信号与系统第一章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,信号与系统,奥本海姆,教师,:,黄松柏,E-mail: huangsongbai78,电子信息工程系,引 言,概述,:,信号与系统,是一门非常重要的,基础课程,，其,基本理论,，,基本概念,和,分析方法,是我们专业的基础。,引 言,目的,:,讨论和研究,确定性信号,经过,线性时不变系统,传输与处理的,基本概念,和,基本理论,和,分析方法,。,课程框架,第一章,:,信号与系统,建立信号与系统的基本概念,第二章,:,线性时不变系统,介绍线性时不变系统在时域上的理论和分析方法。,重点是,卷积理论,。,系 统,x(t,),y(t,),课程框架,第三、四章：连续时间付立叶级数和变换,重要的信号分析方法,第六章,:,信号与系统的时域和频域特性,注意分析方法的掌握,第七章,:,采样,采样是模拟信号与数字信号之间的桥梁,。,课程框架,第八章,:,通信系统,付立叶变换的应用,第九章：,拉普拉斯变换,简称,拉氏变换,，是信号与系统中的重要分析工具。,第一章,信号与系统,主要内容,1.1,连续时间和离散时间信号,1,信号的定义,2,系统的定义,3,连续时间和离散时间信号,4,信号的描述,5,信号的举例,6,小结,主要内容,1.2,自变量的变换,1.,时移,2.,反褶,3.,尺度变换,4.,举例,5.,周期信号,6.,奇偶信号,主要内容,1.3, 1.4,典型信号,1.,正弦信号,2.,指数信号,3.,单位冲激信号和单位阶跃信号,主要内容,1.5,连续时间和离散时间系统,1.,连续时间和离散时间系统,2.,系统的举例,3.,系统的互联,主要内容,1.6,系统的基本性质,1.,记忆和无记忆性,2.,可逆性和可逆系统,3.,因果性,4.,稳定性,5.,时不变性,6.,线性,举例,总结,信号的定义,信号,在数学上表示为一个或多个独立变量的函数，包含自然界物理现象中存在的行为和特征等信息量。,例如：电路中的电压和电流信号，语音信号等。,返回,系统的定义,系统,是若干,相互间联系,的事物组合而成并且具有,特定功能,的,整体,。,例如：通信系统、控制系统等。,返回,系统,输入信号,输出信号,传输或处理,x(t,),y(t,),1.1,连续时间和离散时间信号,定义,1,、自变量连续可变的信号为连续时间信号或 者模拟信号。,2,、自变量离散的信号为离散时间信号。,连续时间信号,返回,离散时间信号,周期信号,其中，,k,为整数,T,为周期。,1.2.2,周期信号,对连续时间信号来讲，如果满足表达式，,则称为周期连续信号。,周期信号,其中，,k,N,都为整数,N,为周期。,对离散时间信号而言，如果满足,则具有周期性。,周期信号,基波周期：周期信号的最小周期。,基波频率：基波周期的倒数。,基波周期,和,基波频率,返回,奇偶信号,1.2.3,奇偶信号,一个实信号可以描述为奇信号和偶信号之和。,返回,1.3,指数信号和正弦信号,这一节和下一节介绍几个基本的连续时间和离散时间信号。,这些信号经常出现，并且可以作为基本信号构建单元来产生其它许多信号。,1.3,指数信号和正弦信号,基本构建单元（典型信号）,1.,正弦信号,2.,指数信号,3.,单位冲激信号和单位阶跃信号,1.3,指数信号和正弦信号,正弦信号：,其中,:,A,:,幅值,:,相位，单位为弧度,0,:,角频率，单位弧度,/,秒,返回,其中,C,和,a,为参数,通常为复数,根据这些参数值的不同,复指数信号具有不同特征：,1.3,指数信号和正弦信号,连续时间复指数信号,周期复指数信号,实指数信号,谐波关系,举例,一般复指数信号,和连续时间复指数信号一样，基于参数,C,和,的不同,信号具有不同特性。,1.3,指数信号和正弦信号,离散时间复指数信号,离散时间复指数信号一般表达式如下：,1.3,指数信号和正弦信号,时间离散复指数信号,一般表达式如下：,一般复指数信号,实指数信号,周期性,正弦信号,返回,谐波关系,例子,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,离散时间单位脉冲和单位阶跃序列,1,、,定义,2,、,两种序列之间的关系,3,、,采样特性,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,连续时间单位冲激和单位阶跃信号,1,、,定义,2,、,两者的关系,3,、,采样特性,应用单位阶跃信号对某些时域信号的简化表示,。,返回,总结,这章我们讨论了连续时间和离散时间信号与系统的基本概念。,信号是消息的载体。,信号可以被描述为一个或多个独立变量的数学函数,本书只讨论一元函数。,总结,图象描述信号,牢固掌握典型信号及其特点,:,单位冲激信号,、,单位阶跃信号,，,实指数信号和复指数信号,，,正弦信号,等。,利用这些基本（典型）信号作为,信号构造单元,组成其它复合信号。