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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一,、,平面曲线积分与路径无关的条件,二,、,二元函数的全微分求积,第三节,(2),曲线积分与路径无 关的条件,第十一章,G,y,x,o,1,、,曲线积分与路径义无关的定义,B,A,如果在区域,G,内有,一、平面曲线积分与路径无关的条件,2,、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理,2.,设,D,是单连通域,在,D,内,具有一阶连续偏导数,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),(4),在,D,内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关,.,函数,则以下四个条件,等价,:,在,D,内是某一函数,的全微分,即,注意,:,1,.,常用 来判断,曲线积分与路径无关,;,2,.,当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径,平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径,;,O,A,B,如果,D,是复连通域,即使,曲线积分也不一定与路径无关,。,L,不包围原点,L,包围原点,注意以上的结果与,L,的形状无关。,例,1,解,练习,证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值,解；,曲线积分与路径无关。,可沿折线积分,二,、,二元函数的全微分求积,1.,原函数,:,如果存在一个函数,u(x,y),，,使得,du(x,y)=,P(x,y)dx+Q(x,y)dy,原函数,全微分式,例如,全微分式,2.,判别定理,定理,3.,设函数,P(x,y),Q(x,y),在单连通域,D,内具有一阶连续偏导数，则,P(x,y)dx+Q(x,y)dy,在,D,内为某一函数全微分,在,D,内恒成立,.,3.,全微分求积,当,Pdx+Qdy,为全微分式时，,求其原函数,u(x,y),的过程,.,与路径无关，可选平行于坐,标轴的折线作为积分路径,.,如图取 为积分路径,得,如图取 为积分路径,得,例,2,验证,:,在整个坐标平面内是某个函数,u,的全微分，并求,u,在整个坐标面上是某个函数 的全微分,注：起点可以任选，一般选原点,原函数可以相差一个常数,练习,解,或,例,3,解,*,全微分方程及其求法,定义,:,若有全微分形式,例如,所以原方程是全微分方程,.,全微分方程,全微分方程的解法,:,1,应用曲线积分与路径无关,则全微分方程的通解为,例,1,这是全微分方程,.,方程的通解为,故,故,例,1,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例,2,用直接凑,全微分的方法,.,
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