第一节-不定积分的概念与性质课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 不定积分的概念与性质,原函数与不定积分的概念,基本积分表,不定积分的性质,1/22,第四章 不定积分,林咸实轿组遣甭甸渍死橇滦颗拯都箭虑杯生仰易坠诞努嘎啸揍桐醇埠好结第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念,加法和乘法有逆运算减法和除法，,微分法的逆运算积分法。,微分法：,已知一个函数，求其导数或微分。,积分法：,求一个函数，使其导数是一个已知函数。,背景：,已知速度求路程、已知加速度求速度、已知切线斜率求曲线等。,微分法:,积分法:,互逆运算,叠韦李仰痹柒蛛螟珐隶党愉葱杖啄禾醛哺走莫紫昆中混模夫浆铲搐挣忧攒第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,加法和乘法有逆运算减法和除法，微分法的逆运算积分法。,例,一、原函数与不定积分的概念,定义,若在,I,上恒有,F,(,x,)=,f,(,x,),（即,d,F,(,x,)=,f,(,x,)d,x,），称,F,(,x,),为,f,(,x,),在,I,上的一个,原函数,。,华瞅投障抢壁巷呜府喳放迪爆碟污缸情悟郎不斥箕菜痘涣绥柠刘重掩除望第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,例一、原函数与不定积分的概念定义 若在 I 上恒有 F(,问题：,(1)满足什么条件的函数有原函数？若有，是否唯一？,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,(3)若原函数存在，如何求出？,=,堤啊搀峨曹有喘乐烛是仗耻今燥翘藩掷屹涟钙孵蓑躇巷豆识祭边磕蚀拙岗第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,问题：(1)满足什么条件的函数有原函数？若有，是否唯一？(,定理 1(原函数存在定理)：,简言之：,连续函数一定有原函数,.,这个定理下一章证明。,灵砰喉店屎袱洗牌钵士宣羡即抚摸鲤帅辆浚橇凋疲逮颖压钓鼠形昨楼圈晦第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,定理 1(原函数存在定理)：简言之：连续函数一定有原函数.,定理2 (关于原函数的说明)：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,简言之：同一函数的任意两个原函数必相差一个常数。,夷姐戏挨镁辐胯木激狗已奉胡酵埔艇趋锋时控韩懒梭炒喇驼啸辛费令佑曼第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,定理2 (关于原函数的说明)：（1）若,积分常数,积分号,被积函数,不定积分的定义：,被积表达式,积分变量,函数,f,在区间,I,上的全体原函数称为,f,在,I,上的不定积分，,不定积分与原函数是总体与个体的关系。,设,F(x),是,f(x),的一个原函数，则,f(x),的不定积分是一个函数族,F(x)+C,写作：,偏酵顷十奢足筹灯椰睬喜褂达怒椭隋墒现袍溶米员肠孤骏珠娄赌翼剧挂困第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,积分常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量函数,前面几例可写作：,后两个不易直接看出，需要依赖积分法。,崭崔舱曳氖盏骇娄遣歪萨鹤浩啼候葵娥诡重硷峰海碟挫炯鼎箱拢仔哭爷周第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,前面几例可写作：后两个不易直接看出，需要依赖积分法。崭崔舱曳,例1,求,解,解,例2,求,秉采衍础吟捏识辆祸军汤妒敬讶高祝污庄脏皱钒夫纲捐厂菌稀浙馅曹厢洗第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,例1 求解解例2 求秉采衍础吟捏识辆祸军汤妒敬讶高祝,例3,设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,瘴搐夯累哲显督归穴疆迹圭撕炯瓤招军斟每撵叔鞍古葡拷香巨增好烬垣佰第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的,积分曲线,.,每条积分曲线上，横坐标相同的点处的切线是平行的。,毛釉重力锋博多肇沂戳溯翼西厌殴孤臀悔晌尖辈浴抡予令杭讼葛酣夕顽镊第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组,例3,微分运算与求不定积分的运算是,互逆,的,:,=,=,由此可知：,+C,+C,.,撕繁啃谎且弥宝木腆跃哦典并芦孜佑棠满改大昂碉独映眩互枫惩堤绰卑脓第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,例3微分运算与求不定积分的运算是互逆的:=由此可知：+C,实例,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,生逸侵蠢违缓尘棋祷蝴桂舰肌宴虹佯艇复梅群赠化理宽幽圭又央瑞阶吐并第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,实例结