资源描述
,-,41,-,2.3,函数的应用,(),2,.,3,函数的应用,(,),1,.,会利用一次函数和二次函数及分段函数模型解决简单的实际问题,.,2,.,理解数学建模的过程,并不断地加强数学的应用意识,.,1,2,3,1,.,直线型的函数模型,我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每个区间的变化率都一样,.,解题时常设为,:,正比例型,:,y=kx,(,k,0),一次函数型,:,y=kx+b,(,k,0),.,当,k,0,时两者都是增长型函数,k,的值越大增速越快,.,如在市场经济大潮中,普遍存在着最优化问题,最佳投资、最小成本等,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,.,如果一个问题中有两个变量,且这两个变量之间存在一次函数关系,那么可以用一次函数模型来解决,.,名师点拨,在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,;,二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,使结果符合实际问题的要求,.,1,2,3,【做一做,1,】,据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为,2 000,辆次,其中变速车存车费是每辆一次,0,.,8,元,普通车存车费是每辆一次,0,.,5,元,.,若普通车存车数为,x,辆次,存车费总收入为,y,元,则,y,关于,x,的函数关系式是,(,),A.,y=,0,.,3,x+,800(0,x,2 000),B.,y=,0,.,3,x+,1 600(0,x,2 000),C.,y=-,0,.,3,x+,800(0,x,2 000),D.,y=-,0,.,3,x+,1 600(0,x,2 000),解析,:,由题意可知总收入,y,(,单位,:,元,),关于,x,(,单位,:,辆次,),的函数关系式为,y=,0,.,5,x+,(2,000,-x,),0,.,8,=-,0,.,3,x+,1,600,0,x,2,000,.,答案,:,D,1,2,3,现在人们注重对普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大、风险决策、最优化等问题的研究,透过实际问题的背景,抓住本质,挖掘隐含的数量关系,可抽象成二次函数的最值模型,.,投物、射击、喷泉灌溉等物体运动的轨迹有某种规律,或者变量的变化具有二次函数关系时,可以通过直角坐标系由实际问题建立抛物线的数学模型,利用图象的性质解答,.,1,2,3,知识拓展,在解决应用题时,列出函数的解析式常用的有待定系数法、归纳法及方程法,.,(1),待定系数法,:,已知条件中已给出了含参数的函数关系式,或可确定函数类型,此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数,(,未知系数,),的值,就可以得到确定的函数解析式,;,(2),归纳法,:,先让自变量,x,取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数解析式,;,(3),方程法,:,用,x,表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数关系式,此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法,实际上函数关系式就是含,x,y,的二元方程,.,1,2,3,【做一做,2,】,如图所示,某单位计划建造一排连续三个相同的矩形饲养场,现有总长为,1,的围墙材料,则当每个矩形的长宽之比为,时,能使围成的饲养场的总面积最大,.,1,2,3,3,.,分段函数模型,有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不相同,此时我们可以利用分段函数模型来进行刻画,.,由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用,.,名师点拨,1,.,分段函数的,“,段,”,一定要分得合理,不重不漏,;,2,.,分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集,;,3,.,分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后比较再下结论,.,1,2,3,【做一做,3,】,已知,A,B,两地相距,150 km,.,某人开汽车以,60 km/h,的速度从,A,地到达,B,地,在,B,地停留,1 h,后再以,50 