资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、二阶导数的应用,4.5,函数极值的判定,定理,4.6,如果函数,f(x),在,x,0,附近有连续的二阶导数,f(x),，且,f(x,0,),0,，,f(x)0,，,那么,若,f(x,0,),0,，,则函数,f(x),在点,x,0,处取得极大值,若,f(x,0,),0,，,则函数,f(x),在点,x,0,处取得极小值,例,4.11,求下列函数的极值,f(x),2x,3,3x,2,f(x),sinx,cosx,，,x0,2,解：,f(x),6x,2,6x,，,f(x),12x,6,令,6,x,2,6x,0,，,得驻点为,x,1,1,，,x,2,0,f(1),6,0,，,f(0),6,0,把,x,1,1,，,x,2,0,代入原函数计算得,f(1),1,、,f(0),0,当,x,1,时，,y,极小,1,，,x,0,时，,y,极大,0,例,4.11,求下列函数的极值,f(x),sinx,cosx,，,x0,2,解,:,f(x),cosx,sinx,，令,cosx,sinx,0,，,得驻点为,x,1,，,x,2,，又,f(x),sinx,cosx,，,把,x,1,，,x,2,代入原函数计算得,f(),、,f(),。,所以当,x,时，,y,极大,，,x,时，,y,极小,注意,如果,f(x,0,),0,，,f(x,0,),0,或不存在，本定理无效，则需要考察点,x,0,两边,f(x),的符号来判定是否为函数的极值点。,4.6,函数的凹凸性和拐点,1.,曲线的凹凸性,设函数,y,f(x),在区间,(,a,b),内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在,(,a,b),内是凹的，,如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在,(,a,b),内是凸的。,从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段向下弯曲是凸的。,定理,4.7,设函数,y,f(x),在,(,a,b),内具有二阶导数，如果在,(,a,b),内,f(x),0,，,那么对应的曲线在,(,a,b),内是凹的，如果在,(,a,b),内,f(x),0,，,那么对应的曲线在,(,a,b),内是凸的。,例,4.13,判定曲线,y,的凹凸性,解：,y,f(x),，,f(x),，,无拐点但有间断点,x,0,当,x,0,时，,f,”,(x),0,，,曲线在,(,0),内为凸的，,当,x,0,时，,f(x),0,，,曲线在,(0,),内是凹的。,例,4.14,判定曲线,y,cosx,在,(0,2,),的凹凸性,解：,y,sinx,，,y,cosx,，,令,y,0,，得,x,1,，,x,2,当,x(0,),时，,f,”,(x),0,，,曲线在,(0,),内为凸的，,当,x(),时，,f,”,(x),0,，,曲线在,(),内是凹的，,当,x(,2),时，,f,”,(x),0,，,曲线在,(,2,),内为凸的。,2.,曲线的拐点,曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。,因此拐点一定是使,f(x),0,的点，但是使,f(x),0,的点不一定都是拐点。,求拐点的一般步骤,求二阶导数,f(x),；,求出,f(x),0,的全部实根；,对于每一个实根,x,0,，,检查,f,”,(x),在,x,0,左右两侧的,符号，如果,x,0,两侧,f(x),的符号不同，则点,(,x,0,f(x,0,),是曲线的拐点；如果,x,0,两侧,f,”,(x),的符号相同，则点,(,x,0,f(x,0,),不是曲线的拐点,。,例,4.15,求曲线,y,x,3,4x,4,的凹凸区间和拐点,解：,y,x,2,4,，,y,2x,令,2,x,0,，得,x,0,当,x,0,时，,y,”,0,，,曲线在,(,0),内为凸的，,当,x,0,时，,y,0,，,曲线在,(0,),内是凹的。,在,x,0,的左右两侧，,y,”,由正变负，所以,(0,4),为曲,线上的拐点。,例,4.16,讨论曲线,y,x,4,1,的凹凸性和拐点,解：,f(x),12x,2,当,x0,时，,f(x),0,，而,f(0),0,因此曲线,y,x,4,1,在,(,),内都是凹的，,点,(0,1),不是拐点。,4.7,函数图象的描绘,利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准,确地用描点法描绘函数的图象。,一般步骤为：,确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函,数图象和两坐标轴的交点；,计算,f,(x),，令,f,(x),0,求出,f(x),的驻点、极值,点和增减区间；,计算,f,“,(x),，令,f,”,(x),0,求出,f(x),的拐点和凹凸,区间；,计算驻点、拐点处的函数值；,列表，描绘函数的图象。