风险与收益衡量的基础知识

第一章,风险和收益的衡量,第一节 基础知识,数学期望,方差,标准差,协方差,相关系数,定义1,设,X,是离散型随机变量，它的概率分布是:,P,X,=,x,k,=,p,k,k,=1,2,也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,如果,有限,定义,X,的数学期望,数学期望,多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2,乙的技术较好。,例1,X,甲,X,乙,E（X,甲,）,E（X,乙,）,一批产品有一、二、三等品，等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04。若其产值分别为6元，5.4元，5元，4元及0元。求产品的平均产值。,例2,X,X,E（X）,数学期望的性质,1.设,C,是常数，则E(,C,)=,C,;,4.设,X,、,Y,独立，则,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,);,2.若,k,是常数，则,E,(,kX,)=,kE,(,X,);,3.,E,(,X,1,+,X,2,)=,E,(,X,1,)+,E,(,X,2,);,注意:由,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),不一定能推出,X,Y,独立,设,X,是连续型随机变量，其密度函数 为,f,(,x,),如果,有限,定义X的数学期望为,也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,连续型随机变量的数学期望,仅用数学期望反映事物特征行吗？,某零件的真实长度为,a,，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果,X,用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,乙仪器测量结果,甲仪器测量结果,较好,测量结果的均值都是,a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,乙较好,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,中心,中心,方差,采用平方是为了保证一切,差值,X,-,E,(,X,)都起正面的作用,由于它与,X,具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.,设,X,是一个随机变量，若,E,X,-,E,(,X,),2,0,Var,(,Y,)0,在不致引起混淆时，记,为 .,关于,XY,的符号:,XY,1,.,当,XY,0,称X与Y为,正相关,.,当,XY,=0,称,X与Y,不相关,当,XY,0,称X与Y为,负相关,当,XY,=1,称,X与Y,完全正相关,当,XY,=-1,称,X与Y,完全负相关,正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势.,负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势.,接上例,Var（P,甲,）,=0.25（10-5.25）,2,+0.5（5-5.25）,2,+0.25（1-5.25）,2,=10.19,甲,=3.19,Var（P,乙,）,=0.25（6-5）,2,+0.5（5-5）,2,+0.25（1-5）,2,=0.5,乙,=0.71,XY,=2.25,（3.19,0.71）=0.997,单一资产的风险与收益的衡量,历史收益与风险,预期未来收益与风险,收益率的计算,波音公司股票1983年12月31日和1984年12月31日的价格分别是29.13美元和37.75美元，1984年该股票每股股息是0.93美元。,第i种资产第t期的收益率,预期收益,可能的经济情况,概率,投资收益率（%）,Ps,i,r,1,r,2,r,3,利率高 经济衰退,0.20,-18,-13,-4,经济衰退 利率下降,0.25,16,16,-2,利率高，经济高速增长,0.30,12,32,21,经济高速增长，利率下降,0.20,40,12,20,预期收益率（%）,1,14,14,10,风 险,金融学上的风险表示收益的不确定性。（注意：风险与损失的意义不同）。由统计学上知道，所谓不确定就是偏离正常值（均值）的程度，那么，方差（标准差）是最好的工具。,预期风险,投资品种,1,2,3,0.0376,0.0245,0.01365,0.11939,0.1565,0.1168,年份,股票收益率（%）,1,2,3,1993,10,11,-6,1994,8,4,18,1995,-4,-3,4,1996,22,-2,-5,1997,8,14,32,1998,-11,-9,-7,1999,14,15,24,2000,12,13,-17,2001,-9,-3,2,2002,12,4,27,6.20%,4.40%,7.20%,历史平均收益率,不是 无偏估计,历史风险,风险衡量,投资品种,1,2,3,0.01144,0.007249,0.028373,10.7%,8.51%,16.84%,资产组合收益和风险的计算,两种证券的组合,年份,多雨年份,少雨年份,牛市,熊市,概率,0.4,0.3,0.3,冷饮公司收益率r,1,10%,-4%,20%,伞公司收益率r,2,30%,12%,-20%,国库券r,3,3%,3%,3%,老王的组合,50%冷饮,50%伞,50%伞,50%国库券,E(r,1,）=8.8%,(r,1,）=9.35%,E(r,2,）=9.6%,(r,2,）=20.78%,E(r,国库券,）=3%,(r,国库券,）=0,50%伞、50%冷饮组合收益,E(r,p,)=50%8.8%+50%9.6%=9.2%,50%伞、50%冷饮组合风险,50%伞、50%冷饮组合风险,50%伞、50%冷饮组合风险,Cov(r,1,r,2,)=-0.00989,50%伞、50%国库券组合,E(r,p,)=50%9.6+,50%3%=,6.3%,各种组合比较,资产组合,期望收益（,%,）,标准差（,%,）,100%伞公司,100%冷饮,伞与国库券,伞与冷饮,9.6,8.8,6.3,9.2,20.78,9.35,10.39,8.96,N种资产的预期收益,其中,N种资产的风险,如何推导？,