高等数学第1章课件

,单击此处编辑母版标题,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录,单击此处编辑母版标题,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 函数、极限与连续,第一节 函数,第二节 极限,第三节 极限的运算,第四节 无穷小与无穷大,第五节 函数的连续性与连续点,第六节 初等函数的连续性,第一节 函数,集合简称集是具有某种共同性质的事物的全体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。,一、集合、区间与邻域,1.,集合,集合必须具有确定的特征，即对于某个元素是否属于某个集合是确定的。,注意,有限集合,有限个元素构成,北京户籍人口,无限集合,无限个元素构成,全体偶数、全体实数,集合常用大写字母,A , B , C,表示,元素常用小写字母,a , b , c,表示,.,给定一个集合M ,假设a 是M 的元素,那么记作aM .读作 a 属于M ;,假设a 不是M 的元素,那么记作aM .读作 a 不属于M .,并集,由所有属于集合,A,或属于集合,B,的元素所组成的集合，称为集合,A,与,B,的并集,A,B,A,B,=,x,|,x,A,或,x,B,交集,由属于集合,A,且属于集合,B,的所有元素组成的集合，称为,A,与,B,的交集,A,B,A,B,=,x,|,x,A,且,x,B,差集,由所有属于集合,A,而不属于集合,B,的元素组成的集合,A,-,B,A,-,B,=,x,|,x,A,且,x,B,集合相等,集合,A,的任何一个元素都是集合,B,的元素，同时集合,B,的任何一个元素都是集合,A,的元素,A,=,B,子集,如果集合,A,的任何一个元素都是集合,B,的元素，那么集合,A,就是集合,B,的子集,A,B,空集,不含任何元素的集合,集合的运算及关系,2.,区间,区间是指某一范围的实数集合.假设a, b 是实数,且ab ,那么:,满足ax b的所有实数 x 的集合,称为以a,b 为端点的闭区间,记作a,b.,满足axb 的所有实数 x 的集合,称为以a,b为端点的开区间,记作(a,b) .,满足a xb 或a 0,以,x,0,为中心,以,为半径,长为,2,的开区间,.,即,称为,点,x,0,的,邻域,记为,U,(,x,0,).,3.,邻域,点,x,0,的,去心邻域,.,即,点,x,0,的,左邻域,即,点,x,0,的,右邻域,即,二、函数的概念,定义1. 1. 1,设x和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集.如果对于给定的每个数 xD,变量 y 按照一定法那么总有确定的数值和它对应，那么称 y 是x的函数,记作 y= f(x), xD.,其中,变量x称为自变量, y 称为因变量.数集D 称为函数的定义域, y 的取值范围称为函数的值域.,定义,1. 1. 2,在定义域的不同范围内用不同的表达式表示的函数，称为,分段函数,.,1,-1,x,y,o,三、函数的几种特性,定义1. 1. 3,假设存在正数M ,使得函数 f(x)在区间 I 上恒有| f(x) |M,那么称 f(x)在区间I 上有界;否那么, f(x)在区间I 上无界.,1.,有界性,函数,f,(,x,),在区间,I,上有界的充分必要条件是：,f,(,x,),在区间,I,上既有上界又有下界,.,定义1. 1. 4,对于区间I 内任意两点 x1 , x2 ,当x1 x2 时,假设f(x1) f(x2) ,那么称 f(x) 在I 上单调减少,区间I 称为单调减区间.如以下图所示.,单调增区间和单调减区间统称为单调区间.,2.,单调性,x,y,o,x,y,o,定义1. 1. 5,设I 为关于原点对称的区间,假设对于任意 xI , 都有f(-x) =f(x),那么称 f(x) 为偶函数;假设 f(-x) = - f(x),那么称 f(x) 为奇函数.,4.,周期性,定义1. 1. 6,假设存在不为零的数T ,使得对于任意 xI ,都有x +TI ,且f(x +T) =f(x) ,那么称f(x)为周期函数,通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期.,3.,奇偶性,四、反函数与复合函数,设 y = f(x) 为定义在D上的函数,其值域为A. 假设对于数集 A 上的每个数 y ,数集D中都有唯一确定的一个数x使 f(x) = y,即x变量为y 的函数,这个函数称为函数y = f(x)的反函数,记为x=f -1(y),其定义域为A ,值域为D.,函数 y = f(x) 与 y=f -1(x) 的图形关于直线 y= x 对称,如以下图所示.,1.,反函数,2.,复合函数,定义1. 1. 8,假设函数 y= f(u) 的定义域为U1 ,函数u= (x)的值域为U2 ,且U2U1 , 那么y通过变量u成为x的函数,这个函数称为由函数 y=f(u) 和函数u= (x) 构成的复合函数,记为 y = f (x), u 称为中间变量.,五、初等函数,1.