数学史第八节课剖析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,中外数学开展史,上海市市东中学 杨锋,第八讲 中国数学,-之“中国数学的起源与早期开展,1,一、中国数学的起源,中国数学的起源与早期开展,数概念的产生是人类认识史上的一次飞跃，它标志着数学的起源从出土文物可以看到，在中国，发生这种飞跃的时间不晚于7000年前例如，这一时期河姆渡(今浙江余姚境内)遗址中的骨耜都有两个孔，许多陶器有三足，一些陶钵底上刻着四叶纹，这是形成“二、三、四等数的概念的依据,2,约6000年前的西安半坡遗址中，有的陶器上有整齐排列的点子，数目由一到九(图41)，这说明人们已认识了“九,3,简单几何图形的出现，是数学起源的另一标志半坡出土的陶器上，有圆、三角形、长方形、菱形等各种几何图形圆柱形陶纺轮的烧制，说明人们有了圆柱的观念；而造型精致的空心陶球，那么说明人们已掌握一些关于球的知识这些都是萌芽状态中的几何我们从某些陶器的图案中，可以推测菱形产生的有趣过程，它表达了由具体到抽象的认识规律(图42),4,数概念产生之后，原始记数法便随之出现了易经上说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契三国时吴人虞翮在易九家义中也说：“事大，大结其绳；事小，小结其绳，结之多少，随物众寡这些记载说明，结绳记数是原始社会普遍使用的一种记数方法刻划记数是比结绳记数进步的一种记数法，也产生于原始社会人们在竹、木或骨片上面刻出一个个小口，表示一定的数目，这大概就是易经所说的契例如1975年在青海乐都出土的原始社会末期遗物中，有40件带有三角形小口的骨片(图43)，这些小口便是用来记数的,5,中国最早的数字出现于原始陶器，可称之为陶文例如，半坡出土的陶器上就有如下数字符号：,6,陕西姜寨出土的陶器(约6000年前)上也有类似的数字：很明显，这些数字都属十进制系统,7,二、商周数学,大约4000年前夏朝的建立，标志着中国进入了奴隶社会随着社会的开展，商代出现了比较成熟的文字-甲骨文，西周那么演变为金文，即刻在青铜器上的铭文,8,商代甲骨文说明，当时已有比较完整的数字系统从1到10的每个整数，以及100，1000，10000，都有相应的符号表示：,1甲骨文中的数字,9,十、百、千、万的倍数多用合文，例如10的倍数,10,在甲骨文中，最大的数是三万，写作 人们能表示三万以内的任何自然数(也许更多)，例如156写作 甲骨文中的数字，大局部联系着实物，如五十犬，三十羊也有一些甲骨上的数字是独立出现的，人们曾在一片龟甲上发现了10以内的全部自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念,11,2记数和运算,商代数学中，十进制已相当完善了，这是中国人民的一项出色创造，在世界数学史上有重要意义著名的英国科学史家李约瑟(JNeedham，1900-1995)说：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了,12,对甲骨文的研究说明，商朝人已经会做自然数的加、减法和简单乘法了，遗憾的是不知道他们的具体算法，因为甲骨文记录的只是运算结果，而没有运算过程,13,周代记数法与商代相比，有个明显的进步，就是出现了位值记数如20世纪70年代出土的一个中山国铜灯铭文中，355记作 ，末位的五表示个位五，而前一个五表示五十，两个五间没有用十隔开这说明当时已有了位值的观念，只是应用不多，还未形成系统的制度,14,3干支纪年法,六十循环的“天干地支记数法，是商代数学的又一个成就这种方法主要用于历法，可称干支纪年法天干有10个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干与地支相配，共得60个不同单位-以甲子开场，以癸亥告终然后又是甲子，如此循环不断中国农历至今还使用这种方法,15,三、春秋战国时代的数学,春秋战国时代，中国正经历着由奴隶社会到封建社会的巨大变革，学术思想十分活泼这一时期形成的诸子百家，对科学文化影响极大数学园地更是生机盎然，朝气勃勃,16,值得注意的是，人们在商代甲骨文和西周金文的根底上，逐渐懂得把字写在竹片(或木片)上，用绳子穿成册，这就是早期的书写上字的竹片称为简，或竹简春秋战国的大批数学成果，便是通过竹简流传下来的,17,墨经中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试墨经是以墨翟di(约公元前490-前405)为首的墨家学派的著作，包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