第四章_n维向量B

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩阵,A,的秩就是,A,中非零子式的最高阶数,(,克莱姆法则,),如果线性方程组,:,的系数行列式,则此线性方程组有唯一解，并且其解可表示为,推论,.,如果齐次线性方程组的系数行列式,则它只有零解,如果齐次线性方程组,有非零解,则它的系数行列式必为零。,第四章,n,维向量,4.1,n,维向量及其线性运算,4.2,向量组的线性相关性,4.3,向量组的秩,4.4,线性方程组解的结构,4.5,n,维向量空间,这一章的学习重点是什么？,向量组线性相关性以及线性方程组解的结构。,这一章的学习内容相应的考点很多，考试相关内容一般要占到卷面分值的,40,左右,。,向量,向量的基本概念及运算,向量组的线性相关性,向量组的秩及极大线性无关组,线性方程组,齐次线性方程组,非齐次线性方程组,4.1,n,维向量及其线性运算,一、,n,维向量的概念,定义,4.1.,n,个有序的数,x,1,x,2, ,x,n,所组成的数组,(,x,1,x,2, ,x,n,),称为,n,维向量，,(1 ,-,2 , 3.1 ,-0.2,),是个,4,维向量，,1,-2,3.1,-0.2,是它的的,4,个分量，例如,3.1,是它的第,3,个分量（或坐标）。,分量全是实数的向量叫做,实向量,，分量是复数的向量叫做复向量。,习惯上向量用小写的希腊字母,、,等表示。,=,(,x,1,x,2, ,x,n,),n,维行向量；,若向量的所有分量都等于,0,，则称该向量为,零向量,，在不引起混淆的情况下，简记为,0.,x,1,x,2,x,n,n,维列向量,;,=,对一个,m,n,矩阵,A=,(,a,ij,),按列分块得,:,例,4.1.,矩阵与向量,A,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n, ,a,m,1,a,m,2,a,mn,=(,a,1,a,2,a,n,),a,1,a,n,a,2,称,a,1,a,2,a,n,为矩阵,A,的列向量组。,同样，若对 矩阵,A,按行分块得：,称,1,2,n,为矩阵,A,的行向量组。,1,2,m,A,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n, ,a,m,1,a,m,2,a,mn,=,例,4.2.,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。,例如：,2,个,3,维列向量所组成的向量组：,构成一个,3,2,矩阵：,2,个,3,维行向量所组成的向量组,构成一个,2,3,矩阵：,二、向量的线性运算,定义,4.2.,设向量,a,=(,x,1,x,2,x,n,),b,= (,y,1,y,2,y,n,),称,a,+,b,=(,x,1,+,y,1,x,2,+,y,2,x,n,+y,n,),为,a,与,b,的,和,；,称,k,a,= (,kx,1,kx,2,k,x,n,),为向量,a,与,k,的,数乘,；,向量的,加法和数乘运算,统称为向量的,线性运算,。,若,x,i,=y,i,(i=1,2,n),则称,向量,a, b,相等,，记作,a,=,b,;,称,(-1),a,为向量,a,的负向量，记作,-a,；,向量的减法为,a - b,=(,x,1,-,y,1,x,2,-,y,2,x,n,-y,n,),；,向量的线性运算满足下列性质：,(2),结合律,:,(,a,+,b,) +,g,=,a,+ (,b,+,g,) ;,(3),a,+,0,=,0,+,a,=,a ;,(4),a,+(-,a,) =,0 ;,(1),交换律：,a,+,b = b,+,a ;,(5),1,a,=,a ;,(6),k,(,l,a,),=,(,kl,),a ;,(7),(,k+l,),a =,k,a +,l,a ;,(8),k,(,a +b,),=,k,a +,k,b .,设,a,、,b,、,g,为,n,维向量,k,l,为实数，则向量的线性运算满足：,例,4.3.,求,x,y,z,使得,(2, -3,4)=,x,(1,1,1)+,y,(1,1,0)+,z,(1,0,0),解：,(2, -3, 4)=(,x,x,x,)+(,y,y, 0)+(,z, 0, 0),解得：,x,=4,y,= -7,z,=5,4.2,向量组的线性相关性,称为向量组,T,的一个,线性组合,k,1,k,2, ,k,m,称为这,个,线性组合的系数,。