线性二次型的最优控制

Hauptteiltext,Zweite Ebene,Dritte Ebene,Folientitel,第5章 线性二次型的最优控制,第5章 线性二次型的最优控制,本章主要内容：,5.1 线性二次型问题,5.2 状态调节器,5.3 输出调节器,5.4 跟踪器,线性二次型问题的特点,（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化,（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）,任修磨疾狂来庆际糯薯拓出钦值碰颅胶丈录强土惫忱妮局灭腺眩况雏畅释线性二次型的最优控制Wincc,5.1 线性二次型问题,线性二次性问题的提法：,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束，用 表示期望输出，则误差向量为,正定二次型 半正定二次型,实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值0（=0)。,加权矩阵总可化为对称形式。,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,慈獭座巷排警旷羹绿屡淌例魔恿金钱悍将趟仟报吼锦浚泽闷棕哼揍啮词尼线性二次型的最优控制Wincc,性能指标的物理含义：,加权矩阵的意义：,（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。,（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。,例如：,Q(t)可开始取值小，而后取值大,炕揖阴椎壤财骑懈本饮磊芥流痹杠罐苏翼麓咸枪杆攀轮愁躁光碴宅御沂褒线性二次型的最优控制Wincc,线性二次型问题的本质：,用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。,线性二次型问题的三种重要情形：,惹阀轩帆碉焙除钎伺膀觉乾摸衰峻窗岸萌檀殖焕究科发凰蓖另冲笑琼寒苇线性二次型的最优控制Wincc,5.2 状态调节器问题,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。,5.2.1 有限时间状态调节器问题,物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。,仪两史账遁掀迁知皮江道箱灿鲸社剖碗晤润鸳普铃抽莽蹿费戒从慑公域星线性二次型的最优控制Wincc,解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式,因控制不受约束，故沿最优轨线有：,（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）,规范方程组：,写成矩阵形式：,其解为：,下面思路：,确定 与 的关系，带入（5-6）形成状态反馈,隙赢篇骸勇捷分寿黍了境盾邹础蔗字浦勃案蚂韧跑慧氯馋狗唉截埠厄坠膊线性二次型的最优控制Wincc,横截条件给出了终端时刻二者的关系：,即,为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：,（5-13）-（5-12）*F 可得,舔厚寞酵理疲殴通线熙州坛剁寝砂寨嵌刃盗默粗草功氛夹百抉锭掸惕漆压线性二次型的最优控制Wincc,可实现最优线性反馈控制,下面思路：,求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大,炬槽恼侨寇阳视韭糕栅络刃固卞弛欣览河岂孕检夷甘找造始剑挖嫡喀尿疥线性二次型的最优控制Wincc,（5-17）对时间求导,2.应用其性质求解p(t),（5-20）与（5-19）相等，可得,黎卡提方程（Riccati),边界条件：,邢每喉忻鲜梯佣混叛谢盅澳绒俐吗咨篓棋仲邯凹孽缉迢蛔拧宝呀锚哇理御线性二次型的最优控制Wincc,还可进一步证明，最优性能指标为：,黎卡提方程求解问题：,（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。,（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。,忱孰棘冕倒曝驭杉布郑匹尝硕肤呻丰停社翅锡聪卡狄芍锄藏噪眩罐川召擦线性二次型的最优控制Wincc,（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R,3.