数学分析第一章

返回,后页,前页,第一章 实数集与函数,1,实数,2,数集 确界原理,3,函数的概念,4,复合函数与反函数,1.1,实数,一,.,实数及其性质,二,.,绝对值与不等式,记号与术语,假设规定：,那么有限十进小数都能表示成无限循环小数.,实数,对正整数,对负有限小数包括负整数y,先将-y表示成无限小数，再在无限小数前加负号如:-8=-7.999,一,.,实数及其性质：,1.回忆中学中关于有理数和无理数的定义.,说明,:,对于负实数x,y,假设有-x=-y与-x -y,那么分别称x=y与x x),2.,两个实数的大小关系,说明,:,自然规定任何非负实数大于任何负实数,.,.,),2,1,(,2,1,.,9,0,9,0,),2,1,(,.,.,1,1,0,0,0,0,2,1,0,2,1,0,x,y,y,x,x,，,y,y,x,b,a,l,k,b,a,l,b,a,y,；,x,，,y,x,k,b,a,b,a,，,k,b,a,，,b,a,b,b,b,b,y,a,a,a,a,x,l,l,k,k,k,k,k,k,k,k,n,n,=,=,=,=,=,=,=,=,+,+,或,分别记为,小于,或,大于,则称,而,使得,或存在非负整数,若,记为,相等,与,则称,若有,为整数,为非负整数,其中,给定两个非负实数,L,L,L,L,L,L,L,1),定义,1,定义,2,设,为实数x的n位缺乏近似，而有理数,称为,x,的,n,位过剩近似，,n,=0,1,2,.,为非负实数,.,称有理数,2)通过有限小数比较大小的等价条件,对于负实数,其n位缺乏近似和n位过剩近似分别规定为,和,注意：,对任何实数,x,有,命题,1,设,实数的性质,1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四那么运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.,2.,实数集是有序的,.,即任意两个实数,a,b,必满足下述三个关系之一,:a b.,为两个实数，那么,3.实数集的大小关系具有传递性.即假设a b,b c,那么有ac.,5.,实数集,R,具有稠密性,.,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数,.,6.,实数集,R,与数轴上的点具有一一对应关系,.,即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数,.,.,0,.,4,b,na,n,a,b,R,b,a,使得,则存在正整数,若,即对任何,实数具有阿基米德性,1实数的四那么运算,实数集 R 对加、减、乘、除除数不为 0亦是,有理数集 Q 对加、减、乘、除除数不为 0是,实数的四那么运算与大小关系,还满足:,封闭的,.,封闭的,.,实数的大小关系有以下性质,:,三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立,.,即大小关系具有传递性,.,4实数的阿基米德性,实数具有阿基米德性,:,理由如下：设,为第一个不为零的正整数,例,1,证,阿基米德,(Archimedes,287B.C.,212B.C.,希腊,),5实数的稠密性,数又有无理数,.,证,例,2,证,的无理数,.,6实数与数轴上的点一一对应,实数集,R,与数轴上的点可建立一一对应关系,.,1.,这种对应关系，粗略地可这样描述：,反之,任何一实数也对应数轴上一点,.,2.,实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的,完备性,.,我们将在后面有关章节中作进一步讨论,.,例,1,证明,例,2,证明,.,:,:,y,r,x,r,，,y,x,满足,存在有理数,证明,为实数,设,.,),(,2,1,.,y,r,x,y,y,r,x,x,，,r,y,x,r,y,x,n,，,y,x,n,n,n,n,n,n,+,=,即得,且有,为有理数,则,令,使得,故存在非负整数,由于,.,:,b,a,b,a,R,b,a,+,则,有,若对任何正数,证明,设,e,e,.,.,.,.,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,+,从而必有,矛盾,这与假设,为正数且,则,令,有,则根据实数的有序性,假若结论不成立,用反证法,e,e,e,e,a,0,-a,二,.,绝对值与不等式,从数,轴上看,的,绝对值就是到原点的距离：,绝对值,定义：,绝对值的一些主要性质,性质4三角不等式的证明：,由此可推出,几个重要不等式,:,均值不等式,:,(,算术平均值,),(,几何平均值,),(,调和平均值,),有平均值不等式,:,等号当且仅当 时成立,.,Bernoulli,不等式,:,利用二项展开式得到的不等式,:,由二项展开式,