,总结,系统由若干相互联系的子系统有机组成。系统的物理意义非常广泛。,这一章，我们用以下方法描述系统,:,系统框图,数学方程,分析研究了系统的基本性质以及这些性质的证明方法。,总结,重点：,线性性,，,时不变性,，,因果性,，,稳定性。,同时满足线性性和时不变性的系统称为,LTI,系统,。,本书主要重点讨论,LTI,系统,，因为现实中的很多物理过程都可以用,LTI,系统,来描述。,作业,仔细看书,p1,至,p56.,9, 10, 14,，,20, 21, 31, 36,信号的例子,1.,电路中的电压和电流信号,:,RC,电路,v,s,(t,),及,v,c,(t,),:,电源电压和电容两端的电压。,i(t,),:,电路电流。,信号的例子,2.,语音信号,信号的例子,3.,股票市场指数索引,返回,信号的描述,信号的描述方法主要有以下三种,:,1.,数学函数描述：,2.,图像描述：,信号的描述,3.,对离散信号而言的序列描述：,xn, = ,0, 0.1, 0.23, -1.2, 1, 2,返回,小结,通常来讲，信号包含信息量。,可以用数学函数，图象以及序列来描述信号。,连续时间信号的自变量是连续的，但函数值可以离散。,小结,离散时间信号的自变量是离散的。,对某些离散时间信号而言，其自变量本来就是离散的，但对有些离散时间信号而言，可以由连续时间信号进行采样得到。,返回,时 移,时移,原信号为：,x(t,),时移信号为：,x(t,),经过时移后的图象,t,0,为位移量，,t,0,0,返回,反褶,反褶,原信号为：,x(t,),反褶后信号为：,返回,尺度变换,尺度变换,原信号为：,x(t,),经过尺度变换后的信号为,：,其中，,a,为任意实系数。,当,|,a,|1,x(t,),被压缩为,x,1,(t),；,当,|,a,|1,x(t,),被拓展为,x,1,(t),图象描述如下：,尺度变换,x(t,),x(2t),x(0.5t),返回,X,(t,),经过尺度变换后的图象变化,自变量变换举例,例,1.1, 1.2, 1.3,：给定信号,x(t,),求,x(-3t+1),。,解答,:,步骤,:,x(t,),时移,x(t+1),x(t+1),反褶,x(-t+1),x(-t+1,),尺度变换,x(-3t+1),自变量变换举例,给定一个连续时间信号,x(t,),求,x(at+b,),的步骤如下：,求,x(t+b,),-,时移,求,x(-t+b,),-,反褶,若,a0,x(t,),值递增。,当,a0,x(t,),值递减。,当,a=0,x(t,),值保持不变。,返回,周期复指数信号,周期复指数信号,假定,a,为纯虚数,令,a=j,0,C=1,则,x(t,),为周期函数,T,为周期,则：,周期复指数信号,基波频率定义如下：,或者,基波周期：,k=0,1,2,周期复指数信号,欧拉公式：,或者,周期复指数信号,进一步推导：,周期复指数信号,例如：给定周期复指数信号为：,周期复指数信号,周期复指数信号在处理信号与系统的大部分问题中起着十分重要的作用，部分原因是由于对许多其它信号来讲，它们可用作极其有用的信号基本构造单元。,周期复指数信号在理论和工程领域是一种重要的基本周期信号。,返回,谐波关系,谐波关系,给定一个周期复指数信号如下：,对信号,如果其频率满足,0,的整数倍,即,k,= k,0,则称信号,x,k,(t,),是,x(t,),的,k,次,谐波。,谐波关系,利用复指数信号谐波关系的加权和,可以建立其它很多周期信号,如下式表示,:,返回,一般复指数信号,一般复指数信号,最一般情况下的复指数信号可以借助已经讨论过的实指数信号和周期复指数信号来给予表示和说明。如,:,如果,C,和,a,为复数,则,x(t,),为复指数信号。,一般复指数信号,通常用极坐标表示,C,，用直角坐标表示,a,。,如,：,极坐标,直角坐标,则,x(t,),的实部,x(t,),的虚部,r0,一般复指数信号,幅度增长和衰减的正弦信号如下图所示：,增长因子为：,返回,1.3.1,连续时间复指数信号,例,1.5,给定一个信号：,把其表示为单一的复指数信号和单一的正弦信号乘积为：,返回,1.3.1,连续时间复指数信号,解答,:,x(t,),可表示为：,利用欧拉公式，得到：,则,x(t,),的幅值为：,返回,1.3.2,离散复指数信号和正弦信号,实指数信号,如果,C,和,为实数,则,xn,为实指数信号。,当,|,|1,，,xn,递增。,|,|1, 0,|,|1, 0,1.3.2,离散复指数信号和正弦信号,当,|,| 1,xn,衰减,：,|,| 0,|,|1,1,和,|,|0,和,m,均为整数。