资源描述
,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第六节对数与对数函数,1,总纲目录,教材研读,1.,对数的概念,考点突破,2.,对数的性质与运算法则,3.,对数函数的图象与性质,考点二对数函数的图象及应用,考点一对数式的化简与求值,4.,反函数,考点三对数函数的性质图及应用,2,1.对数的概念,(1)对数的定义,一般地,如果,a,x,=,N,(,a,0且,a,1),那么数,x,叫做以,a,为底,N,的对数,记,作,x,=log,a,N,其中,a,叫做对数的底数,N,叫做真数.,(2)几种常见对数,教材研读,对数形式,特点,记法,一般对数,底数为,a,(,a,0且,a,1),log,a,N,常用对数,底数为10,lg,N,自然对数,底数为e,ln,N,3,2.对数的性质与运算法则,(1)对数的性质,=,N,;log,a,a,N,=,N,(,a,0且,a,1).,(2)对数的重要公式,换底公式:,log,b,N,=,(,a,b,均大于0且不等于1);,相关结论:log,a,b,=,log,a,b,log,b,c,log,c,d,=,log,a,d,(,a,b,c,均大于0且不等,于1,d,大于0).,(3)对数的运算法则,如果,a,0且,a,1,M,0,N,0,那么,log,a,(,MN,)=,log,a,M,+log,a,N,;,4,log,a,=,log,a,M,-log,a,N,;,log,a,M,n,=,n,log,a,M,(,n,R);,lo,M,n,=,log,a,M,(,m,n,R,且,m,0).,5,3.对数函数的图象与性质,a,1,0,a,1时,y,0;当0,x,1时,y,1时,y,0;当0,x,0,是(0,+,)上的增函数,是(0,+,)上的减函数,6,4.反函数,指数函数,y,=,a,x,(,a,0,且,a,1)与对数函数,y,=log,a,x,(,a,0,且,a,1)互为,反函数,它们的图象关于直线,y,=,x,对称.,7,1.化简:(log,2,9)(log,3,4)=,(),A.,B.,C.2D.4,答案,D(log,2,9)(log,3,4)=,=,=4.,2.函数,y,=,的定义域是,(),A.1,2B.1,2)C.,D.,答案,D由lo,(2,x,-1),0,02,x,-1,1,0,且,a,1)的图象恒过点,.,答案,(3,1),解析,当4-,x,=1即,x,=3时,y,=log,a,1+1=1.,所以函数的图象恒过点(3,1).,5.若log,a,0,且,a,1),则实数,a,的取值范围是,.,答案,(1,+,),解析,当0,a,1时,log,a,log,a,a,=1,所以0,a,1时,log,a,1.,(,3，1）,(1,+,),10,6.lg,+2lg 2-,=,.,答案,-1,解析,lg,+2lg 2-,=lg 5-lg 2+2lg 2-2=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1.,-1,11,典例1,计算:(1)lg 25+lg 2lg 50+(lg 2),2,;,(2)(log,3,2+log,9,2)(log,4,3+log,8,3).,考点突破,考点一对数式的化简与求值,解析,(1)原式=(lg 2),2,+(1+lg 5)lg 2+lg 5,2,=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5,=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.,(2)原式=log,3,2log,4,3+log,3,2log,8,3+log,9,2log,4,3+log,9,2log,8,3,=,+,+,+,=,+,+,+,=,=,.,12,规律总结,对数运算的一般思路,(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质化简合并.,(2)将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算,性质,将其转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.,注意:在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.,13,1-1,根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限,M,约为3,361,而可观测宇,宙中普通物质的原子总数,N,约为10,80,.则下列各数中与,最接近的是,(),(参考数据:lg 3,0.48),A.10,33,B.10,53,C.10,73,D.10,93,答案,D设,=,=,t,(,t,0),3,361,=,t,10,80,361lg 3=lg,t,+80,361,0.48=lg,t,+80,lg,t,=173.28-80=93.28,t,=10,93.28,.故选D.,D,14,1-2,设2,a,=5,b,=,m,且,+,=2,则,m,=,.,答案,解析,2,a,=5,b,=,m,0,a,=log,2,m,b,=log,5,m,+,=,+,=log,m,2+log,m,5=log,m,10=2.,m,2,=10,m,=,.,15,1-3,已知log,18,9=,a,18,b,=5,则log,36,45=,(用关于,a,b,的式子表示).,答案,解析,因为log,18,9=,a,18,b,=5,所以lg 9=,a,lg 18,lg 5=,b,lg 18,所以log,36,45=,=,=,=,=,.,16,典例2,(1)函数,y,=2log,4,(1-,x,)的图象大致是,(),(2)(2018广东惠州检测)若不等式(,x,-1),2,log,a,x,在,x,(1,2)上恒成立,则实数,a,的取值范围是,.,考点二对数函数的图象及应用,17,解析,(1)函数,y,=2log,4,(1-,x,)的定义域为(-,1),排除A,B;函数,y,=2log,4,(1-,x,),在定义域上单调递减,排除D.