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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第九讲反函数,回归课本,1.反函数概念：函数f(x)的定义域为A，值域为B，由,yf(x)求出x(y)，对于B中的每一个元素y，在A中都有唯一的x值和它对应，那么x(y)叫函数yf(x)的反函数，记作：xf1(y)，通常情况下，一般用x表示自变量，故记作：yf1(x)，注意函数yf(x)存在反函数的条件是定义域与值域是一一对应的,2互为反函数三要素之间的关系是：对应法那么互逆，定义域、值域互换,3求yf(x)的反函数有三个步骤：由yf(x)解得xf1(y)(反解)；将x与y互换，得yf1(x)；写出反函数的定义域，即原函数的值域显然yf(x)xf1(y),4yf(x)与yf1(x)互为反函数，假设yf(x)的定义域为A，值域为B，那么ff1(x)x(xB)，f1f(x)x(xA),5f1(a)bf(b)a，即点(a，b)在反函数图象上，那么(b，a)一定在原函数图象上，反之亦然,6互为反函数的两个函数图象关于直线yx对称；互为反函数的两个函数假设单调那么具有一样的单调性,yf(x)与xf1(y)为同一函数，在同一坐标系下的图象是一样的,7定义域上的单调函数必有反函数，周期函数不存在反函数，定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数,8假设函数yf(x)的图象关于直线yx成轴对称图形，那么f(x)f1(x)；假设yf(x)与yg(x)关于yx对称，那么g(x)f1(x),9分段函数的反函数须分别求出,各段函数的反函数,再,合成,10反函数问题通常转化为,原函数问题,解决,11拓展：(1)(,a,，,b,)点关于,y,x,的对称点为,(,b,，,a,),，反之亦然,(2)点(,a,，,b,)关于直线,y,x,t,的对称点为,(,b,t,)，,a,t,),，反之亦然,(3)一般地，,y,f,(,x,b,)与,y,f,1,(,x,b,)关于,y,x,b,对称,12如果(,a,，,b,)是,y,f,(,x,)与,y,f,1,(,x,)的交点，那么,(,b,，,a,),也是二者图象的交点，并且交点,不一定,在对称轴,y,x,上,考点陪练,1.假设函数f(x)的反函数为f1(x)，那么函数f(x1)与f1(x1)的图象可能是(),解析：因为函数f(x)的图象与其反函数f1(x)的图象关于直线yx对称，将直线yx向右平移一个单位得到直线yx1，那么函数f(x1)与f1(x1)的图象关于直线yx1对称淘汰B、D；在直角坐标系中，易得点(0,1)关于直线yx1的对称点为(2，1)，淘汰C.选A.,答案：A,答案：,A,答案：,D,答案：,A,点评：对于有关抽象函数的反函数问题，考生处理起来往往觉得困难，这就要求考生真正正确地理解反函数的定义以及相关的对称性等如此题，在将一个函数的图象平移过程中，要注意相应的解析式是如何变化的，以及在将函数图象进展对称变换的过程中，其相应的解析式又应当如何变化，只有将这些真正弄清楚，才能正确地解答此题,答案：,2,类型一求函数的反函数,解题准备：1.反函数与原函数的关系：,2分段函数的反函数仍是分段函数，要分段来求，一般的是把各分段上的函数看作独立函数，分别求出它们的反函数，然后再拼合到一起，求得的反函数一定要标明其定义域,点评,(1)由反函数的定义可得，求反函数的步骤：,求值域；,反解；,改写,(2)分段函数应在各自的条件下，分别求反函数及反函数的定义域分段函数的反函数也是分段函数,答案,4,点评(1)此题中常见的错误是误认为f1(x1)的反函数就是f(x1)，其实f1(x1)的反函数为f(x)1，f1(x1)与f(x1)的图象关于直线yx1对称,(2)要证函数g(x)的图象关于直线yx对称，只需要证明g(x)g1(x),此题假设先求反函数，再由反函数的解析式判断其增减性，那么计算量大大增加，小题大作了,
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