km/h,的速度返回,A,地,.,把汽车离开,A,地的距离,x,表示为时间,t,的函数表达式是,(,),1,2,3,答案,:,D,一、数学建模的一般步骤,剖析,:,数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤,.,识模就是把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照,初步判断问题解决的方向,;,析模就是精读问题,做到,“,咬文嚼字,”,抓住关键词,化简、转换问题,注意已知量,发现未知量,挖掘隐含量,;,建模是通过数学符号化,把问题转化为数学模型的过程,;,解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解,;,由于应用问题本身的繁杂性、开放性,根据自己理解所建立的模型也有局限性,最后要对模型的解检验,或取或舍,或重新修正模型,直到满意为止,.,归纳总结,实际问题的解决步骤还可以用下面的口诀表述,:,(1),收集数据,画图提出假设,;,(2),依托图表,理顺数量关系,;,(3),抓住关键,建立函数模型,;,(4),精确计算,求解数学问题,;,(5),回到实际,检验问题结果,.,二、教材中的,“,思考与讨论,”,对例,2,中的,“,客房问题,”,你有什么体会,?,在现实问题中,有没有与它类似的问题,?,如果有,请举例说明,.,剖析,:“,客房问题,”,反映的规律性在实际中有很多典例,实际归结到最后,“,客房问题,”,是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活中的,“,调价问题,”,与其类似,其模型为,:,当某类商品在销售价格为,b,元时,可售出,a,件,现欲提价,若单价每提高,m,元,则销售量减少,n,件,求提高多少元时销售的总收入最高,?,设将商品售价提高,x,个,m,元,则总收入为,y=,(,b+xm,)(,a-xn,),=-mnx,2,+,(,am-bn,),x+ab.,它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零,根据二次函数的知识知它有最大值,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,1,】,某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有某型号电脑,6,台,乙分公司有同一型号的电脑,12,台,.,现,A,地某单位向该公司购买该型号的电脑,10,台,B,地某单位向该公司购买该型号的电脑,8,台,.,已知甲地运往,A,B,两地每台电脑的运费分别是,40,元和,30,元,乙地运往,A,B,两地每台电脑的运费分别是,80,元和,50,元,设甲地调运,x,台至,B,地,该公司运往,A,地和,B,地的总运费为,y,元,.,(1),求,y,关于,x,的函数关系式,;,(2),若总运费不超过,1 000,元,则有几种调运方案,?,(3),求总运费最低的调运方案及最低运费,.,分析,:,解答本题首先表示出从甲、乙两地分别运至,A,B,两地的电脑台数,求得函数的解析式,再利用函数的单调性求出最低运费,.,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,(1),设甲地调运,x,台到,B,地,则剩下,(6,-x,),台电脑调运到,A,地,;,乙地应调运,(8,-x,),台电脑至,B,地,运往,A,地,12,-,(8,-x,),=,(,x+,4),台电脑,(0,x,6,x,N,),则总运费,y=,30,x+,40(6,-x,),+,50(8,-x,),+,80(,x+,4),=,20,x+,960,故,y=,20,x+,960(,x,N,且,0,x,6),.,(2),若使,y,1,000,即,20,x+,960,1,000,得,x,2,.,因为,0,x,6,x,N,所以,0,x,2,x,N,.,所以,x=,0,1,2,即有,3,种调运方案,.,(3),因为,y=,20,x+,960,是,R,上的增函数,且,0,x,6,x,N,所以当,x=,0,时,y,有最小值,为,960,.,所以总运费最低的调运方案为从甲地运,6,台到,A,地,从乙地运,8,台到,B,地、运,4,台到,A,地,运费最低为,960,元,.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,通过对本题的求解,我们可得到以下启发,:,(1),读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,.,本题涉及电脑台数与运费的关系,解答的关键在于表示出运往,A,B,两地的电脑台数,;,(2),根据已知条件建立函数关系式,将实际问题数学化,注意标注自变量的取值范围,如本题中,0,x,6,且,x,N,;,(3),本题通过一次函数的解析式,利用单调性,讨论了最值问题,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,1,】,某服装厂现有甲种布料,42,米,乙种布料,30,米,现计划用这两种布料生产,M,L,两种型号的校服共,40,件,.,已知做一件,M,型号的校服需用甲种布料,0,.,8,米,乙种布料,1,.,1,米,可获利,45,元,;,做一件,L,型号的校服需用甲种布料,1,.,2,米,乙种布料,0,.,5,米,可获利,30,元,.,设生产,M,型号的校服件数为,x,用这批布料生产这两种型号的校服所获的利润为,y,(,单位,:,元,),.,(1),写出,y,(,单位,:,元,),关于,x,(,单位,:,件,),的函数解析式,并求出自变量,x,的取值范围,;,(2),该厂在生产这批校服时,当,M,型号的校服为多少件时,能使该厂所获的利润最大,?,最大利润为多少,?,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,(1),生产,M,型号的校服为,x,件时,生产,L,型号的校服为,40,-x,件,因此生产两种型号的校服所获利润,y=,45,x+,30(40,-x,),即,y=,15,x+,1,200,.,所以,自变量,x,的取值为,15,或,16,.,(2),因为,y=,15,x+,1,200,y,随,x,的增大而增大,所以当,x=,16,时,y,取最大值,15,16,+,1,200,=,1,440,即工厂安排生产,M,型号的校服,16,件时,工厂能获最大利润,1,440,元,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,2,】,一位篮球运动员在距篮下,4 