,给定向量组,T,:,a,1,a,2,.,a,m,，对任何一组实数,k,1,k,2, ,k,m,向量,一、向量组的线性组合,k,1,a,1,+k,2,a,2,+,+k,m,a,m,定义,4.3.,实数,k,1,k,2, ,k,m,使,则称向量,b,是向量组,T,的线性组合或称,向量,b,可由向量组,T,线性表示,。,给定向量组,T,:,a,1,a,2,a,m,和向量,b,如果存在一组,b,= k,1,a,1,+k,2,a,2,+,+k,m,a,m,例,4.4 :,设,那么,线性组合的系数,e,1,e,2,e,3,的,线性组合,一般的，,若记,则任意,n,维向量,b,=,(,b,1, b,2, b,n,),均可表示为,：,称,e,1,e,2, ,e,n,为,n,维单位坐标向量,。,e,1,=(1,0,0),e,2,=(0,1,0),，,，,e,n,=(0,0,1),b,=,b,1,e,1,+,b,2,e,2,+,+,b,n,e,n,例,4.5.,线性方程组与向量,:,可写成矩阵形式：,即系数矩阵可以看成三个列向量：,也可写成向量形式：,方程组有解？,向量 是否能用 线性表示？,方程组是否有解？,向量 是否能用 线性表示？,若方程组有解，则其解,(,x,1,x,2,x,3,),就是表示系数。,方程组有,无穷,解还是,唯一,解？,向量 用 线性表示，是有,无穷,种表示方,法，还是有,唯一,的表示方法？,k,为任意实数。,方程有,无穷,组解,。,向量 用 线性表示，有,无穷,种表示方法。,，,k,为任意实数。,例,4.6.,给定向量组,问,b,能否由,a,1,a,2,a,3,线性表出？若能，求出表示系数。,更一般的：,可写成,线性方程组,即,或,能由,n,个,m,维向量,有解。且表示系数就是该方程组的解 。,定理,4.1.,m,维向量,线性表示的充要条件是非齐次线性方程组,定义,4.4.,给定向量组,a,1,a,2,a,m,(,m,2),如果向量组中至少存在一个向量可以表示为其余向量的线性组合，则称该向量组线性相关,否则称该向量组线性无关。,二、向量组的线性相关性,1.,线性相关的定义,向量组,是线性相关的,规定：由,一个,向量组成的向量组线性相关当且仅当它是,零向量,两个,n,维向量,a,= (,a,1,a,2,a,n,),与,b,=(,b,1,b,2,b,n,),线性相关的充要条件是：,含有零向量的向量组一定线性相关,对应分量成比例,.,向量组,是线性相关的,对向量组,T,:,a,1,a,2,a,n,若存在,T,的部分组线性相关，则向量组,T,一定线性相关。,向量组,也是线性相关的,若向量组,T,线性无关，则,T,的任一部分组必线性无关。,（,1,）向量组,T,线性相关的充要条件是：,2.,向量组的线性相关性的判定定理,定理,4.2.,设,T,:,a,1,a,2,a,m,是由,m,个,n,维的向量组成的向量组，则下列结论成立,（,2,）向量组,T,线性无关的充要条件是：,如果,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,+,k,m,a,m,= 0,则,k,1,=,k,2,=,=,k,m,=0.,存在一组不全为零的数,k,1,，,k,2,，,k,m,使,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,+,k,m,a,m,=0;,（,2,）是（,1,）的逆否命题。,作业：,P,89-90,1(1),3(2),定义：,给定向量组,a,1,a,2,a,m,(,m,2),如果向量组中至少存在一个向量可以表示为其余向量的线性组合，则称该向量组线性相关,否则称该向量组线性无关。,（,1,）向量组,T,线性相关的充要条件是：,定理：,设,T,:,a,1,a,2,a,m,是由,m,个,n,维的向量组成的向量组，则,存在一组不全为零的数,k,1,，,k,2,，,k,m,使,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,+,k,m,a,m,=0;,能由,n,个,m,维向量,有解。且表示系数就是该方程组的解 。