2.4镜像法求解静电场

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 四 节,镜 象 法,求 解 静 电 场,(Method of Images),课的类型,：,讲授课,教学目的：,学习一种求解静电场的特殊方法,镜像法（简洁明了）,教学方法,：,讲解法,重点：,用镜像法求解静电场。,难点：,确定像电荷的数目、每个像电荷的电量的大小与位置。,一、相关内容回顾,四、总结与讨论,三、镜像法应用举例,二、镜像法求解静电场的基本思想,唯一性定理给出静电场可以唯一求解的条件。,、相关内容回顾,唯一性定理：,在可均匀分区的区域,V,内给定自由电荷分布,，,区域,V,内的电场由,V,的边界,S,上的电势或者电势法向导数唯一地确定。,如果,V,内含有导体区域，将导体表面视为边界面。如果不是给定导体边界上的电势或者电势法向导数，而是给定每个导体上的总电荷，唯一性定理同样成立。这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。,（,1,）分离变量法,（,）,（,2,）镜象法（,?,）,（,3,）格林函数法（,?,）,（,4,）多极矩展开法（,?,）,静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程的解。主要方法有四种：,分离变量法：,适用于所考虑的区域内没有自由电荷分布的情况，求解拉普拉斯方程。,镜像法适用范围？,a),所求区域内有少许几个点电荷,;,b),导体边界面形状比较规则，具有,一定对称性,;,c),给定边界条件。,1.,镜像法概念,二、镜象法求解静电场的基本思想,用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷叠加给出空间电势分布。这种等效电荷称为,镜像电荷,，这种求解方法称为,镜像法,。,2.,镜象法的理论依据,唯一性定理是镜像法的理论依据。,3.,镜象法的基本思想,在求解区域之外引入像电荷取代感应电荷，但不改变求解区域的边值关系和边界条件。,三、镜象法应用举例,例,1,接地无限大平面导体板附近有一点电荷,Q,，,求空间中的电势。,解：,电荷,：一个点电荷,界面,：接地无穷大导体,区域,：上半空间（下半空间电势为零）,已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。,上半空间电势特征：,导体表面是等势面,电场线垂直于导体表面,点电荷,Q,使导体表面产生异号的感应电荷,Q,。,整个电场是由,Q,和,Q,共同产生的。,Q,Q,/,P,z,从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间,z,轴上。,Q,和,a,如何确定？,舍去正号解？,Q,接地导体外有一点电荷的电势分布图,例,2,真空中有一半径为,R,0,的接地导体球，距球心为,a,（,a,R,0,）,处有一点电荷,Q,，,求空间各点的电势（如图）。,解：,电荷：,一个点电荷,界面：,导体球面,区域：,球面外区域,已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。,点电荷,Q,使导体表面产生异号的感应电荷,Q,。,整个电势是由,Q,和,Q,共同产生的。,（,1,）根据对称性分析，假想电荷应在圆心和点电荷的连线上，即极轴上。,球坐标系,P,R,O,Z,和 如何确定？,（,2,）由边界条件确定,任意，可得,解取,？,点电荷和接地导体球之间电场线示意图,？,讨论,：,导体球接地后，感应电荷总量不为零？,球面感应电荷分布,（,4,）若导体不接地，电势不为零，,该怎么分析？,（,5,）若导体不接地，导体上带上自由电荷，又如何分析？,（,6,）点电荷和导体球之间的相互作用力，如何求解,?,根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题；,在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，保持求解区域电荷分布不变；,引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和边界条件。,1,、镜象法的基本要领,四、总结与讨论,两种方法都是根据边值关系和边界条件进行求解；,可解的条件都是唯一性定理所要求的分区均匀介质和边界条件。,2,、与分离变量法比较,共同点：,不同点：,求解区域没有（或,者经过变换没有）,自由电荷分布,求解区域有一个,或者几个自由点,电荷,分离变量求解拉普拉斯方程,求解区域之外引入象电荷取代感应电荷,分离变量法,镜象法,电荷分布,具体方法,