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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第三节圆的方程,1,总纲目录,教材研读,1.,圆的定义,考点突破,3.,圆的标准方程,考点二与圆有关的最值问题,考点一求圆的方程,考点三与圆有关的轨迹问题,4.,圆的一般方程,5.,点与圆的位置关系,2,1.圆的定义,在平面内,到,定点,的距离等于,定长,的点的,集合,叫做,圆.,教材研读,3,2.,确定一个圆最基本的要素是,圆心,和,半径,.,4,3.圆的标准方程,(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,(,r,0),其中,(,a,b,),为圆心,r,为半径.,5,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0表示圆的充要条件是,D,2,+,E,2,-4,F,0,其中圆心为,半径,r,=,.,4.圆的一般方程,6,5.点与圆的位置关系,点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,点为(,x,0,y,0,),(1)点在圆上:,(,x,0,-,a,),2,+(,y,0,-,b,),2,=,r,2,;,(2)点在圆外:,(,x,0,-,a,),2,+(,y,0,-,b,),2,r,2,;,(3)点在圆内:,(,x,0,-,a,),2,+(,y,0,-,b,),2,r,2,.,7,1.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是,(),A.(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=1B.(,x,+1),2,+(,y,+1),2,=1,C.(,x,+1),2,+(,y,+1),2,=2D.(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=2,D,答案,D由题意得圆的半径为,故该圆的方程为(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=2,故,选D.,8,2.圆,x,2,+,y,2,-4,x,+6,y,=0的圆心坐标是,(),A.(2,3)B.(-2,3),C.(-2,-3)D.(2,-3),D,答案,D圆的方程可化为(,x,-2),2,+(,y,+3),2,=13,所以圆心坐标是(2,-3).,9,3.点(2,a,a,-1)在圆,x,2,+(,y,-1),2,=5的内部,则,a,的取值范围是,(),A.-1,a,1B.0,a,1,C.-1,a,D.-,a,1,D,答案,D由(2,a,),2,+(,a,-2),2,5得-,a,0,即3,a,2,+4,a,-40,所以-2,a,0),则圆心坐标为,.,由题意可得,消去,F,得,解得,代入求得,F,=-12,所以圆的方程为,x,2,+,y,2,+6,x,+4,y,-12=0,即(,x,+3),2,+(,y,+2),2,=25.,16,典例3,已知圆,C,与直线,y,=,x,及,x,-,y,-4=0都相切,且圆心在直线,y,=-,x,上,则圆,C,的方程为,.,命题方向三由直线与圆相切求圆的方程,(,x,-1),2,+(,y,+1),2,=2,答案,(,x,-1),2,+(,y,+1),2,=2,解析,x,-,y,=0和,x,-,y,-4=0之间的距离为,=2,所以圆的半径为,.又因,为,y,=-,x,与,x,-,y,=0,x,-,y,-4=0均垂直,所以由,y,=-,x,和,x,-,y,=0联立得交点坐标为(0,0),由,y,=-,x,和,x,-,y,-4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),故圆,C,的方程为(,x,-1),2,+(,y,+1),2,=2.,17,1.求圆的方程的两种方法,(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.,(2)待定系数法:若已知条件与圆心(,a,b,)和半径,r,有关,则设圆的标准方,程,依据已知条件列出关于,a,b,r,的方程组,从而求出,a,b,r,的值;,若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据,已知条件列出关于,D,E,F,的方程组,进而求出,D,E,F,的值.,方法技巧,2.