,定理：,m,维向量,线性表示的充要条件是非齐次线性方程组,例,4.7.,请问向量组,，,是否线性相关性？,解,:,设,于是我们得到,关于,的方程组,:,解方程组得方程只有零解：,线性无关,注,:,未知数的个数由向量的个数决定,方程的个数由向量的维数决定,方程的系数矩阵由向量构成，每一列是一个向量,.,是,n,维列向量组，矩阵,齐次线性方程组,AX =,0,有非零解,;,线性相关,;,齐次线性方程组,AX =,0,只有零解,;,线性无关,;,存在一组不全为零的数,x,1,，,x,2,，,x,m,使,x,1,a,1,+,x,2,a,2,+,+,x,m,a,m,=0,的系数矩阵为,A,的秩：,齐次线性方程组,方程的秩小于未知数的个数,m,，则方程组有非零解。,方程的秩等于未知数的个数,m,，则方程组只有零解；,（,3,）,R,(,A,),m,.,定理,4.3.,设,是,n,维列向量组，矩阵,则下列命题等价,:,（,2,）线性方程组,AX =,0,有非零解,;,（,1,）,线性相关,;,由定理,4.3,知，可以通过判断以由向量组组成的矩阵为系数矩阵的线性方程组,是否有非零解,来得知向量组,是否线性相关,。,线性方程组,AX =,0,有非零解,线性相关,;,线性方程组,AX =,0,只有零解,线性无关,;,若向量的个数与向量的维数相同，相应的系数矩阵为方阵，判定线性方程组,是否只有零解,可用克莱姆法则。于是：,推论,1.,设,A=,(,a,1,a,2,a,n,),是,n,维列向量组,，则,a,1,a,2,a,n,线性相关,的充要条件是,|,A,|=0,推论,1,.,设,A=,(,a,1,a,2,a,n,),是,n,维列向量组,，则,a,1,a,2,a,n,线性无关,的充要条件是,|,A,|,0,例,4.8.,证明：,n,维单位坐标向量,e,1,e,2, ,e,n,线性无关。,证：,n,维单位坐标向量组构成如下的矩阵：,它是,n,阶单位矩阵。由,|,E,| 0,，知,此向量组线性无关。,已知,是否线性相关？,问：向量组,例,4.9.,1 3 1,2 2 3,3 1 1,=,16,0,故向量组,线性无关。,回顾：我们可以通过判断由向量组组成的矩阵的,秩,与向量组中,向量的个数,之间的大小来得知向量组是否线性相关。,R,(,A,)n,R,(,A,),是否线性相关？,例,4.10.,请问向量组,解：,R,(,A,) 34,故向量组线性相关,.,推论,3.,设,m,个,n,维向量组,a,1,a,2,a,m,线性无关,，则在,每个向量,a,i,上添加,s,个分量后，所得的,m,个,n,+,s,维向量组,b,1,b,2,b,m,仍,线性无关,。,是否线性相关？,例,4.11.,请问向量组,是否线性相关？,故,a,1,a,2,a,3,线性无关,.,，,R(B),R(A)=,3,故,b,1,b,2,b,3,线性无关,.,线性无关，故,R(A)=,m,。添加分量相当于,对矩阵,添加,几个行向量，是不减少矩阵的秩，故,R(B),R(A)=,m.,定理,4.2.,设,T,:,a,1,a,2,a,m,是由,m,个,n,维的向量组成的向量组，,（,2,）向量组,T,线性无关的充要条件是：,如果,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,+,k,m,a,m,= 0,则,k,1,=,k,2,=,=,k,m,=0.,例,4.12.,设向量组,线性无关，且,证明向量组,也线性无关。,证：,设有一组数,x,1,x,2,x,3,使,即,因向量组,线性无关，所以,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解,x,1,=,x,2,=,x,3,= 0,，所以向量组,线性无关。,例,4.13.,已知向量组,a,1,a,2,a,3,线性无关，证明：,a,1,+,a,2,a,2,+,a,3,a,3,+,a,1,也线性无关,.,且表示式是唯一的。,推论,:,设向量组,线性无关，而,线性相关，则向量,必能由向量组,线性表示，,向量组,设向量组,线性相关,向量组,线性无关,能由,线性表出；,不能由,线性表出,.,证明：,(1),(2),4.3,向量组的秩,一、向量组的极大线性无关组与秩,(2),向量组,T,中任意,r+1,个向量,(,如果存在的话,),都线性相关，,定义,4.5.,若向量,组,T,中存在由,r,个,向量组成的向量组,T,0,:,满足,(1),向量组,T,0,:,线性无关；,则称向量组,T,0,:,是向量组,T,的一个极大,1.,向量组的极大线性无关组,线性无关组。