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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,说明,B,的每一列都是齐次线性方程组,AX=,0,的一个解,.,*,例4,A,为一子,块,尤其要注意 时的特殊情况,:,1,的不同理解,:,例5,2,本节内容提要,利用,分块矩阵的初等变换求秩,分块矩阵的初等变换,2.8,分块矩阵的初等变换,分块初等阵,3,对分块矩阵也可以引进初等变换和,初等矩阵的概念,.,分块矩阵,关于子块的,一次初等变换,可以看作是关于,元素,的,一批初等变换,的合成,.,我们只以分成,4,块,的情况简单解释,.,设,2.8.1,分块矩阵的初等变换,4,定义,下面三种针对分块矩阵,M,的变形,统称为分块矩阵的初等变换,:,初等,行,变换,初等,列,变换,(,1),换法,:,(,2),倍法,:,(,3,),消法,:,这里要假定运算满足可行性原则,.,为什么要求,P,可逆,?,可逆,矩阵,5,分块初等阵,分块单位阵,一次,初等变换,2.8.2,分块初等阵,换法:,倍法:,消法:,6,对分块矩阵进行一次初等,行,(,列,),变换,相当于给它,左,(,右,),乘以一个相应的分,块初等矩阵：,换法:,7,消法:,倍法:,8,分块,初等变换不改变,分块,阵的,秩,.,消法分块,初等变换保持,行列式值不变.,用分块,初等变换,求逆,.,对分块,阵进行,一次,初等行,(列)变换,相当,于对原矩阵进行,一系列,初等行,(列)变换.,分块,行,分块,列,9,例1,求,其中,A,，,B,可逆,.,解,行,行,行,10,总结：常用的分块矩阵求逆公式,设,A,B,都是可逆方阵,则有下列公式,.,11,证,例2,用分块方法证明,其中,A,、,B,为,n,阶方阵,.,或,12,例3,证,证明,其中,A,为,n,阶,可逆矩阵,B,为,m,阶,方阵.,(行列式第一降阶定理),13,例4,证明,|,E,m,-,AB,|,=,|,E,n,-,BA,|,其中,A,为,m,n,阶,矩阵,B,为,n,m,阶,阵.,证,14,利用上式可得,时可见书上的说明.,为任意数.,15,注,本,例的,结果可以把,m,阶的行列式转化,为,n,阶的行列式计算,此时可称为,(,降阶公式,).,尤其是当,n,=1,时,即,A,为,1,列,B,为,1,行时,等式的右端即为,1,个数.,16,例5,计算,解,17,18,复习,秩的运算性质（1）,若,A,是,m,n,矩,阵,则,1,.,0,r,(,A,),min,m,n,2,.,r,(,A,T,),=,r,(,A,),3,.,r,(,k,A,),=,0,k,=,0,r,(,A,),k,0,4,.,r,(,A,1,),r,(,A,),(,A,1,为,A,的子阵,),19,2.8.3,秩的运算性质,（,2）,证,设,5.,则存在可逆阵,使,20,令,21,6,.,证,设,则存在可逆阵,使,令,22,=,E,r,1,0,0,0,0,0,E,r,2,0,0,0,0,0,P,1,CQ,2,23,例1,证,7,.,24,8,.,r,(,A+B,),r,(,A,),+,r,(,B,),证,证,r,(,A,),=,r,(,A,0,),=,r,(,A AB,),r,(,AB,),例2,9,.,25,证,r,(,A,),+,r,(,B,),且,AB,=,0,时，,10,.,A,为,矩阵,B,为,矩阵,且,AB,=,0,时,有,26,5,.,6,.,7,.,8,.,秩的运算性质,（,2）,且,AB,=,0,时，,10,.,A,为,矩阵,B,为,矩阵,则,9,.,27,矩,阵,基本运算,逆 矩 阵,初等变换,秩,分块矩阵,线性运算(加法、数乘),乘法,方幂,(,求方幂的方法),转 置,定义,及运算性质,求 法,伴随矩阵法,初等变换法,初等阵,等秩、等价，行阶梯、标准形,定 义,性 质,10条,求 法：,初等(行)变换,加,数乘,乘,幂,转置,逆,初等变换,行列式乘法公式,定义法,判 别,5条,应用：线性方程组,28,可逆的判别(,5,条),A,与,E,等价,PAQ=E,为,初等阵,初,行列,使,可逆,可逆,A