计算机数学04

,第四章积分,后页,首页,前页,第四章积分,后页,首页,前页,根本要求、重点难点,4.1定积分的概念与性质,4.2微积分根本定理,4.3根本积分法,4.4无穷区间上的反常积分,4.5演示与实验四,根本要求,掌握切线、变速直线运动的速度抽象出的导数概念。,了解变量的“变化率问题。,了解一元微积分的一元函数积分学。,掌握积分学在物理、天文、工程、地质、化学，以及生物学中的应用。,掌握微分与积分之间联系的重要结果微积分根本定理，以及常用的积分方法和无穷积分的概念。,重点难点,重点：,一元函数积分的法那么。,微积分根本定理的使用。,难点：,定积分概念与性质、根本积分与无穷区间上的反常积分。,定积分的定义、定积分的计算和应用。,4.1定积分的概念与性质,4.1.1引例,1.,曲边梯形的面积,后页,返回,设,y,f,(,x,),是定义在,a,，,b,上的非负连续函数。我们称曲线,y,f,(,x,),与直线,y,0,、,x,a,、,x,b,围成的平面区域为曲边梯形，其中曲线,y,f,(,x,),为曲边,(,如图所示,),。,(1),分割区间,在区间,a,，,b,内插入,n,1,个分点,x,1,，,x,2,，,，,x,n,1,使,x,0,a,x,1,x,2,x,n,1,x,n,b,。,这些分点将区间,a,，,b,分成,n,个子区间,x,i,1,，,x,i,(,i,1,，,2,，,，,n,),，记它们的长度为,x,i,(,i,1,，,2,，,，,n,),，用,表示这些子区间的最大长度。显然，,的大小反映了对区间分割的粗细程度,.,通过此分割我们得到了,n,个“窄曲边梯形”,S,i,(,i,1,，,2,，,，,n,),，因此有,S,S,i,(,如图,(a),。,n,i,1,(2)近似代替(以直代曲)，求和,在xi1，xi上任取一点i，用高为f(i)，宽为xi的矩形面积近似代替“窄曲边梯形面积Si(i1，2，n)。于是得曲边梯形的面积的近似值：,f(i)xiSn,如图(b)所示,返回,(3)取极限，求得面积准确值,可以看出，随着分割的越来越细，即0，Sn对S的逼近程度越来越好，于是有,返回,2.,变速直线运动的路程,前页,后页,(1),分割区间,在时间区间,a,，,b,内插入,n,1,个分点,t,1,，,t,2,，,，,t,n,1,使,t,0,a,t,1,t,2,t,n,1,t,n,b,。,这些点将,a,，,b,分成了,n,个子区间,t,i,1,，,t,i,(,i,1,，,2,，,，,n,),。若记物体在,t,i,1,，,t,i,上运动的路程为,s,i,，则物体在整个时间区间,a,，,b,上运动的路程为,s,S,i,。,n,i,1,返回,(2),近似代替、求和,由于速度函数是连续函数，所以时间区间很小时速度的变化也很小。在,t,i,1,，,t,i,内任取一点,i,，可近似看作物体在,t,i,1,，,t,i,内作速度为,v,(,i,),的匀速运动，走过的路程为,v,(,i,),t,i,。这样，得到物体在,a,，,b,上运动的路程的近,似值,s,v,(,i,),t,i,，并且分割越细越接近精确值。,n,i,1,(3),取极限，得路程之精确值,令,t,i,，则,就是物体在时间区间,a,，,b,内走过的路程的精确值。,max,1,i,n,返回,4.1.2定积分的定义,定义,4.1,设,f,(,x,),是定义在闭区间,a,，,b,上的连续或分段连续函数，在,a,，,b,内插入,n,1,个分点,x,1,，,x,2,，,，,x,n,1,，使得,a,x,0,x,1,x,2,x,n,1,x,n,b,，,记,x,i,x,i,x,i,1,(,i,1,，,2,，,，,n,),，,max1,i,n,x,i,。如果不论对,a,，,b,怎么分，对任意选取的,i,x,i,1,，,x,i,(,i,1,，,2,，,，,n,),，当,0,时，和式,n,i,1,f,(,i,),x,i,总趋于确定的常数,A,，即,则称,f,(,x,),在,a,，,b,上可积，并称极限,A,为,f,(,x,),在,a,，,b,上的定积分，,记作,f,(,x,)d,x,，同时称,f,(,x,),为,被积函数,，,x,为,积分变量,，数,a,和,b,为,积分下限和,上限,，区间,a,，,b,为,积分区间,，为,积分号,。,b,a,b,a,前页,对定积分的定义作几点说明：,4.1.3定积分的根本性质,4.2微积分根本定理,4.2.1微积分第一根本定理,由定积分的定义知道，定积分是一个仅与被积函数和积分限有关的确定的数。