f,(,x,),在其定义域上是连续函数时，,D,=,N,，,M,，其中,N,=,f,(,x,),min,，,M,=,f,(,x,),max,.,12,题型二,函数值域的求法,例,2,求函数,f,(,x,)=lg(1-,x,2,),的值域,.,由,1-,x,2,0,，得,f,(,x,),的定义域为,x,|-1,x,1,，且,f,(,x,),为偶函数，故可考虑,0,x,1,时的情况，此时，,f,(,x,),为减函数，故,f,(,x,),f,(0)=1,，所以,f,(,x,),的值域为,y,|,y,1,.,13,1.,函数的值域由定义域和对应法则一并确定,故应特别注意定义域对其值域的制约,.,2.,求值域的常用方法有：,1,观察法：一看定义域；二看函数性质；三列举,.,2,函数单调性法（见例,2,）,.,14,3,转换法,.,转换为基本函数（或条件基本函数），,如,y,=,与,y,=,的关系,y=,与,Ax,2,+,Bx,+,C,=0.,转换为几何问题，数形结合,.,转换为三角函数问题,利用三角函数的有界性,.,4,不等式法,.,5,导数法,.,15,求下列函数的值域：,(1),y,=2,x,2,-4,x,+1;,(2),y,=log ;,(3),y,=.,这些都是求复合函数的值域，可通过中间变量的取值范围结合简单函数的值域来求,.,16,(1),因为,t,=,x,2,-4,x,+1=(,x,-2),2,-3-3,，,所以,2,t,2,-3,=,所以该函数的值域为,+),.,(2),因为,0,t,=2,所以,log,tlog,2=-1,故该函数的值域为,-1,+),.,(3),y=1+.,该函数定义域为,x,|,x,0,，,x,R,，,所以,-12,x,-10,从而,y,1,所以该函数的值域为,(-,，,-1),（,1,+,）,.,17,已知函数,f,(,x,)=,x,2,-4,ax,+2,a,+6(,a,R,).,（,1,）,若函数,f,(,x,),的最小值为,0,，求,a,的值；,（,2,）,若函数,f,(,x,)0,对任意,x,R,都恒成立，求函数,g,(,a,)=2-,a,|,a,+3|,的最小值,.,题型三,函数的值域与最值的综合问题,例,2,18,（,1,）,因为,f,(,x,)=(,x,-2,a,),2,+2,a,+6-4,a,2,且,f,(,x,),min,=0,，所以,2,a,+6-4,a,2,=0,，,所以,a,=-1,或,a,=,.,（,2,）,因为,f,(,x,)0,由,0,知,2,a,2,-,a,+30,，,解得,a,-1.,所以,g,(,a,)=2-,a,|,a,+3|=2-,a,(,a,+3)=-a,2,-3a+2,-(,a,+),2,+(,a,-,1),所以当,a,=-1,时，,g,(,a,),min,=,4,.,19,1.,因为二次函数,f,(,x,),在,R,上连续，所以,f,(,x,),的最小值为,0,，即,f(x,),的值域为,0,+).,2.,由于函数的最值不过是函数值域中的一个元素而已，故求值域的方法都适用于求函数的最值,.,20,1.,配方法：主要适用于二次函数或利用换元技巧转化为二次函数，要特别注意自变量和新变量的范围,.,2.,均值不等式法,:,利用基本不等式或均值不等式求最值时,一定要注意等号成立的条件,.,3.,函数单调性法,.,4.,导数法,.,5.,数形结合法：常用于条件及要求最值的表达式有明显的几何意义,.,21,22,