m,处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为,2,.,5 m,时,达到最大高度为,3,.,5 m,然后准确落入篮圈,.,已知篮圈中心到地面的距离为,3,.,05 m,.,(,1),建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式,;,(2),该篮球运动员身高,1,.,9 m,在这次跳投中,球在头顶上方,0,.,25 m,处出手,问,:,球出手时,他跳离地面的高度是多少,?,分析,:,解决此类问题需以顶点坐标、对称轴、特殊点为突破口,.,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,(1),由于抛物线的顶点是,(0,3,.,5),故可设其解析式为,y=ax,2,+,3,.,5(,a,0),.,因为抛物线过点,(1,.,5,3,.,05),所以,a,1,.,5,2,+,3,.,5,=,3,.,05,解得,a=-,0,.,2,.,所以抛物线的解析式为,y=-,0,.,2,x,2,+,3,.,5,.,(2),当,x=-,2,.,5,时,y=,2,.,25,.,故球出手时,他跳离地面的高度是,2,.,25,-,1,.,9,-,0,.,25,=,0,.,10(m),.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,解这类问题一般分为以下四个步骤,:,(1),建立适当的平面直角坐标系,(,若题目中给出,不用重建,),.,(2),根据给定的条件,找出抛物线上已知的点,并写出坐标,.,(3),利用已知点的坐标,求出抛物线的解析式,.,当已知三个点的坐标时,可用一般式,y=ax,2,+bx+c,(,a,0),求其解析式,;,当已知顶点坐标为,(,h,k,),和另外一点的坐标时,可用顶点式,y=a,(,x-h,),2,+k,(,a,0),求其解析式,;,当已知抛物线与,x,轴的两个交点的坐标分别为,(,x,1,0),(,x,2,0),时,可设,y=a,(,x-x,1,)(,x-x,2,)(,a,0),求其解析式,.,(4),利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标,从而使问题得到解决,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,某商场购进一批单价为,16,元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件,20,元的价格销售时,每月能卖,360,件,若按每件,25,元的价格销售时,每月能卖,210,件,.,假定每月销售件数,y,(,单位,:,件,),是价格,x,(,单位,:,元,/,件,),的一次函数,.,(1),试求,y,与,x,之间的函数关系式,;,(2),在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,?,每月的最大利润是多少,?(,总利润,=,总收入,-,总成本,),题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,(1),依题意设,y=kx+b,(,k,0),故,y=-,30,x+,960(16,x,32),.,(2),每月获得利润,p=,(,-,30,x+,960)(,x-,16),=,30(,-x,2,+,48,x-,512),=-,30(,x-,24),2,+,1,920,.,故当,x=,24,时,p,有最大值,最大值为,1,920,.,故销售价格定为每件,24,元时,每月获得的利润最大,最大利润是,1,920,元,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,3,】,在扶贫活动中,为了尽快脱贫,(,无债务,),致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以,5,.,8,万元的优惠价格转让给了尚有,5,万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙,并约定在该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支,3 600,元后,逐步偿还转让费,(,不计息,),.,在甲提供的资料中有,:,这种消费品的进价为每件,14,元,;,该店月销售量,Q,(,单位,:,百件,),与销售价格,P,(,单位,:,元,),之间的关系如图所示,;,每月需各种开支,2 