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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意,:,善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、区域,1.,邻域,点集,称为点,P,0,的,邻域,.,例如,在平面上,(,圆邻域,),在空间中,(,球邻域,),说明：,若不需要强调邻域半径,也可写成,点,P,0,的,去心邻域,记为,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含,.,2.,区域,(1),内点、外点、边界点,设有点集,E,及一点,P,:,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,=,若对点,P,的,任一,邻域,U,(,P,),既含,E,中的点也含,不属于,E,的点,则称,P,为,E,的,内点,；,则称,P,为,E,的,外点,;,则称,P,为,E,的,边界点,.,显然,E,的内点必属于,E,E,的外点必不属于,E,E,的,边界点可能属于,E,也可能不属于,E,.,(2),聚点,若对,任意给定的,点,P,的去心,邻域,内总有,E,中的点,则,称,P,是,E,的,聚点,.,聚点可以属于,E,也可以不属于,E,(,因为聚点可以为,E,的边界点,),D,(3),开区域及闭区域,若点集,E,的点都是,内点,，则称,E,为,开集,；,若点集,E,E,则称,E,为,闭集,；,若集,D,中任意两点都可用一完全属于,D,的折线相连,开区域连同它的边界一起称为,闭区域,.,则称,D,是,连通的,;,连通的开集称为,开区域,简称,区域,;,。,E,的边界点的全体称为,E,的,边界,记作,E,;,例如，,在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,但非区域,.,o,对区域,D,若存在正数,K,使一切点,P,D,与定点,O,的距离,OP,K,则称,D,为,有界域,界域,.,否则称为,无,3.,n,维空间,n,元有序数组,的全体称为,n,维空间,n,维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第,k,个,坐标,.,记作,即,一个,点,当,所有坐标,称该元素为,中的零元,记作,O.,的,距离,记作,中点,a,的,邻域,为,规定为,与,零元,O,的距离为,二、多元函数的概念,引例,:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义,1.,设非空点集,点集,D,称为函数的,定义域,;,数集,称为函数的,值域,.,特别地,当,n,=2,时,有二元函数,当,n,=3,时,有三元函数,映射,称为定义,在,D,上的,n,元函数,记作,例如,二元函数,定义域为,圆域,说明,:,二元函数,z=f,(,x,y,),(,x,y,),D,图形为中心在原点的上半球面,.,的图形一般为空间曲面,.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面,.,单位闭球,三、多元函数的极限,定义,2.,设,n,元函数,点,则称,A,为函数,(,也称为,n,重极限,),当,n,=2,时,记,二元函数的极限可写作：,P,0,是,D,的聚,若存在常数,A,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,例,1.,设,求证：,证,:,故,总有,要证,例,2.,设,求证：,证：,故,总有,要证,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解,:,设,P,(,x,y,),沿直线,y,=,k x,趋于点,(0,0),在点,(0,0),的极限,.,则可以断定函数极限,则有,k,值不同极限不同,!,在,(0,0),点极限不存在,.,以不同方式趋于,不存在,.,例,3.,讨论函数,函数,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在,.,二重极限,不同,.,如果它们都存在,则三者相等,.,例如,显然,与累次极限,但由,例,3,知它在,(0,0),点二重极限不存在,.,四,、,多元函数的连续性,定义,3,.,设,n,元函数,定义在,D,上,如果函数在,D,上,各点处,都连续,则称此函数,在,D,上,如果存在,否则称为,不连续,此时,称为,间断点,.,则称,n,元函数,连续,.,连续,例如,函数,在点,(0,0),极限不存在,又如,函数,上间断,.,故,(0,0),为其间断点,.,在圆周,结论,:,一切多元初等函数在定义区域内连续,.,定理,：,若,f,(,P,),在有界闭域,D,上连续,则,在,D,上可取得最大值,M,及最小值,m,;,(3),对任意,(,有界性定理,),(,最值定理,),(,介值定理,),闭域,上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质,:,解,:,原式,例,4,.,求,例,5.,求函数,的连续域,.,解,:,内容小结,1.,区域,邻域,:,区域,连通的开集,2.,多元函数概念,n,元函数,常用,二元函数,(,图形一般为空间曲面,),三元函数,有,3.,多元函数的极限,4.,多元函数的连续性,1),函数,2),闭域上的多元连续函数的性质,:,有界定理,;,最值定理,;,介值定理,3),一切多元初等函数在定义区域内连续,P61,题,2;5(3),(5)(,画图,);8,P130,题,3;4,思考与练习,解答提示,:,P62,题,2.,称为二次齐次函数,.,P63,题,5(3).,定义域,P63,题,5(5).,定义域,P63,题,8.,间断点集,P130,题,3.,定义域,P130,题,4.,令,y=k x,，,若令,则,可见极限,不存在,Ex:,1.,设,求,解,令,3.,证明,在全,平面连续,.,证,:,为,初等函数,故连续,.,又,故,函数在全平面连续,.,由,夹逼准则得,内容小结,1.,区域,邻域,:,区域,连通的开集,2.,多元函数概念,n,元函数,常用,二元函数,(,图形一般为空间曲面,),三元函数,有,3.,多元函数的极限,4.,多元函数的连续性,1),函数,2),闭域上的多元连续函数的性质,:,有界定理,;,最值定理,;,介值定理,3),一切多元初等函数在定义区域内连续,