中科大量子力学散射

Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Chapter.6 .Scattering,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,中科大量子力学散射,散射过程：,Z,ds,靶粒子的处在位置称为散射中心。,方向准直的均匀单能粒子由远处沿,z,轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为,散射过程,。散射后的粒子可用探测器测量。,一 散射截面,2,散射角,：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。,弹性散射：假设在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，那么称弹性散射，否那么称为非弹性散射。,入射粒子流密度,N,：,单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。,散射截面：,一 散射截面,(续1),3,设单位时间内散射到，方向面积元ds上立体角d内的粒子数为dn，显然,综合之，那么有：,或 1,比例系数,q(,，,),的性质：,q(，)与入射粒子和靶粒子散射场的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是， 的函数,一 散射截面,(续,2),4,q(,，,),具有面积的量纲,故称,q(,，,),为微分散射截面，简称为截面,或角分布,如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积q(，)，那么单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。,2,一 散射截面,(续,3),5,总散射截面：,注,由（2）式知，由于,N,、,可通过实验测定，故而求得 。,量子力学的任务是从理论上计算出 ，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。,一 散射截面,(续,4),6,二、散射振幅,现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。,取散射中心,A,为坐标原点，散射粒子体系的定态,Schrdinger,方程,4,令,方程4改写为,7,5,由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为 ，因此，在计算,时，仅需考虑 处的散射粒子的行为，即仅需考虑 处的散射体系的波函数。,设 时， ，方程（5）变为,6,令,（7）,二、散射振幅,(续,1),8,将6式写成,在 的情形下，此方程简化为,此方程类似一维波动方程。我们知道，对于一维势垒或势阱的散射情况,8,二、散射振幅,(续,2),9,方程8有两个特解,式中 为入射波或透射波， 为散射波，波只沿一方向散射。,对于三维情形，波可沿各方向散射。三维散射时，在 处的粒子的波函数应为入射波和散射波之和。,二、散射振幅,(续,3),10,因此,代表由散射中心向外传播的球面散射波，,代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。,在 处，散射粒子的波函数是入射平面波 和球面散射波 之和。即,9,二、散射振幅,(续,4),11,散射波的几率流密度,入射波几率密度即入射粒子流密度,为方便起见，取入射平面波 的系数,，,这表明 ，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。,10,二、散射振幅,(续,5),12,单位时间内，在沿 方向,d,立体角内出现的粒子数为,13,比较1式与12，得到,12,11,二、散射振幅,(续,6),13,下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。,分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。,由此可知，若知道了 ，即可求得 ，,称为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率 给定，于是，入射粒子流密度,给定，只要知道了散射振幅 ，也就能求出微分散射截面。 的具体形式通过求,Schrdinger,方程（5）的解并要求在 时具有渐近形式（9）而得出。,二、散射振幅,(续,7),14,取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程3-1的特解为,讨论粒子在中心力场中的散射。,3-1,粒子在辏力场中的势能为 ，状态方程,由于现在与无关(m=0)，所以，方程1的特解可写成,三、分波法,15,方程3-1的通解为所有特解的线性迭加,3-2,3-2代入3-1，得径向方程,为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波， 称为第,个分波，通常称,的分波分别为,s,p,d,f,分波,3-3,三、分波法,(续,1),16,令,代入上方程,3-4,考虑方程（3-4）在 情况下的极限解,令 方程（3-4）的极限形式,由此求得：,3-5,三、分波法,(续,2),17,为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数,将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在,情形下通解的渐近形式,3-6,三、分波法,(续,3),18,另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数,3-7,3-8,式中,j,l,(,kr,),是球贝塞尔函数,将平面波 