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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1,两角和与差的正弦、余弦 和正切公式,3.1.1,两角差的余弦公式,问题提出,1.,在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？,2.,对于,30,，,45,，,60,等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出,150,，,210,，,315,等角的三角函数值,.,我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据,.,3.,若已知,，,的三角函数值，那么,cos(,),的值是否确定？它与,，,的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题,.,两角差的余弦公式,探究（一）：,两角差的余弦公式,思考,1,：,设,，,为两个任意角,你能判断,cos(,),cos,cos,恒成立吗,?,cos(30,30,),cos30,cos30,sin60,sin120,cos60,cos120,cos,(,120,60,),sin30,sin60,cos30,cos60,cos,(,60,30,),思考,2,：,我们设想,cos(,),的值与,，,的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？,思考,3,：,一般地，你猜想,cos(,),等于什么？,cos(,),coscos,sinsin,思考,4,：,如图，设,，,为锐角，且,，角,的终边与单位圆的交点为,P,1, P,1,OP,，那么,cos(,),表示哪条线段长？,M,P,P,1,O,x,y,cos(,)=OM,思考,5,：,如何用线段分别表示,sin,和,cos,？,P,P,1,O,x,y,A,sin,cos,思考,6,：,coscos,OAcos,，它表示哪条线段长？,sinsin,PAsin,，它表示哪条线段长？,P,P,1,O,x,y,A,sin,sin,cos,cos,B,C,思考,7,：,利用,OM,OB,BM,OB,CP,可得什么结论？,sin,sin,cos,cos,P,P,1,O,x,y,A,B,C,M,cos(,),coscos,sinsin,x,y,P,P,1,M,B,O,A,C,+,1,1,思考,8,：,上述推理能说明对任意角,，,，都有,cos(,),coscos,sinsin,成立吗？,思考,9,：,根据,coscos,sinsin,的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？,思考,10,：,如图，设角,，,的终边与单位圆的交点分别为,A,、,B,，则向量 、,的坐标分别是什么？其数量积是什么？,B,O,A,x,y,=(,cos,sin,),=(,cos,sin,),思考,11,：,向量与的夹角,与,、,有什么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？,2k,或,2k,B,O,A,x,y,cos(,),coscos,sinsin,思考,12,：,公式,cos(,),coscos,sinsin,称为,差角的余弦公式,，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？,探究（二）：,两角差的余弦公式的变通,思考,1,：,若已知,和,的三角函数值，如何求,cos,的值？,cos,cos(,),cos(,),cos,sin(,)sin,.,思考,2,：,利用,(,),可得,cos,等于什么？,cos,cos(,),cos(,)cos,sin(,)sin,.,思考,3,：,若,cos,cos,a,，,sin,sin,b,，则,cos(,),等于什么？,思考,4,：,若,cos,cos,a,，,sin,sin,b,，则,cos(,),等于什么？,例,1,利用余弦公式求,cos15,的值,.,例,2,已知,是第三象限角,求,cos(,),的值,.,理论迁移,例,3,已知,且,求 的值,.,小 结,1.,在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会,.,2.,已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号,.,3.,在差角的余弦公式中，,，,既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，,2,(,),(,),等,.,同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择,.,
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