当我们固定被积函数与积分下限时，定积分随着积分上限的变化而变化，它是积分上限的函数，我们把它记作,S,(,x,),，即,从几何意义上看，,S,(,x,),表示区间,a,，,x,所对应的曲边梯形的面积，它随,x,的变化而变化,(,如图,),。,定理,4.1(,微积分第一基本定理,),若函数,f,(,x,)在,a,，,b,上连续，则积分上限,函数,g,(,x,),f,(,t,)d,t,在,a,，,b,上可导，且有,g,(,x,),f,(,x,)。其中,x,a,，,b,，,x,0,为,a,，,b,内任意取定的一点。,x,x,0,4.2.2原函数和不定积分,定义,4.2,如果在某区间上可导函数,F,(,x,),的导数是,f,(,x,),，即对该区间上的每一点,x,，都有,F,(,x,),f,(,x,),，或,d,F,(,x,),f,(,x,)d,x,，,那么称,F,(,x,),为,f,(,x,),在该区间上的原函数。,1.,原函数和不定积分概念,定义,4.3,在区间,I,上函数,f,(,x,),的带有任意常数项的原函数称为在区间,I,上函数,f,(,x,),的,不定积分。记作：,f,(,x,)d,x,，其中记号“,I,”,称为积分号，,f,(,x,),称为被积函数，,f,(,x,)d,x,称为被积表达式，,x,称为积分变量。,2.根本积分表,4.2.3微积分第二根本定理(牛顿莱布尼茨公式),1.,原函数和不定积分概念,定理,4.2,设函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上连续，,F,(,x,),是,f,(,x,),在,a,，,b,上的一个原函数，则,f,(,x,)d,x,F,(,b,),F,(,a,),F,(,x,),。,b,a,b,a,4.3根本积分法,4.3.1第一换元法,如果被积函数的形式是f(x)(x)(或可以化为这种形式)，且u(x)在某区间上可导，f(u)具有原函数F(u)，那么可以在f(x)(x)dx的被积函数中将(x)dx凑成微分d(x)，然后对新变量u求不定积分，就得到下面的换元公式：,4.3.2第二换元法,在第一换元法中，用新积分变量,u,代换被积函数中的可微函数，从而使,f,(,x,),(,x,)d,x,化成容易计算的积分,f,(,u,)d,u,。我们也常常遇到与此,相反的情形，即,f,(,x,)d,x,不易求出，引入新的积分变量,t,使,x,(,t,)(,(,t,),单调,可微，且,(,t,)0),，把原积分化为容易计算的形式，即,这种积分法叫做,第二换元法,。,4.3.3分部积分法,不定积分的分部积分公式：,f,(,x,)d,g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),g,(,x,)d,f,(,x,),，,定积分的分部积分公式：,f,(,x,)d,g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),g,(,x,)d,f,(,x,),。,b,a,b,a,b,a,4.4无穷区间上的反常积分,定义4.4,设函数,f,(,x,)在无穷区间,a,+)上连续，取,b,a,，如果极限,f,(,x,)d,x,存在，那么称此极限值为,f,(,x,)在,a,+)上的反常积分，记作,f,(,x,)d,x,，即,这时也称反常积分,f,(,x,)d,x,收敛；否则，就称,f,(,x,)d,x,发散。,lim,b,a,b,+,+,a,+,a,+,a,4.5演示与实验四,4.5.1实验目的,1.加深对微积分第一根本定理的理解；,2.验证牛顿莱布尼茨公式；,3.学用Mathematica求积分。,4.5.2原理与方法,由微积分第一基本定理知，变上限的定积分,S,(,x,),f,(,t,)d,t,对上限,x,的导数,就是被积函数,f,(,x,),，即当,x,0,时函数,f,(,x,),在区间,x,x,+,x,的平均值,f,(,t,)d,t,趋向于,f,(,x,),。,我们可以从数值上或图形上来观察这种变化趋向。,用,Mathematica,系统可以求不定积分,(,原函数,),和定积分，从而我们可以验证牛顿莱布尼茨公式。,x,a,S,(,x,),x,x,x,x,x,4.5.3内容与步骤,1.用Mathematica求不定积分,命令格式：Integratef,x或直接从模板上选取相应模块。,2.用Mathematica求定积分,命令格式：Integratef,x,a,b或直接从模板上选取相应模块。,3.用Mathematica演示微积分第一根本定理,(1)数值演示,(2)图形演示,4.用Mathematica验证牛顿莱布尼茨公式,Thank You!,后页,首页,前页,