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单击此处编辑母版标题样式,33 函数的极值与最值,案例研究,案例3.3.1,易拉罐的设计：企业在设计易拉罐时，为了用最小的成本获得最大的利润，需要考虑在体积一定的情况下用料最省的问题.测量一个你身边的易拉罐，分析它的设计是否达到了企业的期望，如果没有达到，请你改进.,案例3.3.2,面包价格的确定：某职业院校为了培养学生的创业能力，鼓励毕业学年的学生在校园里开展各,种营销活动.为了探索创业途径，学生蔡明利用业余时间在学院内的一家面包销售点打工.经过一段时间统计，他发现某种面包以每块2元的,价格销售时，每天能卖掉500块；若价格每提高1角，每天就会少卖掉10块,.,另外，面包点每天的固定开销为40元，每块面包的成本为1.5元,.,此后，蔡明决定独自经营该面包销售点,.,问：蔡明怎样确定面包的价格，才能使获得的利润最大？,抽象归纳,在生产实际中，往往遇到求在一定条件下怎样使材料最省，或成本最低，或投资最少，或效益最高等方面的问题.它们在数学上，都可以归结为求函数的最大值和最小值问题.,函数的极值,讨论：,观察图中,处函数值情况，它们,有何特点？,极值的定义,设函数,在区间（,a,，,b,）内有定义，,是（,a,，,b,）内的一个点,.,若对于点,左右近旁内的任,何点,x,（,），都有,则称,是函数,的一个,极大值,，,点,叫做,的一个,极大值点,；,若对于点,左右近旁内的任何点,x,（,），都有,则称,是函数,的一个,极小值,，,点,叫做,的一个,极小值点,.,函数的极大值与极小值统称为,极值,，使函数取得极值的点称为,极值点,.,极值的必要条件,若,函数,在点,可导，且在,点,取得极值，则函数在点,的导数,使函数的导数为零的点叫做,函数的驻点,（或,稳定点,）.,讨论,：可导函数的驻点一定是它的极值点吗？试举例说明.,讨论：,若函数在某点连续，但没有导数，函数在该点可以取极值吗？,结论,函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点,取得,.,问：,极值存在的充分条件是什么？,极值的第一充分条件,设函数,在点,处连,续，在点,的左右近旁可导,.,极大值,.,（1）若当,x,取,左侧邻近的值时，,当,x,取,右侧邻近的值时，,则函数,在点,取得,极小值,.,（2）若当,x,取,左侧邻近的值时，,当,x,取,右侧邻近的值时，,则函数,在点,取得,（3）若当,x,取,左右两侧邻近的值时，,不改变,符号，则函数,在点,没有极值,.,证,当,x,取,左侧邻近的值时，,根据函,数单调性的判定法，函数,在,左侧邻近是单调,增加的，所以,当,x,取,右侧邻近的值时，,函数,在,右侧邻近是单调减少的，所,以,因此，,是,的一个极大值,.,类似地，可证明（2）和（3）,.,例1,求函数,的极值,.,解,（1）求定义域：,（2）求导：,令,得驻点,（3）列表讨论：,2,（2，1）,1,+,0,0,+,极大值,21,极小值,6,例2,求函数,的极值,.,解,（1）求定义域：,（2）求导：,令,得驻点,（3）列表讨论：,x,1,（1，0）,0,（0，1）,1,0,0,+,0,+,极小值0,例3,求函数,的极值,.,解,（1）求定义域：,（2）求导：,令,得驻点,当,时，导数不存在,.,（3）列表讨论：,x,0,（0，1）,1,+,不存在,0,+,极大值0,极小值,讨论,：,（1）若,为极值，则,的符号是正,还是负？,极值的第二充分条件,在点,处具有,设函数,二阶导数且,（1）若,则函数,在,处取得极小值,.,（2）若,则函数,在,处取得极大值,.,讨论,当,且,时，,为极,值吗？试举例说明,.,例4,求函数,在区间,上的极值,.,解,令,得,又,函数的最大值和最小值,讨论,若函数,在,a,，,b,上连续，则其最大值和,最小值只能在何处取得？,结论,只能在驻点、导数不存在的点和端点取得.,求最值的步骤：,（1）求函数,的导数，并求出所有的驻点和导,数不存在的点,.,（2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值,.,（3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是,在闭区间,a,，,b,上的最大值，最小的就是最小值,.,例5,求函数,在闭区间,上的最大值和最小值,.,解,（1）求导数：,令,（2）求端点及各驻点的函数值：,（3）比较：最大值,最小值为,讨论,结合下图讨论：若函数在开区间（,a,，,b,）内只有惟一极大（小）值，是否该极大（小）值必是最大（小）值？,案例3.3.1的解,设易拉罐的底面圆半径为,r,，高为,h,，表面积为,S,，体积为,V,（定值），则根据立体几何，得,于是，得,求导，得,对,S,关于,r,求二阶导数，得,因为,所以,S,在点,处取得,极小值.又在区间,函数只有惟一驻点，所以函数,S,在该点取得最小值,.,将,代入,中，得,于,是，得,这就是说，当其底面圆半径与高之比为,1:2时，用料最省,.,案例3.3.2的解,设,x,为每天的销售价格，,y,为每天,销售的块数，,P,为每天的利润.据题意，当,时，,于是，得,解得,每日的收入：,每日的成本是：,每日的利润是：,将,代入上式，得,求导：,求二阶导数：,因为,所以,在,x,=4.25 取得极大,值.又在区间,内只有惟一驻点，所以,在点,x,=4.25处必取得最大值，且最大值为,答：面包的价格定为4.25元/块时，才能获得最大利,润，且最大利润为716.25元,.,小结：,1极值的必要条件；,2极值的充分条件：,（1）第一充分条件；,（2）第二充分条件,.,3函数的最值：,（1）求最值的步骤；,（2）应用题中求最值的方法,.,
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