,向量组的极大线性无关组的定义中的第二条可以替换为：,(2,/,),向量组,T,中任意,一,个向量都可以被 线性表出。,由定义知，若,T,本身,线性无关，则,T,的极大线性无关组就是它本身。,例,4.14.,求向量组,极大线性无关组。,首先,a,1,线性无关；因为,a,1,，,a,2,对应分量不成比例，所以,a,1,、,a,2,线性无关；因为,1,1,3 1 1,5 0 5,=0,解：,所以,a,1,a,2,a,3,线性相关；,又因为,所以,a,1,a,2,a,4,线性无关,.,于是,a,1,，,a,2,，,a,4,是该向量组的一个极大线性无关组,.,由于,a,1,a,2,a,3,线性相关，故,a,1,a,2,a,3,a,4,线性相关，,类似可得：,a,2,，,a,3,，,a,4,也是该向量组的极大线性无关组,.,由此例可见，一个向量组的极大线性无关组可以是不唯一的，但我们发现其极大线性无关组中所含向量的,个数,是相同的。一般地，有,定理,4.4.,向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一，即一个向量组若有多个不同的极大线性无关组，则它们包含的向量个数相同,定义,4.6.,一个向量组的,极大线性无关组,所含的,向量个数,称为该向量组的,秩,2.,向量组的秩,作业：,P,89-90,5,7.,向量组,A,：,a,1,a,2, ,a,m,线性相关,的充要条件是,:,存在,不全为零,的实数,k,1,k,2, ,k,m,，使得,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+ +,k,m,a,m,=,0,（零向量）,.,向量组,A,：,a,1,a,2, ,a,m,线性无关的充要条件是：,如果,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,+,k,m,a,m,= 0,则,k,1,=,k,2,=,=,k,m,=0.,R,(,A,),m,.,线性方程组,AX =,0,有非零解,;,推论,1.,设,A=,(,a,1,a,2,a,n,),是,n,维列向量组,，则,a,1,a,2,a,n,线性相关,的充要条件是,|,A,|=0,推论,1,.,设,A=,(,a,1,a,2,a,n,),是,n,维列向量组,，则,a,1,a,2,a,n,线性无关,的充要条件是,|,A,|,0,推论,2.,设,m,个,n,维向量组,a,1,a,2,a,m,线性无关,，则在每个向量,a,i,上添加,s,个分量后,所得的,m,个,n,+,s,维向量组,b,1,b,2,b,m,仍,线性无关,.,(2),向量组,T,中任意,r+1,个向量,(,如果存在的话,),都线性相关，,极大线性无关组：,若向量,组,T,中存在由,r,个,向量组成的向量组,T,0,:,满足,(1),向量组,T,0,:,线性无关；,则称向量组,T,0,:,是向量组,T,的一个极大,线性无关组。,秩：,一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩,(2,/,),向量组,T,中任意,一,个向量都可以被 线性表出。,由例,4.14,看到，用定义来求一个向量组的秩是一件很麻烦的事情，相比之下，我们用初等变换的方式求出一个矩阵的秩的方法则简单得多。,如果可以借助求矩阵的秩的方式求向量组的秩，那么无疑可以减少计算量。既然向量与矩阵有如此密切的联系，那么向量组的秩与矩阵的秩也一定有非同寻常的关系。,定义：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；,矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩,.,二 、矩阵的秩与向量组的秩的关系,问题：矩阵的行秩、列秩与矩阵的秩之间有何关系？