确定圆心位置的方法,(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;,(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;,(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.,18,1-1,若不同的四点,A,(5,0)、,B,(-1,0)、,C,(-3,3)、,D,(,a,3)共圆,则,a,的值为,.,7,答案,7,解析,设过,A,、,B,、,C,三点的圆的方程为,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,分别代入,A,、,B,、,C,三点坐标,得,解得,19,所以,A,、,B,、,C,三点确定的圆的方程为,x,2,+,y,2,-4,x,-,y,-5=0.,因为,D,(,a,3)也在此圆上,所以,a,2,+9-4,a,-25-5=0.,所以,a,=7或,a,=-3(舍去).,即,a,的值为7.,20,1-2,经过点,A,(5,2),B,(3,-2),且圆心在直线2,x,-,y,-3=0上的圆的方程为,.,(,x,-2),2,+(,y,-1),2,=10,答案,(,x,-2),2,+(,y,-1),2,=10,解析,设圆的方程为(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,(,r,0),则,解得,故圆的方程为(,x,-2),2,+(,y,-1),2,=10.,21,解法三:设圆的方程为,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0(,D,2,+,E,2,-4,F,0),则,解得,所求圆的方程为,x,2,+,y,2,-4,x,-2,y,-5=0,即(,x,-2),2,+(,y,-1),2,=10.,22,1-3,圆心在直线,y,=-4,x,上,且与直线,l,:,x,+,y,-1=0相切于点,P,(3,-2),则圆的标,准方程为,.,(,x,-1),2,+(,y,+4),2,=8,答案,(,x,-1),2,+(,y,+4),2,=8,解析,设所求方程为(,x,-,x,0,),2,+(,y,-,y,0,),2,=,r,2,根据已知条件得,解得,因此所求圆的方程为(,x,-1),2,+(,y,+4),2,=8.,23,考点二与圆有关的最值问题,命题方向,命题视角,截距型最值问题,转化为直线在坐标轴上的截距问题,斜率型最值问题,转化为直线斜率的最值,利用直线与圆的位置关系求解,距离型最值问题,转化为两点间的距离或点到直线的距离求解,圆的对称性与最值,利用圆的对称性转化,求最值,24,典例4,已知实数,x,y,满足方程,x,2,+,y,2,-4,x,+1=0,求,y,-,x,的最大值和最小值.,命题方向一截距型最值问题,解析,y,-,x,可看作直线,y,=,x,+,b,在,y,轴上的截距,当直线,y,=,x,+,b,与圆相切时,纵,截距,b,取得最大值或最小值(如图),此时,=,解得,b,=-2,.,所以,y,-,x,的最大值为-2+,最小值为-2-,.,25,典例5,已知实数,x,y,满足方程,x,2,+,y,2,-4,x,+1=0,求,的最大值和最小值.,命题方向二斜率型最值问题,解析,原方程可化为(,x,-2),2,+,y,2,=3,即以(2,0)为圆心,为半径的圆.,的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,设,=,k,即,y,=,kx,.当直线,y,=,kx,与圆相切时,斜率,k,取最大值或最小值(如图),此时,=,解得,k,=,.,所以,的最大值为,最小值为-,.,26,典例6,已知实数,x,、,y,满足方程,x,2,+,y,2,-4,x,+1=0,求,x,2,+,y,2,的最大值和最小值.,命题方向三距离型最值问题,解析,如图所示,x,2,+,y,2,表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何,知识知,其在原点和圆心连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值和,最小值.,易得圆心到原点的距离为2,所以,x,2,+,y,2,的最大值是(2+,),2,=7+4,x,2,+,y,2,的最小值是(2-,),2,=7-4,.,27,典例7,(1)光线从点,A,(-3,3)射到,x,轴上的点,P,后反射,反射光线与圆(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=2有公共点,B,则|,AP,|+|,PB,|的最小值为,.,命题方向四圆的对称性与最值,(2)已知,A,(0,2),点,P,在直线,x,+,y,+2=0上,点,Q,在圆,C,:,x,2,+,y,2,-4,x,-2,y,=0上,则|,PA,|+,|,PQ,|的最小值是,.,28,答案,(1),(2)2,解析,(1)设圆(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=2的圆心为,C,半径为,r,A,关于,x,轴的对称点为,A,则,C,(1,1),A,(-3,-3),则|,AP,|+|,PB,|的最小值为=,=,.,(2)因为圆,C,:,x,2,+,y,2,-4,x,-2,y,=0,故圆,C,是以,C