故选C.,(2)设,f,1,(,x,)=(,x,-1),2,f,2,(,x,)=log,a,x,要使不等式(,x,-1),2,log,a,x,在,x,(1,2)上恒成立,只需,f,1,(,x,)=(,x,-1),2,在(1,2)上的图象在,f,2,(,x,)=log,a,x,图象的下方即可.,当0,a,1时,如图所示.,要使,x,(1,2)时,f,1,(,x,)=(,x,-1),2,的图象,在,f,2,(,x,)=log,a,x,的图象下方,只需,f,1,(2),f,2,(2),即(2-1),2,log,a,2,log,a,2,1,所以1,a,2,即实数,a,的取值范围是(1,2.,答案,(1)C(2)(1,2,18,方法技巧,对数函数图象的识别及应用方法,(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特,殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.,(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用,数形结合法求解.,19,同类练,(1)函数,f,(,x,)=lg,的大致图象为,(),(2)当0,x,时,4,x,log,a,x,则,a,的取值范围是,(),A.,B.,C.(1,)D.(,2),20,答案,(1)D(2)B,解析,(1),f,(,x,)=lg,=-lg|,x,+1|的图象可由偶函数,y,=-lg|,x,|的图象左移1,个单位得到,故选D.,(2)易知0,a,解得,a,a,0,a,1)的图象如图,则下列结论成立的是,(),A.,a,1,c,1B.,a,1,0,c,1,C.0,a,1D.0,a,1,0,c,1,(2)若不等式,x,2,-log,a,x,0对,x,恒成立,则实数,a,的取值范围是,.,22,答案,(1)D(2),解析,(1)由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0,a,0,即log,a,c,0,所以0,c,1.,(2)由,x,2,-log,a,x,0得,x,2,log,a,x,设,f,1,(,x,)=,x,2,f,2,(,x,)=log,a,x,要使,x,时,不等式,x,2,1时,显然不成立;当0,a,1时,如图所示,23,要使,x,2,log,a,x,在,x,上恒成立,需,f,1,f,2,所以有,log,a,解得,a,故,a,1.,即实数,a,的取值范围是,.,24,深化练,(1)设方程10,x,=|lg(-,x,)|的两个根分别为,x,1,x,2,则(),A.,x,1,x,2,1D.0,x,1,x,2,1),至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数根,则,a,的取值范围是,(),A.(1,2)B.(2,+,)C.(1,)D.,2),25,答案,(1)D(2)D,(1)作出,y,=10,x,与,y,=|lg(-,x,)|的大致图象,如图.,显然,x,1,0,x,2,0.,不妨令,x,1,x,2,则,x,1,-1,x,2,0,所以1,=lg(-,x,1,),1,=-lg(-,x,2,),此时1,1,即lg(-,x,1,)-lg(-,x,2,),由此得lg(,x,1,x,2,)0,26,所以0,x,1,x,2,1,故选D.,(2)对任意的,x,R,都有,f,(,x,-2)=,f,(,x,+2),f,(,x,)是定义在R上的周期为4的偶函数.,作函数,y,=,f,(,x,)与,y,=log,a,(,x,+2)的图象如下,27,结合图象可知,解得,a,b,c,B.,a,c,b,C.,b,a,c,D.,b,c,a,(2)已知奇函数,f,(,x,)在R上是增函数.若,a,=-,f,b,=,f,(log,2,4.1),c,=,f,(2,0.8,),则,a,b,c,的大小关系为,(),A.,a,b,c,B.,b,a,c,C.,c,b,a,D.,c,a,log,3,3=1,b,=log,2,b,又,=,=(log,2,3),2,1,b,0,所以,b,c,故,a,b,c,.,(2),f,(,x,)为奇函数,f,(-,x,)=-,f,(,x,),a,=-,f,(-log,2,5)=,f,(log,2,5),而log,2,5log,2,4.122,0.8,且,y,=,f,(,x,)在R上为增函数,f,(log,2,5),f,(log,2,4.1),f,(2,0.8,),即,a,b,c,故选C.,30,命题方向二解对数不等式,典例4,(1)已知函数,f,(,x,)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+,)上单调,递增.若实数,a,满足,f,(log,2,a,)+,f,(lo,a,),2,f,(1),则,a,的取值范围是,(),A.1,2B.,C.,D.(0,2,(2)已知函数,f,(,x,)=,则不等式,f,(,x,)1的解集为,.,31,答案,(1)C(2),解析,(1)由已知条件得,f,(-,x,)=,f,(,x,),则,f,(log,2,a,)+,f,(lo,a,),2,f,(1),f,(log,2,a,)+,f,(-log,2,a,),2,f,(1),f,(log,2,a,),f,(1),又,f,(log,2,a,)=,f,(|log,2,a,|)且,f,(,x,)在0,+,)上单调递增,|log,2,a,|,1,-1,log,2,a,1,解得,a,2,选C.,(2)若,x,0,则不等式,f,(,x,)1可转化为3,x,+1,1,x,+10,x,-1,-10,则不等式,f,(,x,)1可转化为lo,x,1,x,0,x,1的解集是,.,32,命题方向三与对数函数有关的复合函数问题,典例5,已知函数,f,(,x,)=log,a,(3-,ax,)(,a,0且,a,1).,(1)若,x,0,2,函数,f,(,x,)恒有意义,求实数,a,的取值范围;,(2)是否存在实数,a,使,f,(,x,)在1,2上为减函数,并且,f,(,x,)有最大值1?如果存,在,试求出,a,的值;如果不存在,说明理由.,
展开阅读全文