,三、高阶导数的应用,4.8,用多项式近似表达函数泰勒公式,如果我们能用一个简单的函数来近似地表示,一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。,一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么,我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢,?,定理,4.8,设,f(x),在,x,0,点及其附近有直到,n,1,阶的连续导数，那么,其中,R,n,(x),(,在,0,与,x,之间,),上式称为函数,f(x),在,x,0,点附近关于,x,的泰勒展,开式简称泰勒公式。式中的,R,n,(x),叫做拉格朗日余项。,当,x0,时，拉格朗日余项,R,n,(x),是关于,x,n,的高阶无,穷小量，可表示为,R,n,(x),O(,x,n,),。,O(,x,n,),称为皮亚诺余项。,这样，函数,f(x),在,x,0,点附近的泰勒展开式又表,示为：,一般地，函数,f(x),在,x,x,0,点附近泰勒展开式为：,4.9,几个初等函数的泰勒公式,例,4.19,求函数,f(x),e,x,在,x,0,点的泰勒展开式,解：,f(x),f(x),f,(n),(x),e,x,f(0),f(0),f(0),f,(n),(0),1,于是，,e,x,在,x,0,点的泰勒展开式为：,在上式中，令,x,1,，,可得求,e,的近似公式,例,4.20,求函数,f(x),sinx,在,x,0,点的泰勒展开式,解：,f(x),cosx,，,f(x),-,sinx,，,f(x),-,cosx,f,(4),(x),sinx,，,f(0),0,，,f(0),1,，,f(0),0,，,f(x),1,f,(4),(0),0,，,f,(2n,1),(0),(,1),n,1,，,f,(2n),(0),0,于是，,sinx,在,x,0,点的泰勒展开式为,：,例,4.21,求函数,f(x),cosx,在,x,0,点的泰勒展开式,解：,f(x),-,sinx,，,f(x),-,cosx,，,f(x),sinx,f,(4),(x),cosx,，,f(0),1,，,f(0),0,，,f(0),1,，,f(x),0,f,(4),(0),1,，,f,(2n,1),(0),0,，,f,(2n),(0),(,1),n,于是，,cosx,在,x,0,点的泰勒展开式为：,例,4.22,求函数,f(x),ln,(1,x),在,x,0,点的泰勒展开式,解：,f(x),，,f(x),-,，,f(x),，,f,(4),(x),-,，,f(0),0,，,f(0),1,，,f(0),-1!,，,f(x),2!,f,(4),(0),-3!,，,f,(n),(0),(,1),n,1,(n,1)!,于是，,ln,(1,x),在,x,0,点的泰勒展开式为：,4.10,罗必塔法则,1.,不定式,定理,4.9,如果当,xa,时函数,f(x),、,g(x),都趋向于零，在点,a,的某一邻域内,(,点,a,除外,),，,f,(x),、,g,(x),均存在，,g,(x)0,，,且 存在,(,或无穷大,),，则,证明：,根据柯西定理有,在,x,与,a,之间，当,xa,时,a,，,这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它,们导数的商的极限。,当,x,时，上述定理也成立。,例,4.23,求极限,解：当,x0,时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有,例,4.24,求极限,解：当,x1,时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有,例,4.25,求极限,解：当,x,时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有,2.,不定式,定理,4.10,如果当,xa,时函数,f(x),、,g(x),都趋向于无穷大，在点,a,的某一邻域内,(,点,a,除外,),，,f(x),、,g(x),均存在，,g(x)0,且 存在,(,或无穷大,),，则,当,x,时，上述定理也成立。,例,4.26,求,解：当,x0,+,时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有,例,4.27,证明当,a,0,时，,0,证明：根据罗必塔法则,这表明，无论是,一个多么小的正数，,x,趋于,的速度都比,lnx,趋于的速度快。,作业,P.198 1,2,3,4,P.207 4,，,5,复习题四,1,2,7,8,13,
展开阅读全文