高阶线性微分方程解的结构

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶线性微分方程解的结构,第四节,一、,线性齐次方程解的结构,二、线性非齐次方程解的结构,*,三、常数变易法,n,阶线性微分方程,的一般形式为,时,称为非齐次方程,;,时,称为齐次方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、线性齐次方程解的结构,（一）,n,阶线性微分方程,的概念,一,个,n,阶微分方程，如果其中的未知函数及其个阶导数都,是一次的，则叫它为,n,阶线性微分方程,，简称,n,阶线性方程,我们重点研究二阶线性微分方程,时,称为非齐次方程,;,时,称为齐次方程,.,证毕,（二）、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解,.,证,:,代入方程左边,得,(,叠加原理,),定,理,1.,思考,：,一,般的,n,阶线性微分方程是否也有叠加原理,说明,:,不一定,是所给二阶方程的通解,.,例如,是,某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,:,是定义在区间,I,上的,n,个函数,使得,则称这,n,个函数在,I,上,线性相关,否则称为,线性无关,.,例如，,在,(,),上都有,故它们在任何区间,I,上都,线性相关,;,又如,，,若在某区间,I,上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为,0,可见,在任何区间,I,上都,线性无关,.,若存在,不全为,0,的常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个函数在区间,I,上线性相关与线性无关的,充要条件,:,线性相关,(,无妨设,线性无关,常数,注,:,中有一个恒为,0,则,必线性,相关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,:,常数,对于,n,个函数如何确定它们的线性相关性，有行列式,wronsky,理论,定理,2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数,),是该方程的通解,.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,定理,2,.,是,n,阶齐次方程,的,n,个线性无关解,则,方程的通解为,注,：,n,阶齐次线性方程的解构成,n,维向量空间,二、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y,(,x,),是相应齐次方程的通解,定理,3.,则,是非齐次方程的通解,.,证,:,将,代入方程左端,得,复习 目录 上页 下页 返回 结束,是非齐次方程的解,又,Y,中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而,也是通解,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,3.,是对应齐次方程的,n,个线性,无关特解,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常数,则该方程的通解是,().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例,3.,提示,:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关,.,(,反证法可证,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,已知微分方程,个解,求此,方程满足初始条件,的,特解,.,解,:,是,对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原,方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有,三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解,.,(,非齐次方程之解的叠加原理,),注,:,定理,4,均可推广到,n,阶线性非齐次方程,.,例,则,定理,5.,是方程,的特解,则,的特解,.,是,的特解,.,是,其中,是实值函数,例,是方程,的特解,则,是方程,的特解。,是方程,的特解。,*三,、常数变易法,复习,:,常数变易法,:,对应齐次方程的通解,:,设,非齐次方程的解为,代入原方程确定,对,二阶非齐次方程,情形,1.,已知对应齐次方程通解,:,设的解为,由于有两个待定函数,所以要建立两个方程,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,于是,将,以上结果代入方程,:,得,故,的系数行列式,是对应,齐次方程的解,P10,目录 上页 下页 返回 结束,积分得,:,代入 即得非齐次方程的通解,:,于是得,说明,:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一,个,条件,方程的引入是为了简化计算,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,的通解为,的通解,.,解,:,将所给方程化为,:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组,:,积分得,故所求,通解为,目录 上页 下页 返回 结束,情形,2.,仅知,的齐次方程的一个非零特解,代入,化简得,设其,通解为,积分得,(,一阶线性方程,),由此得原方程的通解,:,代入,目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,的通解,.,解,:,对应齐次方程为,由观察可知它有特解,:,令,代入非齐次方程后化简得,此题不需再作变换,.,特征根,:,设的特解为,于是得的通解,:,故原方程通解为,(,二阶常系数非齐次方程,),代入可得,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,