,基波频率为,0,基波频率为,0,/m,基波周期：,0,=0,:,无定义,0,0: 2,/,0,基波周期：,0,=0,:,无定义,0,0: 2,m/,0,返回,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,1.4.1,离散时间单位脉冲和单位阶跃序列,离散时间单位脉冲和单位阶跃序列,定义如下：,返回,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,两者之间的关系,1.,离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分，表示如下：,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,2.,离散时间单位阶跃是单位脉冲的求和函数，如下：,求和区间,求和区间,当,n0,当,n,0,求和区间,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,或者：,当,n0,求和区间,当,n,0,n,n,返回,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,更一般的情况,离散时间单位脉冲函数的采样性质,返回,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,1.4.2,连续时间单位冲激和单位阶跃函数,连续时间单位阶跃函数定义如下：,注意,:,单位阶跃信号在,t=0,点是不连续的，所以,u(t,),在,t=0,的值没有定义,。,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,单位冲激函数,(t),定义如下：,注意,:,单位冲激函数,(t),的函数值在,t=0,为非零的,在所有不为零的时间点,t,函数值都为零,.,而且,(t),对时间,t,的面积为,1,。,返回,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,1.,单位冲激函数,(t),是单位阶跃函数,u(t,),的一次微分：,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,2.,单位阶跃函数是单位冲激函数的积分：,返回,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,采样性质,以及,返回,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,信号通常被分段表示。,例如,假设给定,x(t,),如下所示：,应用单位阶跃信号对时域信号的简化表示,其中,x,1,(t),x,2,(t), x,3,(t),是关于,t,的任意连续时间函数,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,因此，信号可以由函数,u(t,),和,u(t,),的时移函数综合表示。,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,例,1.7,研究如图所示的非连续时间信号,x(t,),。,解：信号可以由单位阶跃函数及其时移函数综合表示如下：,1.4,单位冲激和单位阶跃函数,根据其表示，并结合单位阶跃信号和单位冲激信号之间的关系，可以求出其微分并绘制图形如下：,返回,连续时间和离散时间系统,连续时间系统：,系统,输入,x(t,),输出,y(t,),离散时间系统：,系统,输入,xn,输出,yn,返回,1.5.1,简单系统举例,1.5.1,简单系统举例,例,1.8,分析如图所示的,RC,电路，确定,v,c,(t,),和,v,s,(t,),两者之间的,关系,。,解答,:,1.5.1,简单系统举例,例,1.10,分析某一银行户头按月结余的一个简单模型。,令,yn,为第,n,个月末的结余，假设,yn,按月以下列方程变化。,其中，,xn,-,第,n,个月当中的净存款。,1.5.1,简单系统举例,系统的描述,根据以上例子表明，系统可由数学表达式描述,系统的数学模型。,1,对连续时间系统来讲，数学模型为,微分方程,。,2,对离散时间系统而言，数学模型为,差分方程,。,返回,1.5.2,系统的互联,1.5.2,系统的互联,很多实际系统由几个子系统互联组成。,主要有四种互联方式：,并联,串联,并联,-,串联联结,反馈联结,1.5.2,系统的互联,串联（级联）,并联,系统,1,系统,2,系统,1,系统,2,1.5.2,系统的互联,串联,-,并联联结,系统,1,系统,3,系统,2,系统,4,1.5.2,系统的互联,反馈联结,系统,1,系统,2,返回,1.6.1,记忆系统和无记忆系统,1.6.1,记忆系统和无记忆系统,定义,:,如果对自变量的每一个值，一个系统的输出仅仅决定于该时刻的输入，则这个系统就称为无记忆系统。,假设一个系统用数学关系式描述如下：,这是一个无记忆系统,一个连续时间系统被描述为,1.6.1,记忆系统和无记忆系统,则系统为,记忆系统,。