,为了回答上面的问题，我们需要一个重要结论：,定理,4.5.,矩阵的,行,初等变换不改变矩阵,列向量,组之间的线性关系,的任意部分组,对,(1,t,n,),若有,则必有,反之，若观察到,则必有,换言之，,线性相关,(,线性无关,),线性相关,(,线性无关,),定理,4.5.,的意思如何理解？,设,m,n,矩阵,经过行初等变换化为,矩阵,于是存在可逆矩阵,P,使得,B=PA,即,对任意的,t,(1,t,n,),个列向量,a,k1,a,k2,a,kt,，,证明：,需证明,只需证明：,且,线性无关组；并且，若,若,m,n,矩阵,为,的极大线性无关组，,则,为,对应的,的极大,由定理,4.5,知,b,1,b,2,b,3,b,4,b,5,的极大线性无关组是什么？,b,1,b,2,b,3,b,4,b,5,的极大线性无关组是,b,1,b,2,b,4,.,b,3,b,5,用极大线性无关组,b,1,b,2,b,4,如何线性表出？,关于向量组,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,的有什么结论？,a,1,，,a,2,，,a,4,为向量组的一个极大无关组,，且有,其中,b,1,b,2,b,4,是单位向量,.,b,1,b,5,的构成一个行最简形。,例,4.15.,设向量组,（,1,）求向量组的秩；,（,2,）求向量组的一个极大线性无关组；,（,3,）把其余向量表示成极大线性无关组的线性 组合,.,由于矩阵的,行,初等变换不改变矩阵,列向量组,之间的线性关系,，,故对矩阵进行,行初等变换,变为,行最简形,，对其讨论极大无关组。,解：构造矩阵得：,故,a,1,，,a,2,，,a,4,为向量组的一个极大无关组，,其秩为,3,，即矩阵的列秩为,3,。,非零行的,非零首元,所在的列为,1,2,4,列。,由于,1,2,4,列是三个单位向量，故其他各列可由,1,2,4,列线性表出：,注意：矩阵的秩是非零行的行数，也是,3,，也就是矩阵的秩等于它的列秩。,矩阵的列秩是就是,非零行,的,非零首元,的个数，每行只有一个非零首元，故非零行非零首元的个数就是,非零行的行数,，从而矩阵的列秩等于矩阵的秩。,1,2,4,列是三个单位向量，且这三列正好是非零行的,非零首元,所在的列。,定理,4.6.,矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。,A,的列秩,=,A,的秩,=,A,的行秩,.,求向量组的秩以及最大无关组的方法：,将向量组中的向量作为,列向量,构成一个矩阵，然后进行初等,行,变换，变换为,行阶梯形矩阵,，求出其,秩,找出,极大线性无关组,；进一步化为,行最简形,，把其他向量表示成极大无关组的线性组合。,例,4.16,：已知,试求向量组,a,1,a,2,a,3,的极大无关组,并将其他向量用极大线性无关组表示,解：,可见,a,1,a,2,是向量组,a,1,a,2,a,3,的一个极大线性无关组,且,a,3,= 2,a,1,+,a,2,4.5,线性方程组的解的结构,问题：,什么是线性方程组的解的结构？,所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系,当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构,一、齐次线性方程组,AX=0,解的性质,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,若,满足方程,AX=0,，或者说,x,1,是方程,的解,则,x,1,称为方程组,(4.1),的解向量,.,齐次线性方程组,AX=0,解的性质,（,1,）若 为,AX=0,的解，则,也是,AX=0,的解,.,证明,:,（,2,）若 为,AX=0,的解，,k,为实数，则,也是,AX=0,的解,证明,:,齐次方程组的所有解构成的集合对加法运算、数乘运算封闭，,从而构成一个空间，我们把它叫做解空间。,定义,4.7.,我们称齐次线性方程组的一组解,1,2,s,为该方程组的一个,基础解系,，若满足,:,（,1,）,1,2,s,线性无关；,（,2,）该齐次线性方程组的任意一个解都可以由,1,2,s,线性表示,由定义知，齐次线性方程组的,基础解系,实际上就是该方程组的,解空间,的一个,极大线性无关组,如何求,AX=0,的基础解系呢？