000,元,.,(1),当商品的价格为每件多少元时,月利润余额最大,?,并求最大余额,.,(2),企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫,?,题型一,题型二,题型三,题型四,分析,:,解答本题首先要仔细阅读,读懂题意,明确各种数据之间的关系式,然后建立函数关系式,解答相应问题,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,1,.,本题经过了三次建模,:(1),根据月销量与销售价格之间的关系图建立,Q,与,P,的函数关系,;(2),建立利润余额函数,;(3),建立脱贫不等式,.,2,.,本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中,由于在不同的背景下解决的问题发生变化,因此在不同范围中,建立函数模型也不一样,因此分段函数应用很广泛,.,3,.,在构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理,不漏不重,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,3,】,某地区的农产品,A,第,x,天,(1,x,20),的销售价格,p=,50,-|x-,6,|,(,单位,:,元,/,百斤,),.,一农户在第,x,天,(1,x,20),农产品,A,的销售量,q=,40,+|x-,8,|,(,单位,:,百斤,),.,(1),求该农户在第,7,天销售农产品,A,的收入,;,(2),问,:,这,20,天中该农户在哪一天的销售收入最大,?,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,(1),由已知得第,7,天的销售价格,p=,49,销售量,q=,41,.,故第,7,天的销售收入,W,7,=,49,41,=,2,009,.,(2),设第,x,天的销售收入为,W,x,元,当,1,x,6,时,W,x,=,(44,+x,)(48,-x,),=-x,2,+,4,x+,2,112,=-,(,x-,2),2,+,2,116,故当,x=,2,时,W,x,取最大值,W,2,=,2,116;,当,8,x,20,时,W,x,=,(56,-x,)(32,+x,),=-x,2,+,24,x+,1,792,=-,(,x-,12),2,+,1,936,故当,x=,12,时,W,x,取最大值,W,12,=,1,936,.,因为,W,2,W,7,W,12,所以这,20,天中该农户在第,2,天的销售收入最大,.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点,:,忽视问题中变量的实际意义致误,【例,4,】,如图所示,在矩形,ABCD,中,已知,AB=a,BC=b,(,ab,),在,AB,AD,CB,CD,上分别截取,AE=AH=CF=CG=x,(,x,0),设四边形,EFGH,的面积为,y,.,(1),写出四边形,EFGH,的面积,y,与,x,之间的函数关系式,;,(2),求当,x,为何值时,y,取得最大值,最大值是多少,?,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析,:(1),问中没有注意实际问题中,x,的取值范围,;,(2),问中没有讨论对称轴与区间的关系,从根本上是由,(1),问中没明确定义域而造成最后的错误,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量,x,要受实际问题的约束,看似一个细节失误,它将会造成严重问题,.,例如,本题就直接造成了第,(2),问的错误解法,因此大家不要因小失大,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,4,】,用一根长为,12 m,的细铁丝围成一个矩形,要求围成的矩形的长边与短边之比最小为,2,.,求围成矩形的最大面积,.,1 2 3 4 5 6,1,一段导线,在,0,时的电阻为,2,欧,温度每增加,1,电阻增加,0,.,008,欧,那么电阻,R,(,单位,:,欧,),表示为温度,t,(,单位,:,),的函数关系式为,(,),A.,R=,0,.,008,t,B.,R=,2,+,0,.,008,t,C.,R=,2,.,008,t,D.,R=,2,t+,0,.,008,解得,a=,0,.,008,b=,2,故,R=,0,.,008,t+,2,.,答案,:,B,1 2 3 4 5 6,2,一等腰三角形的周长是,20,则底边长,y,是关于腰长,x,的函数,其解析式为,(,),A.,y=,20,-,2,x,(,x,10),B.,y=,20,-,2,x,(,x,10),C.,y=,20,-,2,x,(5,x,10),D.,y=,20,-,2,x,(5,x,5,时,只能售出,500,台,故利润,y,关于年产量,x,之间的函数关系为,y=R,(,x,),-,(0,.,5,+,0,.,25,x,),(2),当,0,x,5,时,y=-,0,.,5,x,2,+,4,.,75,x-,0,.,5,当,x=,4,.,75,时,y,max,=,10,.,781,25(,万元,),.,当,x,5,时,y,12,-,1,.,25,=,10,.,75(,万元,),因此当年产量为,475,台时,该厂所得利润最大,.,
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