E,29,伴随矩阵,1.,基本公式,:,2.,求逆,:若,A,可逆,3.,性质,:,(,n,2,),(,n,2,),30,1.,求方幂:,4,5,11,22,23,(,注意秩为1的矩阵,).,2.,求逆:,8(,矩阵多项式方程,)14,16.,4.,初等变换初等阵:,21,32.,补充题,.,5,.,涉及伴随矩阵,:,25,26,34.,6.,求秩:证明秩的等式:,19,20.,7,.,分块阵,:,21,27,30,31,32,33.,8,.,证明题,:,17,18,28,29.,3,.,解矩阵方程:,(,考查矩阵运算及性质,),9,10,13,15(,先化简,).,第,二,章常见的题型,31,例1,解,求方幂,可知,所以,32,33,例2,A,可逆,将,A,的,i,j,两行互换得,B,求 .,解,初等变换与初等阵,34,例3,其中,A,可逆,则,35,解,应,选择(,C,).,36,例4,解,X,满足,设,解矩阵方程、求逆的问题,因为,所以,即,所以,37,所以,用,初等变换可求出逆为,可逆,.,38,例5,为,3,阶非零,矩阵，,设,解,关于秩的问题,39,设,A,与,B,是两个,n,阶非零方阵，满足,AB=,0,，,则,A,与,B,的秩为,（,A,）,都等于,n,.（,B,）,必有一个为零.,（,C,）,都,小于,n,.（,D,）,若其中一个等于,n,则另一个必小于,n,.,解,因为,A,0,B,0,r,(,A,)1,r,(,B,)1,所以,A,与,B,的秩都小于,n.,例6,40,例7,设,A,为,4,3,阶,矩阵,且,r,(,A,)=,2,而,则,解,1,B,为,可逆阵,则可写成初等阵之积,AB,即,相当于对,A,进行初等列变换,初等变换不变秩,故,r,(,AB,),=,r,(,A,),=,2.,解,2,故,r,(,AB,),=,r,(,A,),=2,.,2,解,3,41,例8,设,A,为,n,阶,幂等矩阵,即 ,求证,证,由,得,故,证明秩的等式,42,设,A,为,n,阶矩阵,(,n,2,),A*,是,A,的,伴随,矩阵,则,有,(,A),(,A,*,),*=|,A,|,n-1,A,(B),(,A,*,),*=|,A,|,n+1,A,(C),(,A,*,),*=|,A,|,n-2,A,(D),(,A,*,),*=|,A,|,n+2,A,例9,关于伴随,解,(1)当,A,可逆时,知,A,*,可逆,(2)若,A,不,可逆,则,|,A,|=,0,r,(,A,),n,r,(,A,*,),*=,0,所以,(,A,*,),*=0=,0,A=,0.,结论成立.,43,若,A,为,n,阶矩阵,(,n,2,),则,证,(1),如果,r,(,A,)=,n,由,A,*,A,=|,A,|,E,知,A,*,可逆,从而,r,(,A,*,)=,n,.,(2),如果,r,(,A,),n,-,2,由,A,*,的定义知,A,*,=,0,r,(,A,*,)=,0.,(3),如果,r,(,A,)=,n,-,1,A,*,0,r,(,A,*,),1,.,又,|,A,|=,0,A,*,A,=0,r,(,A,),+,r,(,A,*,),n,r,(,A,*,),n,-,r,(,A,)=,1,r,(,A,*,),=1,.,例10,44,证,由,得,故,A,可逆,.,不妨设,例,11,将,按第,k,行展开，,设,A,为,三,阶非零实矩阵，,并求,证,由已知,A,*=,A,T,AA,T,=|,A,|,E,|,A,|,2,(|,A,|-1)=,0,所以由,|,A,|,0,知,|,A,|=1,.,得到,|,A,|,2,=|,A,|,3,45,设,A,B,为,n,阶方阵,证明,证,例,12,46,例13,设,4,阶矩阵,A,=(,1,2,3,4,),B=,(,1,2,3,4,),.,如果,A,=1,B,=2,那么,A+B,的值为,:,(,A)3 (B)6 (C)12 (D)24,A+B,=|,1,+,1,2,2,2,3,2,4,|,解,应选,(,D).,=2,3,|,1,+,1,2,3,4,|,=,2,3,(,A,+,B,),=24,分块阵的,行列式,47,下次作习题二中的部分习题,(-),Bye!,48,（例11）,设,A=(,a,ij,),是3,阶实非零矩阵,已 知,a,ij,=A,ij,求|,A|.,解,根据已知,A=(,a,ij,).,假定,A,的第一行有非零元素,把|,A|,分别按照第,1,行展开,可以得到,:,由已知,A*=A,T,所以,AA,T,=|A|I,容易由得到,|,A|,2,=|A|,3,所以,|,A|=1.,49,
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