,3,线性方程组,A,m,n,X,=0,基础解系的求法,.,例,4.17.,求齐次线性方程组,解,:,对系数矩阵,A,施行初等行变换变为行最简形矩阵：,的基础解系,.,-,2,r,1,+,r,2,-r,1,+r,3,得与原方程组同解的方程组为：,即,系数矩阵的秩为,2,，自由未知量的个数为,4-2.,任意一个解均可表示为,:,称齐次线性方程组的一组解,1,2,s,为该方程组的一个,基础解系,，若满足,:,（,1,）,1,2,s,线性无关；,（,2,）该齐次线性方程组的任意一个解都可以由,1,2,s,线性表示,通解为,:,从而,为一个基础解系。,基础解系中所含的解向量的个数即为自由未知量的个数,.,求解齐次线性方程组,解：,例,4.18.,系数矩阵的秩为,3,，自由未知量的个数为,4-3=1.,即得同解方程组：,得到通解：,其中,k,是任意常数,.,基础解系为：,自由未知量的个数即为基础解系所含解向量的个数,1.,定理,4.7.,设齐次线性方程组,(4.1),的系数矩阵的秩,R(A)=rn,则该方程组必存在基础解系，并且基础解系中所含的解向量的个数即为自由未知量的个数,n-r,.,当,R(A),=,r n,，,n,元齐次线性方程组,AX =,0,的通解为,x = k,1,x,1,+,k,2,x,2,+ +,k,n-r,x,n-r,，,特别地，当,m=n,时，,若,|A| =,0,方程组有无穷个非零解。,当,R(A) = n,时，方程组只有零解；,特别地，当,m=n,时，若,|A|,0,，方程组只有零解；,求解齐次线性方程组,例,4.19.,解：,注：根据方程具体情况，化成能解出解的形式，并非一定是最简形。,得到通解：,基础解系为：,1.,非齐次线性方程组解的性质,二、非齐次线性方程组的解的结构,性质,.,若,h,1,h,2,是非齐次线性方程组,AX =,b,的解，则,h,1,h,2,是对应的齐次线性方程组,AX =,0,的解,证明：,A,(,h,1,h,2,) =,A,h,1,A,h,2,=,b,b,= 0,性质,.,若,h,*,是非齐次线性方程组,AX =,b,的解,x,是,对应的齐次线性方程组,AX =,0,的解，则,x,+,h,*,还,是,AX =,b,的解,证明：,A,(,x,+,h,*,) =,Ax,+,A,h,*,= 0 +,b,=,b,齐次线性方程组,AX=0,有基础解系，非齐次线性方程组有没有基础解系呢？,若,h,1,h,2,是非齐次线性方程组,AX =,b,的解，那么,h,1,+,h,2,是不是该非齐次线性方程组的解呢？,不是！,只有齐次线性方程组,AX=0,才,有基础解系的概念，,非,齐次线性方程组,没有,基础解系的概念！,若,h,*,是,AX =,b,的一个解，,设,R,(,A,) =,r n,，,n,元齐次线性方程组,AX =,0,的通解为,x = c,1,x,1,+,c,2,x,2,+ +,c,n-r,x,n-r,，,则,AX =,b,的,通解,为：,x = c,1,x,1,+,c,2,x,2,+ +,c,n-r,x,n-r,+,h,*,AX =,b,的特解,AX =,0,的通解,以上我们讨论的是当线性方程组,AX =,b,有解时，其解的性质，,问题,是该方程组是不是一定有解呢？,如果不是，什么时候无解，什么时候有解？,作业：,P,90-91,9,13(1),求向量组的秩以及最大无关组的方法：,将向量组中的向量作为,列向量,构成一个矩阵，然后进行初等,行,变换，变换为,行阶梯形矩阵,，求出其,秩,找出,极大线性无关组,；进一步化为,行最简形,，把其他向量表示成极大无关组的线性组合。,定义,4.7.,我们称齐次线性方程组的一组解,1,2,s,为该方程组的一个,基础解系,，若满足,:,（,1,）,1,2,s,线性无关；,（,2,）该齐次线性方程组的任意一个解都可以由,1,2,s,线性表示,当,R(A),=,r n,，,n,元齐次线性方程组,AX =,0,的通解为,x = k,1,x,1,+,k,2,x,2,+ +,k,n-r,x,n-r,，,若,h,*,是,AX =,b,的一个解，,设,R,(,A,) =,r n,，,n,元非齐次齐次线性方程组,AX =,b,的,通解,为：,x = c,1,x,1,+,c,2,x,2,+ +,c,n-r,x,n-r,+,h,*,以上我们讨论的是当线性方程组,AX =,b,有解时，其解的性质，,问题,是该方程组是不是一定有解呢？