题它试图把形式逻辑用于几何研究，这是该书的显著特色在这一点上，它同欧几里得几何原本相似，一些几何定义也与原本中的定义等价下面略举几例：,1几何与逻辑,18,(1)“平，同高也-两线间高相等，叫平这实际是平行线的定义,(2)“同长，以正相尽也-如果两条线段重合，就叫同长,(3)“中，同长也-到线段两端的距离一样的点叫中(点),(4)“圆，一中同长也-到一个中心距离一样的图形叫圆,19,墨经中依次给出点、线、面等根本几何图形的定义，这些图形的名称分别为端、尺、区在研究线的过程中，墨家明确给出“有穷及“无穷的定义：“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也即：用线段去量一个区域，假设能到达距边缘缺乏一线的程度，叫有穷；假设永远达不到这种程度，叫无穷,20,墨经中还有一条重要记载：“小故，有之不必然，无之必不然大故，有之必然用现代语言说，大故是“充分条件而小故那么是“必要条件大故和小故的区分，在哲学史和数学史上都是十分重要的事件,可惜的是，随着墨家的衰落，墨家数学理论在形成体系之前便夭折了,21,2算术,到公元前四、五世纪时，分数已在中国广泛应用了，有些分数还有特殊的名称，如 叫半， 叫少半， 叫大半。位值制和整数四那么运算已被熟练掌握，考工记中还有简单的分数运算。,22,春秋战国时代，“九九歌已是家喻户晓的常识了管子等书中便记载着九九歌诀，顺序与今不同，是从“九九八十一起，到“一一如一止至于改为“一一如一到“九九八十一的顺序，那么是宋元时代的事情了,23,3对数学中“无限的认识,有限与无限的矛盾，是数学中的一对根本矛盾对这一问题认识的不断深化，推动着古今数学的开展,24,据战国时成书的庄子记载，惠施曾提出“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一的观点其中“大一、“小一可理解为无穷大，无穷小这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷小,25,书中“一尺之棰，日取其半，万世不竭的著名命题，可以看作是对“小一的发挥一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去，永远也取不完。即第一天取 ，第二天取 ，第n天取 ，不管n多大， 总不为0，其中表达了物质无限可分的思想,26,同庄子一样，墨经中也讨论了分割物体的问题但墨家反对物质的无限可分他们认为，如果把一条线段分成前后两半(比方以左为前，以右为后)，保存前半而弃去后半(图44中OB)，再弃去前半的后半(即CO)，如此不断地分割和取舍，剩余局部小到不能再分为两半，就是端(A点),27,如果采用前后取的方法，即第一次取线段前半，第二次取前半的后半，第三次取后半的前半，取到最后，也会出现一个不可分割的端，这个端在线段中间而不在边缘(位于CO之间)，这就是墨经所云“前那么中无为半，犹端也；前后取，那么端中也,很明显，这种思想与近代极限理论是相符的数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似所以，我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型，其中蕴含着“点是线段无限分割之极限的思想,28,4组合数学的萌芽,组合数学虽是现代数学的分支，它的思想却可以追溯到遥远的古代春秋时期成书的易经便含有组合数学的萌芽,29,易经是中国最古老的书籍之一，书中通过阴阳卦爻预言吉凶“-是阴爻，“是阳爻，合称“两仪每次取两个，按不同顺序排列，生成“四象；每次取三个，生成八卦(图45)；每次取六个，那么生成六十四卦四象、八卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r个，共有 种排列法例如，在两种卦爻中每次取3个，共有 8种排列，这就是八卦,30,德国数学家莱布尼茨(GWLeibniz，1646-1716)创造二进制后不久，见到了传教士白晋(JBouvet，1656-1730)从中国寄去的八卦莱布尼茨认为，八卦中蕴含着二进制思想，因此惊叹不已实际上，假设把“-和“两种卦爻用1和0代替，八卦就可表示为,000(坤) 001(震) 010(坎) 011(兑),100(艮) 101(离) 110(巽) 