按球面波展开,3-9,三、分波法,(续,4),19,利用3-8、3-9，可将3-7写成,3-10,3-6和3-10两式右边应相等，即,分别比较等式两边 和 前边的系数，得,三、分波法,(续,5),20,3-12,3-11,可以得到,用 乘以（12）式，再对,从,积分，并利用,Legradrer,多项式的正交性,三、分波法,(续,6),21,即 （3-13）,将此结果代入3-11式,3-14,三、分波法,(续,7),22,可见，求散射振幅,f,(,),的问题归结为求 ，求,的具体值关键是解径向波函数,的方程（3-3）,由（3-8），（3-9）知， 是入射平面波的第 个分波的位相；由（3-6）知，,是散射波第,个分波的位相。所以，,是入射波经散射后第,个分波的位相移动（相移）。,的物理意义：,三、分波法,(续,8),23,微分散射截面,3-15,总散射截面,三、分波法,(续,9),24,即 （3-16）,式中 （3-17）,是第,个分波的散射截面。,由上述看们看出：求散射振幅,的,问题归结为求相移,，,而,的获得，需要根据 的具体情况解径向方程（3-3）求,，,然后取其渐近解，并写为,三、分波法,(续,10),25,即可得到第 个分波的相移，由于每个分波都将产生相移,，,所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法。,光学定理,证明见后,三、分波法,(续,11),26,分波法求散射截面是一个无穷级数的问,题。从原那么上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，到达一定准确度即可。,分波法的适用范围,散射主要发生在势场的作用范围内，若以散射中心为心，以,为半径的球表示这个范围，则 时，散射效果就可以忽略不计了。,三、分波法,(续,12),27,由于入射波的第,个分波的径向函数 的第一极大值位于 附近，当,较大时，愈大，,愈快，如果 的第一极大值位于 ，即 时，在 内， 的值很小。亦即第,个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第,个分波之前的各分波必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件,三、分波法,(续,13),28,写成 ，而 的分波不必考虑， 愈小，则需计算的项数愈小，当 时，,，,这时仅需计算一个相移,即足够了，,足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射， 的分波散射截面可以略去。,三、分波法,(续,14),29,说明,已知 时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道 的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。,三、分波法,(续,15),30,思考题：,什么是分波法？,分波法是说入射平面波,e,ikz,按球面波展开,展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移,。,而,的获得需根据 的具体形式解径向方程,三、分波法,(续,16),31,求出,，,然后取其渐近解，并写成,即可得到第 个分波的相移，由于每个分波都将产生相移,，,所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，,这种方法称为分波法。,三、分波法,(续,17),32,分波法应用举例,ex.,球方势阱和球方势垒的低能散射。,粒子的势能:,是势阱或势垒的深度或高度。设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的散射截面。,Solve:,粒子的径向方程,1,三、分波法,(续,18),33,其中,2,对于球方势阱,为粒子的能量， 为粒子在靶粒子中心力场中的势能。,（2）,因粒子波长,所以仅需讨论,s,波的散射,，,据此及（2）式，可将方程（1）写成,三、分波法,(续,19),34,其中,4,3,令,那么3，4可写成,5,三、分波法,(续,20),35,6,其解为,7,8,于是,9,10,因 在 处有限，必须有,所以,三、分波法,(续,21),36,在 处， 及 连续，因此， 及 在 处连续。由7，8式得,总散射截面,11,12,由此求得相移,即,三、分波法,(续,22),37,在粒子能量很低 的情况下， 。利用 时，,，,有,13,14,对于球方势垒 。,这时，用 代替以上讨论中的,，,在粒子能量很低 的情况下，（13）变为,15,三、分波法,(续,23),38,14写为,16,当 时 ，由于,代入16式，得,低能粒子经无限高势垒场的散射，其散射截面等于半径为,的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为,的硬球的最大截面面积 ，它是量子力学计算的结果的,。,三、分波法,(续,24),39,分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，势能 可看作是微扰，体系的哈密顿算符为,其中， 是粒子的动能（自由粒子的哈密顿量），其本征函数取箱归一化的动量本征函数,40,粒子与散射力场的相互作用能：,这里，采用箱归一化意味着体积,L,3,内只有一个粒子。于是，入射粒子流密度,单位时间内，散射到 方向立体角 内的粒子数,1,另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力场的微扰作用，从动量为 的初态 跃迁到动量 的末态 ，,即,四.