,如果不是，什么时候无解，什么时候有解？,非齐次线性方程组,AX=,b,有解的充要条件是：,系数矩阵,A,的秩等于增广矩阵的秩，即,定理,4.8,证明：,b,可由,A,的列向量组,a,1,a,2,a,n,线性表出,设方程组,AX=,b,的系数矩阵,A,的秩为,r,不妨设,r,个列向量,a,k1,a,k2,a,kr,是它的一个极大无关组。,向量组,a,k1,a,k2,a,kr,b,与向量组,a,1,a,2,a,r,的秩相等,非齐次线性方程组,AX=,b,有解的充要条件是：,b,可由,A,的列向量组,a,k1,a,k2,a,kr,线性表出,向量组,a,1,a,2,a,n,b,与向量组,a,1,a,2,a,n,的秩相等,方程,AX=,b,有解,线性方程组的解的判定：,包含,n,个,未知数,的齐次线性方程组,AX =,0,有,非零解,的充分必要条件是系数矩阵的秩,R,(,A,) ,n,包含,n,个,未知数,的非齐次线性方程组,AX =,b,有解,的充分必要条件是系数矩阵的秩,R,(,A,) =,R,(,A,b,),，并且,当,R,(,A,) =,R,(,A,b,),=,n,时，方程组有唯一解；,当,R,(,A,) =,R,(,A,b,),n,时，方程组有无限多个解,若方程的未知数的个数,等于,方程的个数，则,|,A,|,0,时，方程组有唯一解；,|,A,|=0,时，,当,R,(,A,) =,R,(,A,b,),时，方程组有无限多个解,，,当,R,(,A,),R,(,A,b,),时，方程无解。,例,4.20.,求解下列非齐次线性方程组,解法一,： （,1,）因为增广矩阵,初等,行变换,R(A)=R(A)=3,(,未知数的个数,),故方程有唯一解：,解,： 因为增广矩阵,R(A)=R(A)=24,故方程有无穷多解。,即为：,原方程组的同解方程组为：,得到原方程组的通解：,(,k,1,k,2,为任意常数,),取,x,2,=k,1,x,4,=k,2,，,令,k,1,=,k,2,=0,即得原方程组的一个特解：,解,： （,3,）因为增广矩阵,初等,行变换,同解方程组为：,因为,2=,R,(,A,),R,(,A,b,)=3,，故方程无解。,下面总结一下求解非齐次线性方程组的方法。,非齐次线性方程组的通解的求法：,（,1,）对系数矩阵,A,的增广矩阵,进行初等行变换，将其化为阶梯阵，,（,2,）分别求出系数矩阵、增广矩阵的秩，若两者,不等,则方程,无解,；若两者,相等,，则把增广矩阵化为,最简形矩阵,，就可以写出其通解。,4.6,n,维向量空间,定义,4.8.,设,V,是,n,维向量的集合，如果,集合,V,非空，,集合,V,对于向量的,加法,和,乘数,两种运算封闭，,若,a,V,b,V,，则,a,+,b,V.,（对加法封闭）,若,a,V,l,R,，则,l,a,V,.,（对乘数封闭）,那么就称集合,V,为,向量空间,定义,4.9.,设有向量空间,V,，如果在,V,中能选出,r,个向量,a,1,a,2, ,a,r,，满足,a,1,a,2, ,a,r,线性无关；,V,中任意一个向量都能由,a,1,a,2, ,a,r,线性表示；,那么称向量组,a,1,a,2, ,a,r,是向量空间,V,的一个,基,数,r,称为向量空间,V,的,维数,，并称,V,为,r,维,向量空间,由齐次线性方程组解的两个性质可知， 的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的,解空间,一般记作,解空间,N(A),的一个极大线性无关组，就是,AX=0,的基础解系,.,解空间,解空间的基,解空间的维数,AX,= 0,的解的集合,基础解系,n,R,(,A,),解向量组,解向量组的最大无关组,解向量组的秩,定义,4.10.,设,a,1,a,2,a,n,是数域,F,上线性空间,V,n,的一组基,任取,a,V,n,则,a,可由,a,1,a,2,a,n,唯一地线性表示,即存在唯一的一组数,x,1,x,2,x,n,F,使得,则称有序数组,为向量,a,在基,下的坐标,.,例,:4.21.,求向量 在基,，,以及 下的坐标。,解,:,设,故,a,在基,b,1, b,2, b,3,下的坐标为,(1,1,1).,P,91,18,请写出理由，如果是基的话，请求出向量 在此基,下的坐标。,作业：,P,90-91,15,