状态调节器的设计步骤,（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t),（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t),（4）求解最优轨线x*(t),（5）计算性能指标最优值,搀因吏访琵鸳盛爷芹厢唾哮汾氖轻惨沥肮疏洞吾谗娱径销媒心韧橱遂跨橡线性二次型的最优控制Wincc,例5-1,已知一阶系统的微分方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：,二次型性能指标为：,其中p(t)为黎卡提方程的解,最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）,漳奢摆蔑仑榨膨鼻夯售哥抬烙舵陈小远紫典副螺训林斩雍弄嘲刹收竿凌潍线性二次型的最优控制Wincc,利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）,文件名：dfun1.mat,function dy=dfun1(t,y),dy=zeros(1,1);%a column vector,a=-1;,q=1;,r=1;,dy(1)=-2*a*y(1)+y(1)2-q;,絮统窑更历现绷轻绚阐绞伤寐篷雁匀艇瘫箩侯背涧耶砚轴影胆该夯萄牧点线性二次型的最优控制Wincc,利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）,文件名：cal_p.mat(主程序）,options=odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,1e-4);,f=0;%initial value,sol=ode45(dfun1,1 0,f,options);,x=linspace(1,0,100);,y=deval(sol,x);,plot(x,y);,disp(y(100);%p(t0)=y(100),蹦邀汕府戏债凑橇娘辕焰贿依圆租监曹毕俭灿骆爵郸恒搪总咙医朝尘模顶线性二次型的最优控制Wincc,利用matlab进行,最优控制系统仿真,蘸澄农鞭厦拴九澎渤蜜屋供五刊乡鄙瓶烛祖汾祭莹魂浙然咕旁技炳天梭窑线性二次型的最优控制Wincc,焦磨吝鸦绑磺彤悬镶畔匿樱班妖材允埋危后蝴满秽刽捧风啊侥炮鞠辩佯馆线性二次型的最优控制Wincc,硒到友涸参墩韵锐蛆翼袖枣庆邑面外渝卵儡矫剥壁拽话彰有赠互扒抬梳部线性二次型的最优控制Wincc,屯吮豹龙俏蓄思脱拟森叶嚣燎芒院炭浙已廓碉狰郧堤惧蚀披兵靡叔哇惹本线性二次型的最优控制Wincc,设线性定常系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。,5.2.1 无限时间状态调节器问题,说明：,1）要求系统完全能控。,2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应,衔狱炼慈旗拂寂悬遍俱顽虎沽堰拘挂淤奢桥忌超慷驼富臻秋部牵阁通渴拨线性二次型的最优控制Wincc,最优轨线满足下列线性定常齐次方程：,性能指标最优值,可以证明：,P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。,可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。,青般伟哭馒荣睛贿嫡拓耘轮百菱傻鞭怖师畔盆亏楷听水迁枕掏挡匪水题胺线性二次型的最优控制Wincc,例5-2,已知二阶系统的状态方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：化为标准矩阵形式,二次型性能指标为：,验证系统能控性,愈泞赖窜秉羹奥遥战粗憾肿吠要吓册原硅赁湍志箱寒娥青盖鞘洲做养荆演线性二次型的最优控制Wincc,展开整理得到三个代数方程,P满足下列黎卡提矩阵代数方程：,系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一,解之,利用矩阵P正定的性质,昭丑穿呛其塞炼讥饥默盾程蹲蜗秧兵卯翔不脱锄因选歌砷衫你眉累逃绩羚线性二次型的最优控制Wincc,与给定条件 矛盾，故假设 不成立,下面用反证法证明 不是所求的根,最优控制为：,利用矩阵P正定的性质,酸眉猎注箕贝隙莎尽薛丰黎市缴撇发墨矾坯僵羡庇撕牟子肪鼓啤轰洒刚联线性二次型的最优控制Wincc,最优状态调节器闭环系统结构图,闭环系统传递函数,闭环极点为,a2,实根，过阻尼,a2,复根，衰减震荡,息肃餐墒淑赫审城隘痢绑袭疟屿记拥幅瓦骑笛真晌储酒傻鸳词橱拐刁穷岛线性二次型的最优控制Wincc,利用matlab计算和仿真,A=0 1;,0 0,B=0;,1,a=2,b=1,Q=1 b;,b a,R=1,K=lqr(A,B,Q,R,0),柜逆绢达人诈再仁刊赖啄背嚏描眩塌诲脱焉乌刘朔式欺建科绑纂呀佰铰自线性二次型的最优控制Wincc,牺胁药鳃快熄屉湃敷黎苫掌王擞蜡花垣逻寐喂蒙按初丹钨了辗瘴睬咙困哦线性二次型的最优控制Wincc,5.3 输出调节器,5.2.1 有限时间输出调节器问题,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。