15讲 梁的挠曲线方程与积分解法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第十三讲 梁的挠曲线方程与积分解法,湖南理工学院,曾纪杰,梁的挠度和转角,y,p,x,c,w,1,、度量弯曲变形的两个量：,（,1,）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移,称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）,（,2,）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移,称为转角。,一 弯曲变形的量度及符号规定,梁的挠度和转角,y,p,x,c,w,（,2,）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。,2,、符号规定：,（,1,）坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为,x,轴，向右为正；以,y,轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。,（,3,）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；,顺时针转向的转角为负。,W（-）,（,-,）,1,、挠曲线：,在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条平面曲线，这条曲线称为挠曲线。,轴线,纵向对称面,F,q,M,弯曲后梁的轴线,（挠曲线）,力学公式：,数学公式：,1,M,EI,纯,弯曲,横,力,弯曲,（,l,h,5,）,1,（,x,）,M（x）,EI,1,（,x,）,d,2,w,d,x,2,1+(,d,w,d,x,),2,3/2,2,、挠曲线的近似微分方程,(1),曲率与弯矩,、抗弯刚度的关系,小挠度情形下：,此即,弹性曲线的小挠度近似微分方程。,1,横力,弯曲,（,x,）,M（x）,EI,max,（0.010.001）,l,；,(,d,d,x,),2,0,1,（,x,）,d,2,d,x,2,1+(,d,d,x,),2,3/2,M,EI,d,2,d,x,2,（x）,2,o,w,x,M,M,选取如图坐标系，则,弯矩,M,与 恒为同号,(2),挠曲线近似微分方程符号及近似解释,M,EI,d,2,d,x,2,（x）,近似解释：（,1,）忽略了 剪力的影响；,（,2,）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。,2,2,(3),选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程,d,2,d,x,2,M(x,),EI,M(x,),EI,d,2,d,x,2,1,、积分法,基本方法,利用积分法求梁变形的一般步骤：,（,1,）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；,分段的原则,:,凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；,凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点,；,中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间,的相互作用力，故应作为分段点；,二 计算弯曲变形的两种方法,(2),分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次,对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：,再积分一次，得挠曲线方程：,(3),利用边界条件、连续条件确定积分常数,积分常数的数目,取决于的分段数,M,(x),n,段,积分常数,2n,个,举例：,分,2,段，则积分常数,2x2=4,个,积分常数的确定,边界条件和连续条件：,边界条件：,梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。,连续条件：,梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。,边界条件,积分常数,2n,个,=,2n,个,连续条件,边界条件：,连续条件：,列出图示结构的边界条件和连续条件。,列出图示结构的边界条件和连续条件。,解：边界条件：,连续条件：,积分常数的物理意义和几何意义,物理意义：将,x=0,代入转角方程和挠曲线方程，得,即坐标原点处梁的转角，它的,EI,倍就是积分常数,C,；,即坐标原点处梁的挠度的,EI,倍就是积分常数,D,。,几何意义：,C,转角,D,挠度,(4),建立转角方程和挠曲线方程；,(5),计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 和 及其 所在截面。,A,q,B,L,例,题,1:,悬臂梁受力如图所示。求 和 。,X,y,x,取,参考坐标系,Axy,。,解：,1,、列出梁的弯矩方程,2,、,积分一次：,积分二次：,（,1,）,（,2,）,3,、确定常数,C,、,D.,由边界条件：,代入（,1,）得：,代入（,2,）得：,代入（,1,）（,2,）得：,代入得：,将,（与,C,比较知：）,（与,D,比较知：）,常数,C,表示起始截面的转角,刚度,(,EI,),因此,常数,D,表示起始截面的挠度,刚度,(,EI,),例,题,2:,一简支梁受力如图所示。试求 和 。,A,L,F,C,a,b,y,x,解：,1,、求支座反力,x,2,、分段列出梁的弯矩方程,BC,段,x,AC,段,B,BC,段,AC,段,3,、确定常数,由边界条件：,（,1,）,（,2,）,由光滑连续条件：,（,3,）,（,4,）,可,解得：,则,简支梁的转角方程和挠度方程为,BC,段,AC,段,4,、求转角,代入得：,代入得：,5,、求,。,求得 的位置值,x,。,则由,解得：,代入 得：,若 则：,在简支梁情况下，不管,F,作用在何处（支承除外），,可用,中间挠度代替，其误差不大，不超过,3%,。,作业：刘鸿文，,材料力学,（第五版）,6-3 d,；,6-4 d,