,(2,1)为圆心,半径,r,=,的圆.,设点,A,(0,2)关于直线,x,+,y,+2=0的对称点为,A,(,m,n,),故,解得,故,A,(-4,-2).,连接,A,C,交圆,C,于,Q,(图略),由对称性可知|,PA,|+|,PQ,|=|,A,P,|+|,PQ,|,|,A,Q,|=,|,A,C,|-,r,=2,.,29,规律总结,与圆有关的最值问题的四种常见转化法,(1)形如,=,形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.,(2)形如,t,=,ax,+,by,形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.,(3)形如(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平,方的最值问题.,(4)形如|,PA,|+|,PQ,|形式的与圆有关的折线段问题(其中,P,Q,均为动点),要,立足两点:减少动点的个数.“曲化直”,即折线段转化为同一直线,上的两线段之和,一般要通过对称性解决.,30,2-1,已知点,A,(-1,0),B,(0,2),点,P,是圆(,x,-1),2,+,y,2,=1上任意一点,则,PAB,面,积的最大值与最小值分别是,(),A.2,(4-,)B.,(4+,),(4-,),C.,4-,D.,(,+2),(,-2),B,31,答案,B由题意知|,AB,|=,l,AB,:2,x,-,y,+2=0,由题意知圆心坐标为(1,0),圆心到直线,l,AB,的距离,d,=,=,=,.,S,PAB,的最大值为,=,(4+,),S,PAB,的最小值为,=,(4-,).,32,2-2,设,P,为直线3,x,-4,y,+11=0上的动点,过点,P,作圆,C,:,x,2,+,y,2,-2,x,-2,y,+1=0的两,条切线,切点分别为,A,B,则四边形,PACB,的面积的最小值为,.,答案,解析,圆的标准方程为(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=1,圆心为,C,(1,1),半径,r,=1,根据对称,性可知,四边形,PACB,的面积为2,S,APC,=2,|,PA,|,r,=|,PA,|=,要使四,边形,PACB,的面积最小,则只需|,PC,|最小,最小时为圆心到直线,l,:3,x,-4,y,+11,=0的距离,d,=,=,=2.所以四边形,PACB,面积的最小值为,=,=,.,33,典例8,已知圆,x,2,+,y,2,=4上一定点,A,(2,0),B,(1,1)为圆内一点,P,、,Q,为圆上,的动点.,(1)求线段,AP,中点的轨迹方程(,P,与,A,不重合);,(2)若,PBQ,=90,求线段,PQ,中点的轨迹方程.,考点三与圆有关的轨迹问题,34,解析,(1)设,AP,的中点为,M,(,x,y,),由中点坐标公式可知,P,点坐标为(2,x,-2,2,y,),因为,P,点在圆,x,2,+,y,2,=4上,所以(2,x,-2),2,+(2,y,),2,=4,故线段,AP,中点的轨迹方程为(,x,-1),2,+,y,2,=1,且,x,2.,(2)设,PQ,的中点为,N,(,x,y,),连接,BN,.,在Rt,PBQ,中,PN,=,BN,.,设,O,为坐标原点,连接,ON,则,ON,PQ,所以,OP,2,=,ON,2,+,PN,2,=,ON,2,+,BN,2,所以,x,2,+,y,2,+(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=4.,故线段,PQ,中点的轨迹方程为,x,2,+,y,2,-,x,-,y,-1=0.,35,规律总结,求与圆有关的轨迹方程的方法,36,3-1,已知直角三角形,ABC,的斜边为,AB,且,A,(-1,0),B,(3,0).求:,(1)直角顶点,C,的轨迹方程;,(2)直角边,BC,的中点,M,的轨迹方程.,解析,(1)设,C,(,x,y,),因为,A,B,C,三点不共线,所以,y,0.,因为,AC,BC,所以,k,AC,k,BC,=-1,又,k,AC,=,k,BC,=,所以,=-1,化简,得,x,2,+,y,2,-2,x,-3=0.,因此,直角顶点,C,的轨迹方程为,x,2,+,y,2,-2,x,-3=0(,y,0).,(2)设,M,(,x,y,),C,(,x,0,y,0,),因为,B,(3,0),M,是线段,BC,的中点,由中点坐标公式得,x,=,y,=,所以,x,0,=2,x,-3,y,0,=2,y,.,由(1)知,点,C,的轨迹方程为(,x,-1),2,+,y,2,=4(,y,0),将,x,0,=2,x,-3,y,0,=2,y,代入得(2,x,-,4),2,+(2,y,),2,=4,即(,x,-2),2,+,y,2,=1(,y,0).,因此动点,M,的轨迹方程为(,x,-2),2,+,y,2,=1(,y,0).,37,
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