根轨迹法的基本概念课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4-1,根轨迹法的基本概念,4-2,绘制根轨迹的基本法则,4-3,广义根轨迹法,第四章 线性系统的根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-,4-1,根轨迹法的基本概念,4-1 根轨迹法的基本概念,一、根轨迹的概念,根轨迹是,开环系统,的某一参数从零变化到无穷时，,闭环系统,特征方程式的根在,S,平面上变化的轨迹。,一、根轨迹的概念,举例,：,-,令,K*,（由,0,到）变动，,s,1,、,s,2,在,s,平面的移动轨迹即为根轨迹。,举例：-令K*（由0到）变动，s1、s2在s平面的移动轨,根轨迹法的基本概念课件,因此利用,根轨迹,，可以分析系统,稳定性、稳态性能和动态性能。,（,1,）稳定性：根轨迹都在,S,左半平面，闭环系统稳定。,（,2,）稳态性能：,（,3,）动态性能：,0,K,*1,，一对共轭复根，欠阻尼系统；,特征方程的根 运动模态 系统动态响应（稳定性、系统性能）,因此利用根轨迹，可以分析系统稳定性、稳态性能和动态性能。特征,二、根轨迹方程,相角条件,是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足 称为,180,根轨迹。,相角条件：,模值条件：,二、根轨迹方程相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满,4-2,绘制根轨迹的基本法则,4-2 绘制根轨迹的基本法则,一、基本法则,1,、根轨迹的起点和终点：,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有（,n-m),条根轨迹终止于无穷远处。,起点：,终点：,一、基本法则1、根轨迹的起点和终点：,2,、根轨迹的分支数及对称性和连续性,（,1,）根轨迹分支数特征根个数。,（,2,）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对称于实轴。,（,3,）由于,K,*,连续变化，故根轨迹具有连续性。,2、根轨迹的分支数及对称性和连续性,3,、根轨迹的渐近线：,n-m,条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交点和夹角为：,3、根轨迹的渐近线：,4,、实轴上的根轨迹,实轴上某一区域,其右方开环实数的零点数和极点数的总和为奇数，该区域为根轨迹。,4、实轴上的根轨迹实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点,5,、根轨迹的会合点和分离点：,若干根轨迹在复平面上相遇后又分开的点称为,分离点或会合点。,分离点坐标,d,的求解：,证明：,5、根轨迹的会合点和分离点：若干根轨迹在复平,根轨迹法的基本概念课件,若无开环零点，则,：,若无开环零点，则：,注意：,一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；,如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。,如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。,注意：,例题：,单位反馈系统的开环传递函数为,：,试绘制闭环系统的根轨迹,2,、实轴上根轨迹为,-3,-2,，,-1,，,0,3,、求渐近线,：,渐近线与实轴交点为：,渐近线与实轴夹角为：,解：,1,、开环零点,z,1,=-1,，开环极点,p,1,=0,，,p,2,=-2,，,p,3,=-3,，根轨迹分支数为,3,条，有两个无穷远的零点。,例题：单位反馈系统的开环传递函数为：试绘制闭环系统的根轨迹,4,、求分离点：,4、求分离点：,6,、根轨迹的起始角和终止角：,根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处切线与正实轴的夹角：,在离开,p,1,附近的根轨迹上取一点,s,1,则,s,1,点应满足相角条件：,当 时，即为离开根轨迹上 的起始角，则：,6、根轨迹的起始角和终止角：根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复,根轨迹的终止角是根轨迹进入开环复数零点处切线与正实轴的夹角：,根轨迹的终止角是根轨迹进入开环复数零点处切线与正实轴的夹角：,例题：,已知单位反馈系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时,K,*,的取值范围。,2,、渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（,-,，,-2,。,解：,1,、一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。,3,、初始角：,例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹，并求,4,、求分离点：,说明：,由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（,-2,，,j0),，半径为,2,。,4、求分离点：说明：由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的,分离点处，,系统有超调响应时的,K,*,取值范围,。,分离点处，系统有超调响应时的K*取值范围。,7,、根轨迹和虚轴的交点：,（,1,）利用劳思判据,（,2,）将,s=j,代入,D(S)=0,7、根轨迹和虚轴的交点：（1）利用劳思判据,例题：,已知单位反馈系统的开环传递函数为，,试绘制闭环系统的根轨迹。,解：,（,1,）实轴上根轨迹为,(,-,-3,，,-2,，,0,（,2,）渐近线与实轴夹角为,：,渐近线与实轴交点为,：,（,3,）根轨迹与虚轴交点用劳思判据，闭环特征方程为,：,例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为，解：（2）渐近线与实,S,3,1,6,0,S,2,5,S,1,S,0,S316 0S25S1S0,（,4,）求分离点：,（4）求分离点：,8,、根之和,当 时，,8、根之和当 时，,4-3,广义根轨迹法,4-3 广义根轨迹法,一、参数根轨迹,以,非开环增益,K,*,为可变参数的根轨迹，称为参数根轨迹。,闭环特征方程：,等效开环传递函数：,等效开环传递函数求取后，绘制方法与前面相同。,引入等效开环传递函数的概念,注意：,在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。,一、参数根轨迹以非开环增益K*为可变参数的根轨迹，称为参数根,例,题：,求,T,m,从,0 ,时的根轨迹,R,(,s,),(-),C,(,s,),j,0,P,1,P,2,-,K,原系统的闭环特征方程为,T,m,s,2,+,s,+,K,=0,整理可得等效开环传函,或由,s,2,+,s,/,T,m,+,K,/,T,m,=0,得新的特征方程为,s,2,+,(,s,+,K,)/,T,m,=0,则新的等效开环传函为,例题：求Tm从0 时的根轨迹R(s)(-)C(s)j,在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，相角条件满足,2,k,，称为零度根轨迹。,二、零度根轨迹,在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特,幅值条件,相角条件,与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：,模值条件没有变化。,所以零度根轨迹的绘制的规则,只要考虑相角条件,所引起的某些规则的修改。,幅值条件相角条件与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条,法则,3,：,渐近线与实轴交点不变，夹角为,：,法则,4,：,实轴上根轨迹。实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总和为偶数，该区域为根轨迹。,法则,5,：,根轨迹的起始角：,终止角：,零度根轨迹与,180,根轨迹的区别体现在：,1.,实轴上的根轨迹,；,2.,渐近线与实轴的夹角,；,3.,起始角与终止角,。,法则3：渐近线与实轴交点不变，夹角为：法则4：实轴上根轨迹。,解：,（,1,）系统的开环零极点分布为,z,1,=-2,，,p,1,=-1+j,，,p,2,=-1-j,，,p,3,=-3,，有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（,-,，,-3,，,-2,，）。,例题：,设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为,试绘制该回路的根轨迹图。,（,2,）根轨迹的渐近线（,n-m)=2,条，渐近线夹角,解：例题：设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制,（,3,）确定出射角,（,4,）确定分离点,（3）确定出射角（4）确定分离点,（,5,）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为,（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的,1,、附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。,设开环传递函数为,z,1,是附加的开环实数零点，其值可在,s,左半平面内任意选择，当,z,1,时，表明不存在有限零点。,三、附加开环零点的作用,1、附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。z1是附加的开,令,z,1,为不同的数值，对应的根轨迹如图所示：,令z1为不同的数值，对应的根轨迹如图所示：,2,、附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。,结论：,只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。,2、附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系,知识回顾,Knowledge Review,祝您成功！,知识回顾Knowledge Review祝您成功！,