,是,无记忆系统,假设系统可以用数学表达式描述为：,1.6.1,记忆系统和无记忆系统,电容器,就是,记忆系统,的一个典型例子,因为：取输入为电流，输出为电压，则有：,返回,1.6.2,可逆性与可逆系统,1.6.2,可逆性与可逆系统,定义,:,一个系统如果在,不同的输入,下，导致,不同的输出,，则称该系统为,可逆,的。,系统,xn,yn,逆,系统,xn,恒等系统,1.6.2,可逆性与可逆系统,可逆连续时间系统的一个例子如下：,w(t,)=y(t)/2,w(t,)=,x(t,),y(t,)=2x(t),x(t,),y(t,),则该可逆系统的,逆系统,描述为：,1.6.2,可逆性与可逆系统,给定一个系统描述如下：,其逆系统为：,w(t,)=yn-yn-1,wn,=,xn,yn,=,xn,x(t,),yn,原系统和其逆系统级联后，就可得到一个横等系统：,返回,1.6.3,因果性,1.6.3,因果性,如果一个系统在任何时刻的输出只决定于现在的输入以及过去的输入，则该系统为,因果系统,。,因此，假设,初始状态值为零,，,因果系统,在输入信号作用系统之前是无法得到输出值的，也即,系统的输出无法预知未来的输入值。,1.6.3,因果性,RC,电路是,因果,的，因为电容器上的电压仅对现在和过去的源电压值作出反应。,但是，如果定义系统为：,和,则系统不是因果的,为什么,?,返回,1.6.4,稳定性,1.6.4,稳定性,稳定性是系统的又一重要特性。直观上看,，一个稳定的系统在小的输入下的响应是不会,发散,的。,稳定系统,不稳定系统,1.6.4,稳定性,假设，给定一个系统：,有,可见，,yn,无界增长,。所以系统是,不稳定的,。,1.6.4,稳定性,BIBO,定义,一个稳定系统，若其输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的。,怎么判断一个系统的稳定与否？,返回,1.6.5,时不变性,1.6.5,时不变性,从概念上讲，若系统的,特性行为,不随时间而变，则系统是,时不变的,。,例如：,RC,电路如果其,R,和,C,值不随时间改变，则为时不变的,。,1.6.5,时不变性,如果,R,和,C,随时间变化或波动的话，则电路是时变的。,RC,值随时间增大,RC,值随时间减小,返回,1.6.6,线性,1.6.6,线性,线性系统具有一个很重要的性质就是,叠加性,，即：,如果某一个输入是由几个信号的,加权和,组成的话，那么输出也就是系统对这组信号中每一个的响应的加权和。,1.6.6,线性,对一个线性系统，必须同时满足叠加性和比例性或（齐次性）。,叠加性,1.6.6,线性,齐次性,两种性质的结合,:,返回,因果性的举例,例,1.12,假设一系统定义为：,确定系统的因果性,当系统输入为,:,显然系统为非因果的。,因果性的举例,假设系统定义为,：,x(t,),为输入信号,。,同样，假设,x(t,),为单位阶跃信号,。,从右图可以得知系统是因果的，因为,x(t,),值非零,y(t,),值也是非零的,。,时不变性的举例,例,1.14,假设连续时间系统定义为：,令,x,1,(t),为系统的任意输入，并令相应的输出为：,如果将,x,1,(t),关于,t,0,的时移作为第二个输入，则相应的输出为：,时不变,时不变性的举例,例,1.15,假设离散时间系统定义为：,令,x,1,n,为系统的任意输入，其相应的输出为：,如果令,x,1,n,关于,n,0,的时移作为第二输入，则相应的输出为：,时变,时不变性的举例,例,1.16,假设一系统为：,令,x,1,(t),为矩形脉冲，如：,系统是时变的。,线性的举例,例,1.17,考虑一个系统,S,，,其输入,x(t,),和输出,y(t,),的关系为,：,为了判断系统,S,是否是线性的，我们假设,x,1,(t),和,x,2,(t),是系统的两个任意输入,:,线性系统,线性的举例,例,1.18,考虑下述系统的线性性：,定义,x,1,(t), x,2,(t),和,x,3,(t),与上例一样，有,:,则系统是非线性的。,线性的举例,例,1.20,考虑一系统：,可知,:,如果输入为,输出为,则系统为非线性的。,线性的举例,此例中，系统可以描述为：,y,0,n=3,可被看作为线性系统 的零状态响应。,线性的举例,因此，可知初始状态不为零，也即有初始能量存在的线性系统是非线性的，因为它不满足可加性。,返回,确定性信号,确定性信号,:,能由任意确定时间函数描述的信号；指定某一时刻，可确定相应的函数值；例如：,1,、正弦信号：,x(t,) =,Asin,(,0,t +,),2,、实指数信号,:,x(t,) = e,-at,返回,线性时不变系统,线性时不变系统,必须同时满足以下,两条性质,:,1,、线性性,2,、,时不变性,线性性,:,包括两层,即,可加性,和,比例性,(,齐次性,),。,时不变性,:,系统的特征行为不随时间改变,。,返回,