根本初等函数,2 .,初等函数,由常数和根本初等函数经过有限次的四那么运算和有限次的函数复合步骤所构成的,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,例如：,第二节 极限,自变量,n,为正整数的函数,x,n,=,f,(,n,) (,n,=1,2 ,) ,其函数值为按自变量,n,由小到大排列而成的一列数,:,x,l,x,2,x,3,x,n,此序列数称为,数列,记作,x,n,.,数列中的每一个数称为,数列的项,第,n,项,x,n,称为数列,x,n,的,通项,或,一般项,.,一、数列的极限,定义1. 2.1,设数列xn ，如果当n时，对应的数列的项xn无限接近某个确定的常数A ，那么称常数A 为数列xn. 当n 时的极限，或称当n 时，数列xn收敛于A ，记作 或 .,定理1. 2. 1 假设数列xn收敛，那么数到xn有界.,定理1. 2. 2 (单调有界原理) 假设数列xn单调且有界，那么数列xn必收敛.,如果当n时，数列的项 xn不无限趋近于一个确定的常数，那么称数列xn没有极限，或称数列xn发散.,定理1. 2. 3 设函数 y = f(x)当|x|M(M为正数)时有定义,那么 的充要条件是 .,二、函数的极限,定义1. 2. 2,设函数 y = f(x) 在|x|M(M 为正数)时有定义,如果当|x|无限增大时,即x+或 x-时,对应的函数值 f(x) 无限接近某个确定的常数A ,那么称常数A 为函数f(x) 在x时的极限,记作 .,1.,当,x,时，函数,y,=,f,(,x,),的极限,定义1. 2. 3,设函数y = f(x) 在x0的某一去心邻域内有定义，如果自变量x在该邻域内无限接近x0时，相应的函数值 f(x) 无限接近某一确定的常数A ，那么称常数A 是函数f(x) 当xx0时的极限，记作 .,2.,当,x,x,0,时，函数,y,=,f,(,x,),的极限,三、函数极限的性质,第三节 极限的运算,一、极限的运算法那么,法则,1,法则,2,法则,3,二、复合函数的极限运算法那么,定理1. 3. 1 设函数u= (x)当xx0时的极限存在且等于a ,即 ;在点x0的某去心邻域内(x) a ,且 ,那么复合函数 f (x) 当xx0时的极限也存在,且 .,三、极限的夹逼准那么,四、两个重要极限,1, （,型,）,2, （,型,）,第四节 无穷小与无穷大,极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小,.,一、无穷小,1.,无穷小的定义,2.,函数极限与无穷小之间的关系,3.,无穷小的运算性质,有限个元穷小的代数和是无穷小,.,定理,1. 4.3,有界变量与无穷小的积是无穷小,.,推论,1,常数与无穷小的积仍是无穷小,.,推论,2,有限个无穷小的积仍是无穷小,.,的充要条件是,f,(,x,) =,A,+,(,x,),其中,(,x,),是,x,x,0,时的无穷小,.,二、无穷大,定义1. 4.2,在自变量x的某个变化过程中,假设相应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大,那么称 f(x)为该自变量变化过程中的无穷大量(简称为无穷大);如果相应的函数值f(x) (或 - f(x) )无限增大,那么称 f(x)为该自变量变化过程中的正(或负)无穷大.,三、无穷小与无穷大的关系,四、无穷小的比较,定理,1. 4.5,设,且 存在,则 ,几个常用的等价无穷小,第五节 函数的连续性与连续点,变量,x,的增量,变量,y,的增量,一、函数的连续性,1.,函数的增量,2.,函数连续性的定义,3.,左连续和右连续,如果 ，那么称函数 f(x) 在点x0处左连续;,如果 ，那么称函数 f(x) 在点x0处右连续.,连续点的三种情况：,(1)在 x=x0处没有定义;,(2)虽在 x=x0处有定义,但 不存在;,(3)虽在 x=x0处有定义,且 存在,但,二、函数的连续点,函数 f(x)在点 x0处不连续,点 x0称为函数 f(x) 的不连续点或连续点.,第六节 初等函数的连续性,定理,1. 6. 1,（,连续函数的四则运算,）,如果函数 在点 处连续，则 ， 在点 处也连续,定理,1. 6. 2,（,复合函数的连续性,）,如果函数 在点 处连续，函数,在点 处连续，且 ，那么复合函数 在点 处也是连续的，即 ,定理,1. 6. 3,(,反函数的连续性,),单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续的,.,根本初等函数在它们的定义域内都是连续的.,四、闭区间上连续函数的性质,定义1. 6. 1,对于在区间 I 上有定义的函数 f(x) ,如果有x0 I使得对于任一 x I 都有 f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0) ,那么称f(x0)是函数 f(x)在区间 I 上的最大值(或最小值) .,性质,1,(,最大值和最小值定理,),闭区间上的连续函数必有最大值和最小值,.,性质,2,(,有界定理,),在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,.,性质,3,（,零点定理,）,如果函数 在闭区间 上连续，且,，,则在 内至少存在一点,，使得 ,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间的任何值,.,性质,4,（,介值性质,）,如果函数 在闭区间 上连续，且在此区间的端点取不同的函数值,f,(,a,)=,A,及,f,(,b,)=,B,，那么对于,A,与,B,之间的任意一个数,C,，在开区间 内至少存在一点,，使得 ,