数学物理方法chapt01

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,序言,对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤,利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；,解该数学问题；,将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结 果的物理意义。,数学物理方法,主要内容,第一章、复变函数,第二章、复变函数的积分,第三章、幂级数展开,第四章、留数定理,第五章、傅里叶变换,第六章、拉普拉斯变换,第七章、数学物理定解问题,第八章、分离变数法,第九章、二阶常微分方程级数解法,第十章、球函数,复变函数论,数学物理方程,第一篇 复变函数论,一,.,复数,二,.,复数的表示,三,.,复数的运算,四,.,复变函数,五,.,导数,六,.,解析函数,七,.,平面标量场,第一章 复变函数,复数的引入,需特别指出：可以证明当有三个不同的实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方,(,参考：范德瓦尔登着,代数学,丁石孙译,科学出版社，,1963,年,).,至此，我们明白了这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念,.,卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识,.,“,虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（,Descartes,）正式取定的,.,“,虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外,.,由此给虚数披上了一层神秘的外衣,.,十八世纪，瑞士数学家欧拉,(,Leonhard Euler,，,1707-1783,),试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”,.,他在,对代数的完整性介绍,(1768,1769,年在俄国出版，,1770,年在德国出版,),一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数,.,所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性来说它是不可能的数,.,因为它们只存在于想象之中,.,因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是,Euler,首先引入符号作为虚数单位,.,十八世纪末至十九世纪初，,挪威测量学家,Wessel(,威塞尔,),、瑞士的工程师阿尔甘（,Argand,）以及德国的数学家高斯（,Gauss,）等都对“虚数”,(,也称为“复数”,),给出了几何解释，并使复数得到了实际应用,.,特别地,在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（,Cauchy,，,1789,1857,）、维尔斯特拉斯（,Weierstrass,，,1815,1897,）、黎曼（,Rieman,，,1826,1866,）,.,柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论,.,1.1,复数的概念,复数的无序性,实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较大小，即复数是无序的,.,复数的相等,如果,且,则,复数的共轭,1.2,复数的表示,1.2.1,复数的几何表示,复数平面,(1),直角坐标表示法,:,在坐标平面,xoy,上,用点,(,x,y,),表示复数,x,y,复矢量,xoy,复平面,例,:,将 用代数式,三角式和指数式表示出来,2,复数的几何表示,-,复数球面,p,p,复平面上的点复数球面上的点存在一一对应关系,1.3,复数的运算,1.,四则运算,两条基本规则,a,代数运算规则,b,复数的四则运算也满足交换律、结合律和分配律。,2,复数的乘幂与方根,两个复数相乘，其模等,于它们模的乘积，其辐角等于它们辐角的和,.,复数的乘幂,复数的方根,例,1,求,的根,例,2,将,与,表达为,与,的幂,例,3,试确定不等式,所确定的点集是什么图形？,1.4,复变函数,1.4.1,复变函数的定义,若在复数平面,(,或复数球面,),上存在一个点集,E,对于,E,的每一点,(,每一个,z,值,),按照一定的规律有一个或多个复数值,与之相对应,则称,为,z,的函数,-,复变函数,.z,称为,的宗量记做,比较 实变函数,区别,a:,自从有了复变函数论，实数领域中的 禁 区或不能解释的问题，比如：,负数不能开偶数次方；,负数没有对数；,指数函数无周期性；,正弦、余弦函数的绝对值不能超过,1,；,等已经不复存在,.,b,:,实变函数可以用几何图形表示出来,;,复变函数不能通过同一平面或同一空间上的几何 图形表示出来,它的几何意义是两个复平面上点集之间的对应,(,z,平面到,w,平面的一种映射,),例,:,试研究复变函数,将,z,平面的下列曲线变成,平面上的曲线,1.,双曲线,2.,倾角,的直线,1.4.2,区域的概念,内点,z,0,z,0,外点,z,0,境界点,区域严格,的定义是,同时满足下列两个条件的点集：,(i),全由内点组成；,(ii),具有连通性 即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来且折线的点全都属于该点集；区域可用,B,表示,注,：通常所谓某区域是连通的，即指,B,中任何两点都可以用完全属于,B,的一条折线连接起来,z,1,z,2,闭区域,：,区域,B,及境界线组成的点集称为闭区域，用,表示,注：若无特殊声明区域仅包含内点，不含境界点，区域指的是开区域,区域,B,边界闭区域,1.4.3,复变函数的例子,多项式,为正整数,有理分式,为正整数,根式,初等函数定义式,上述极限值的存在和相等和,的路径无关,1.5,导数,设函数,是,定义于区域 上的单值函数，若,在 上的某点 极限 存在,，,且与 的方式无关,则称函数 在点,可导，此极限值称为 在点 的,导数,，记为,或,即,1.5.1,求导公式,1.5.2,柯西黎曼条件（,C,R,条件）,复变函数可导的必要条件,复变函数可导的充分必要条件,函数 的偏导数,存在，且连续，并且满足,C-R,条件,1.6,解析函数,若函数 在点 及其邻域上处处可,导，则称 在点 解析,若函数 在区域,D,上的每一点都解析，则称 是区域,D,上的解析函数,1.6.1,复变函数在某点解析,某点可导,某点极限存在,某点连续,如何判断一个函数是否解析,函数 在,D,内解析的充要条件：,a:,及 在,D,内处处可微,b:,及 在,D,内处处满足,C-R,条件,1.6.2,解析函数与调和函数的关系,调和函数,：如果在区域,B,内的实变函数 具有二阶连续偏导数且满足,laplace,方程,则称 为区域,D,内的调和函数，其中,是,laplace,算符,2,共轭调和函数,：,如果两个实函数 及 均为区域,D,内的调和函数且又满足,C-R,条件，则称 为 的共轭调和函数,3,解析函数，调和函数 及共轭调和函数之间的关系,若 在区域,B,内解析，由,C,R,条件,同理,由于 和 满足,C-R,条件，所以 为 的共轭调和函数,解析函数的两个重要特性,a:,b:,已知一个调和函数，要求构成一个解析函数的方法,不定积分法,(,推荐,),曲线积分法,全微分法,1.7,平面标量场,1.,平面静电场,:,无源,复势,电势,？,通量函数,2.,平面无旋液流,梯度的旋度,0,速度表示为速度势 的梯度,复势,速度势,流量函数,3.,平面温度场,均匀物体中的稳定的温度分布,复势,温度分布,热流量函数,