玻恩近似,(续,1),41,对于弹性散射，动能守恒,单位时间内，粒子从初态 跃迁到动量大小为 ，方向为 的立体角 内所有末态上的几率，即跃迁几率,跃迁距阵元,（2）,3,四.玻恩近似,(续,2),42,为动量大小为 方向角为 的末态数目（态密度）,4,将3、4代入2式，得出,5,此式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角,d,内的粒子数,6,四.玻恩近似,(续,3),43,比较（1），（6）式，并注意到 ，立即可得,7,式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算出的散射振幅 有一负号。引入矢量,其中,是散射角，,是散射引起动量的变化，于是,8,四.玻恩近似,(续,4),44,取 的方向为球坐标的极轴方向， 为方位角，则可简化积分,9,因而,10,此式即为玻恩近似表达式，若势能 已知，计算积分后就可以求出微分散射截面，所以，应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出 的具体形式后，如何计算积分 。,四.玻恩近似,(续,5),45,下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式。,四.玻恩近似,(续,6),46,玻恩近似法应用举例,玻恩近似法的适用范围：,玻恩近似法只适用于粒子的高能散射，它与分波法适用于低能散射相互补充，作为解决散射问题的两种主要方法。,计算高速带电粒子 ，被中性原子内部屏蔽库仑场 散射，求散射截面。,Solve：,高速带电粒子属高能粒子，故,四.玻恩近似,(续,7),47,当入射粒子的能量很大，散射角,较大时,（1）,其中,（2）,3,所以上式可近似写成,四.玻恩近似,(续,8),48,（4）,此式称为,Rutherford,散射公式,。首先由卢瑟福用经典方法计算库仑散射（不考虑屏蔽作用）得出。这说明式（3）是经典力学方法可以适用的条件。式（4）表明要求散射角比较大，能量比较大，这时散射要在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部，因而核外电子不起屏蔽作用。当,角很小时，条件（,3）不能满足，,Rutherford,公式不能成立，此时需用（1）式。,四.玻恩近似,(续,9),49,Solve,为一般起见，先考虑,分波的相移，,再取特殊情况 分波的相移。,粒子受到势能为 的场的散射，,求,s,分波的微分散射截面。,根据边界条件,1,解径向函数 满足的径向方程,令,四.玻恩近似,(续,10),50,又令,（2）,所以2式可以写成,于是3式又可写成,3,令,四.玻恩近似,(续,11),51,上式是,阶贝塞尔方程，其解为 ，,因此,但当 时，,所以在 附近,由,4,四.玻恩近似,(续,12),52,5,比较1式和5式，那么有,四.玻恩近似,(续,13),53,将 值代入微分散射截面的表达式,立即可得到,s,分波的微分散射截面,令,s,分波散射截面,四.玻恩近似,(续,14),54,慢速粒子受到势能为 的场的散射，,若 ， ，求散射截面。,由径向波函数 所满足的径向方程,当,时,（1）,令,2,Solve:,由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑,分波。,四.玻恩近似,(续,15),55,将 代入以上方程,3,并令 （4）,6,5,四.玻恩近似,(续,16),56,当 应有限，则要求,在 处， 和 连续,两式相除，得,四.玻恩近似,(续,17),57,总散射截面,(7),讨论：当粒子的能量 时，,如果粒子能量很低 的情况下,四.玻恩近似,(续,18),58,如果 时， ，于是有,在这种情况下，总散射截面等于半径为,的球面面积。它与经典情况不同，在经典情况下,四.玻恩近似,(续,19),59,只考虑,s,分波，求慢速粒子受到势场 的场散射时的散射截面,Solve:,根据边界条件,解径向方程：,令,那么上方程简写为：,四.玻恩近似,(续,20),60,令,代入上方程，有,只考虑,s,分波，,，,由于 ， ，以上方程在 时的渐近形式为,此为 阶贝塞尔方程，其解为,四.玻恩近似,(续,21),61,由于 ， ，所以有限解为,于是,比较（1）和（2）两式，并注意取（1）式中的,等于0，则,四.玻恩近似,(续,22),62,用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的散射截面,Solve:,根据微分散射截面公式,于是将 代入上式，积分,四.玻恩近似,(续,23),63,四.玻恩近似,(续,24),64,四.玻恩近似,(续,25),65,用玻恩近似法求粒子在势能场,中散射的微分散射截面，式中,。,Solve:,四.玻恩近似,(续,26),66,四.玻恩近似,(续,27),67,设 ，求反射系数,Solve:,1,令,那么,2,3,4,将（2）（4）代入方程（1），则有,四.玻恩近似,(续,28),68,其中,5,当 时，方程（1）的渐近形式,令,此方程有平面波解,当 时， ， 超于常数,6,四.玻恩近似,(续,29),69,将8写成,7,利用这些关系式，方程5可写成,8,其中,9,再令,四.玻恩近似,(续,30),70,显然,于是，方程9变为,10,方程（10）为超几何方程，其满足 （即 ）， 有限的解为,11,四.玻恩近似,(续,31),71,满足 即 ， 有限的解为,12,当 ，即 时,四.玻恩近似,(续,32),72,反射系数：,13,利用,四.玻恩近似,(续,33),73,可得：,四.玻恩近似,(续,34),74,