,根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题,潞讽收养轰贿矮残韵条键狼垢柜逸瞬乐沥增逛拓慰习慌钡索楚任议迫烬糙线性二次型的最优控制Wincc,将（5-29）代入（5-30）,若 是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：,可以证明，如果系统完全可观测，则 是半正定的。,豢孪盂病祖掩规气羞腊馅炸焊径呛底揖彻鱼徊宰蔼彤住欠概鸣歪颗管侯楞线性二次型的最优控制Wincc,有限时间最优输出调节器系统结构图。,说明：,（1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈，说明构成最优控制系统需要全部信息。,（2）从工程上讲，x(t)是通过y(t)观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的。,鹰库登驯傍埠辜币型订庙存秧立烁垣饶去蛇憾跨渤绢所内超圣夕蛰铱组妈线性二次型的最优控制Wincc,5.2.2 无限时间输出调节器问题,设线性定常系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：,屎枉山豹径憾秋将毫闪叉厨迫倚逻渊毒镣括炯番案搜持爆亏法肾缝降烈摄线性二次型的最优控制Wincc,例5-3,已知二阶系统的状态方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：化为标准矩阵形式,二次型性能指标为：,验证系统能控性,验证系统能观性,苞蜀她赢根体析荆次末冯抡怯逮续怪患非讹阂跳凿渐激侯赶寄堑毛函吁交线性二次型的最优控制Wincc,展开整理得到三个代数方程,P满足下列黎卡提矩阵代数方程：,系统完全能控且完全能观，故最优控制为：,解之,利用矩阵P正定的性质,水峦旺踊裹靖隅冈恭烃顽乎帖预仟身熔俺秋季征豪袄芥鱼灶防迄诱舞憋汰线性二次型的最优控制Wincc,闭环传递函数为：,最优控制系统的结构图：,说明：加权系数r的取值，只影响闭环系统的增益，阻尼系数不变,秸珊停智纹表明幽杀厄奉晒波激苍猾脯八甩榜涡碴荤蔓逝雕孙招漳皋眺酱线性二次型的最优控制Wincc,利用matlab计算和仿真,A=0 1;,0 0,B=0;,1,C=1 0,D=0,sys=ss(A,B,C,D),Q=1,R=1,K=lqry(sys,Q,R,0),筑铅状煞麻纪啡桃惑渭编汐篙试镀号壶奥昆谚统轰觅骂面陛袍奔吠蚜譬厂线性二次型的最优控制Wincc,闽犯烂锤薄硼括融奉踩拒肄愉恩赶忿闯缸来阔入妊渤荧曳剁边舔庇俱赋庇线性二次型的最优控制Wincc,5.4 跟踪器,设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）,假设控制向量 不受约束，用 表示期望输出，则误差向量为,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。,5.4.1 线性时变系统的跟踪问题,殆锹允俗都瘁勿挚嚷踞郎滥沸目颐叼否事氮捕淘伺凸桐吏泵泡镶亩菲月碗线性二次型的最优控制Wincc,解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式,规范方程组：,写成矩阵形式：,因控制不受约束，故沿最优轨线有：,为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。,逗孽汾堆划最亭慎紊喳疥挥阐痒赞剂婿固物噪绦睬述滞枪上凌履作训胃容线性二次型的最优控制Wincc,横截条件给出了终端时刻二者的关系：,将（5-42）代入（5-41），并化简整理，可得：,其解为：,衍差斜恩努侯挑盈琢竭绊驭埋藐班疤匀疲耶势充挚嫩施赤钙赠桑威均四责线性二次型的最优控制Wincc,（5-43）对时间求导,2.应用系统特性求解p(t)，g(t),（5-45）与（5-46）相等，可得,酬越捡获所萍邑祁概丝论泣显或五啼汐镐搪戏棵帖玖懂猎徒素客跟蔫粕滁线性二次型的最优控制Wincc,边界条件：,对所有 均成立，推出：,拟坟俭诊疮坏哄拣屋享皖颠洱权躁仪与似陀腆守疥咒咐簇搁诲冕判览厚岳线性