计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件

四川大学数学学院,徐小湛,May 2012,柱 壳 法,Shell Method,柱 壳 法,柱壳法,是计算,xOy,坐标面上的图形绕,y,轴旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微积分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫,Shell Method）,。,柱壳法的思路,是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得到旋转体的体积。,柱壳法的方便之处：,虽然图形是绕,y,轴旋转，但是柱壳法却是沿,x,轴积分。这样做有时会给我们的计算带来极大的便利。,柱壳法 是计算 xOy 坐标面上的图形绕 y 轴旋转所得旋转,设,由曲线,y,=,f,(,x,),y,=0,x,=,a,x,=,b,所围成的曲边梯形,绕,y,轴旋转一周,，得一旋转体。,求旋转体的体积,V,。,设由曲线 y=f(x),y=0,x=a,x=b 所,用以下方法求体积元素：,体积元素是一层柱壳的体积的近似值,用以下方法求体积元素：体积元素是一层柱壳的体积的近似值,柱壳,柱壳半径,柱壳的高,度,柱壳的厚,度,体积元素是一层柱壳的体积的近似值,柱壳法,柱壳柱壳半径柱壳的高柱壳的厚体积元素是一层柱壳的体积的近似值,计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件,柱壳法示意图,柱壳法示意图,柱壳法示意图动画,柱壳法示意图动画,计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件,解,例,求,与,x,轴所围成的图形分别绕,x,轴和,y,轴所得的旋转体的体积。,同济大学高等数学（第六版）286页20题。,解例求与 x 轴所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴所得的旋,用“圆片法”求绕,x,轴的旋转体体积：,用“圆片法”求绕 x 轴的旋转体体积：,计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件,用“柱壳法”求绕,y,轴的旋转体体积：,用“柱壳法”求绕 y 轴的旋转体体积：,计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件,例,求摆线,与,x,轴所围成的图形,绕,y,轴,所得的旋转体的体积。,例 求摆线与 x 轴所围成的图形绕 y 轴所得的旋转体的体,用“柱壳法”求图形,绕,y,轴,所得的旋转体的体积。,2010.4.7,用“柱壳法”求图形绕 y 轴所得的旋转体的体积。2010.,附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介绍,附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介绍,Volumes by Cylindrical Shells,美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍,Volumes by Cylindrical Shells美,计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件,计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件,计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件,计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件,同济大学高等数学（第六版）286页,在一道习题中要求学生推导“柱壳法”。,同济大学高等数学（第六版）286页,计算旋转体体积的“柱壳法”教学课件,