111(乾),31,莱布尼茨说八卦是“流传于宇宙的科学中最古老的纪念物，这项创造“对于中国人民实在是值得庆幸的事情，并因此产生对中国古代文明的崇敬，热烈地希望到中国来由于种种原因，他未能如愿，便托人把自己亲手制造的手摇计算机送往中国，成为中、德关系史上的一段佳话,32,5早期的数学工具-算筹与规、矩,算筹即用于计算的小竹棍(也有木质、骨质或金属材料的算筹)，它是中国人创造的计算工具春秋战国时代，算筹的使用已相当普遍，书中多有记载，如“孟子持筹而算之(十发)，“善计者不用筹策(老子)，等等1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒，内装竹棍40根，长短一致，约12厘米，是为算筹之实物,33,用筹进展计算称为筹算据文献记载，筹式有纵横两种：,(图中第一行为纵式，第二行为横式)算筹的摆法是纵横相间，从右到左：个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，遇零那么空位例如2561摆成 ，308摆成 ,34,筹算加减法与今珠算类似，从左到右逐位相加或相减即可筹算乘除法的步骤稍微复杂一些二数相乘(如4836)时，先用筹摆一数于上，一数于下，并使下数的末位和上数首位对齐(图46(1)，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下二数中间(图46(2)，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位(图46(3)，再以上数第二位乘下数各位，参加中间的乘积，并去掉上数第二位(图46(4),35,直到上数各位用完，中间的数便是结果筹算除法也分三层，上层是商；中层是被除数，叫实；下层是除数，叫法,36,算筹在中国数学史上占有非常重要的地位，在长达两千年的时间里，算筹一直是中国的主要计算工具，直到元明时代才逐渐被珠算所代替,筹算的优点是简便、灵活，用一些小竹木棍便可进展复杂的计算它的缺点是中间步骤不能保存，因此不便于检验另外，过分依赖于算具，也不利于数学的符号化和抽象化,37,规、矩是两种测绘工具规即圆规，矩是直角拐尺，用来画直线形商代甲骨文中已有规和矩的象形字，所以它们最迟在商代已经出现春秋战国时期，这两种工具被普遍用于测量和几何作图,38,四、周髀bi算经,周髀是西汉初期的一部天文、数学著作髀是量日影的标杆(亦称表)，因书中记载了不少周代的天文知识，故名周髀唐初凤选定数学课本时，取名周髀算经,39,1勾股定理,在中国，周髀算经是第一部记载勾股定理的书该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。即邪至日弦= 图4.7,40,2等差数列,周髀算经中的“七衡便是一等差数列七衡是七个等距离的同心圆，最里面的圆径为238000里，相邻两圆间距离为,里，书中给出计算各圆径的一般法那么：“欲知次衡径，倍而增内衡之径二之以增内衡径，得三衡径次衡放(仿)此这相当于给出通项公式DnD1(n-1)2d，,其中d为相邻两圆间的距离,41,3内插法,所谓内插法，是假设干自变量所对应的函数值，求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法，古代常用来推算日、月、五星(即金星、木星、水星、火星、土星)的行度，为制订历法效劳内插分两种-等间距内插和不等间距内插等间距指的是自变量的间距相等设自变量x，等间距h，函数关系为f，假设函数值之差 f(xnh)-f(x(n1)h)(即一次差，其中n=1，2，)为一不等于0的常数，那么用一次内插法；假设这些函数值之差的差(即二次差)为一不等于0的常数，那么用二次内插法，依此类推用现代数学的观点来看，n次内插法反映的是n次函数关系,42,周髀算经中的内插法是最简单的等间距一次内插法已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影长，推算其他节气的日影长假定每两个节气的时间间隔相等，并以f(a)，f(b)表示夏至及冬至的日影长，那么有,其中,f(n,),是从夏至到冬至的第,n,个节气的日影长，,被称为损益数,43,4相似形与测量术,周髀算经中记载着商高的“用矩之道：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法第二、三、四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离,44,下面以第二句为例说明测量方法：设AB为矩的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一段，AD为图48所示之可测距离，DE 为所求，那么由 得,其中显然用到了相似原理，可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了,45,感谢聆听,祝君如意,Email: yangfengzhliqinsina,46,