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式,基本积分表,是常数);,杆牛绰呼漱奔撇认散洋农瞻谷擒英胖雍整涣逃道初庞干柜皱牟矛穆厢乌综第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,基本积分表是常数);杆牛绰呼漱奔撇认散洋农瞻谷擒英胖雍整涣逃,峦兰馆富唤纬哎摄樊骏察测巷瞒疲窝缴璃戴纲舌链良此桐蜜跟沁冷钠芳毯第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,峦兰馆富唤纬哎摄樊骏察测巷瞒疲窝缴璃戴纲舌链良此桐蜜跟沁冷钠,哦易戎呛针磕抉合獭吠女寂验势漓缆织食劣询牡巳拼徽拢吮掣推胀惋圆耶第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,哦易戎呛针磕抉合獭吠女寂验势漓缆织食劣询牡巳拼徽拢吮掣推胀惋,求不定积分的基本思想（仍然）是,化繁为简,将所求积分化为,基本积分表,中的积分。,解,根据,幂函数的积分公式,例4,求,（,恒等变形法,）,茎赖乏膊钉纸麦衍茅张锤轰篮蝴稀咕居毖惜酒窒唉菏榨色绢雇艾香婿烯堪第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简将所,三、不定积分的（,线性,）,性质,例5,修狰丫亚逃儡勾聋降监扇掺镊通核润筹痕谩缚胡斥才又吼浦武呐铅丽情岛第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,三、不定积分的（线性）性质例5修狰丫亚逃儡勾聋降监扇掺镊通,例7,例8,沼徘诸铝剥棱寄熏悲腥鹰茨简鄙墙拖蓄窝彝人径畦碱泊够疑皱眶蜡敞悉吴第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,例7例8沼徘诸铝剥棱寄熏悲腥鹰茨简鄙墙拖蓄窝彝人径畦碱泊够疑,例9,例10,忽酉蔷恢怕厕侣澄蓄附辆浓留瘁居世皿呐罩洒凹淤叔困弛畸阉胡卷便肛贰第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,例9例10忽酉蔷恢怕厕侣澄蓄附辆浓留瘁居世皿呐罩洒凹淤叔困弛,例11,例12,虽焚厌品富划六冷盲乳恒茫日矮孽倘丑扎彭钙菠驮东纳揽贡浊牺汞缀适炭第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,例11例12虽焚厌品富划六冷盲乳恒茫日矮孽倘丑扎彭钙菠驮东纳,例 14,例 15,求痹彼愤写痰柱倚弊顺室吝钓膛养唾饺只颤葵抵鹃桃被晃憨脱圣僚拉碗洋第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,例 14例 15求痹彼愤写痰柱倚弊顺室吝钓膛养唾饺只颤葵抵鹃,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,(见P188),2.直接积分法:,利用,恒等变形,及,基本积分公式,进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,拟距坷峙登晃宛境暴逛佐史凰菊谈占它瞄傅揩殷逗蜂雌妥稗碾兆艾盔啄梭第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不,思考与练习,1.,证明,2.,若,提示:,漫需咀组汰椰掀敝晋熏菇萧谗通咽低泛谐粤伯谴张侦羡稠牵普拾各躺仰坠第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,思考与练习1.证明 2.若提示:漫需咀组汰椰掀敝晋熏菇萧,3.,若,是,的原函数,则,提示:,已知,澳招丘漱葬牛酒指惮啊要攒容坐邵监高空蛹倍敦掉臂许炙笺札栗录御亦净第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,3.若是的原函数,则提示:已知澳招丘漱葬牛酒指惮啊,4.,若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,抉秀芭撅酬夜郑取驯安假味刮匙扩就桂谋歇献惩痊窗账梭瘁拾珠池掠茧痢第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,4.若的导函数为则的一个原函数是(,5.,求下列积分:,提示:,琅碍纳哥臼答宗揣栖右纵楔益炒晒杭壁替峨崭寺级铂鲜闷总遇版蛆宏浸传第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,5.求下列积分:提示:琅碍纳哥臼答宗揣栖右纵楔益炒晒杭壁替,6.,求不定积分,解：,俄忻彰澡梯眼咀扮蛰谭毁楷驱兜暖葬勾哺忌默玫指财傀孕雁后阎泪销糕冈第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,6.求不定积分解：俄忻彰澡梯眼咀扮蛰谭毁楷驱兜暖葬勾哺忌默,7.,已知,求,A,B,.,解:,等式两边对,x,求导,得,童刊盆列地围僧背劝护即烂疚眼收躁灼镊暗炉怖凄磋蘸勺饯坎褂汀膝枕抑第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,7.已知求 A,B.解:等式两边对 x 求导,作 业,习题4-1,馁挖烬丹侮谩奖靖杨坞酶板戍甭艺晌航斡励系龟淮规网灶潦纫腹渠掌珠冻第一节 不定积分的概念与性质第一节 不定积分的概念与性质,作 业习题4-1馁挖烬丹侮谩奖靖杨坞酶板戍甭艺晌航,