北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形复习ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,方法技巧训练,1,利用特殊四边形,的性质巧解动点问题,第一章,特殊平行四边形,1,2,3,4,1,如图，在,ABCD,中，,E,，,F,两点在对角线,BD,上运动，且保持,BE,DF,，连接,AE,，,CF,.,请你猜想,AE,与,CF,有怎样的数量关系和位置关系,，,并,对你的猜想加以证明,1,类型,平行四边形中的动点问题,AE,CF,，,AE,CF,.,证明如下：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB,CD,，,AB,CD,.,ABE,CDF,.,在,ABE,和,CDF,中，,AB,CD,，,ABE,CDF,，,BE,DF,，,ABE,CDF,.,AE,CF,，,AEB,CFD,.,AEB,AED,CFD,CFB,180,，,AED,CFB,.,AE,CF,.,返回,解：,2,在矩形,ABCD,中，,AB,4 cm,，,BC,8 cm,，,AC,的垂直平分线,EF,分别交,AD,，,BC,于点,E,，,F,，垂足为,O,.,(1),如图,，连接,AF,，,CE,，试,证明四边,形,AFCE,为菱形，并求,AF,的长,2,类型,矩形中的动点问题,四边形,ABCD,是矩形，,AD,BC,.,CAD,ACB,，,AEF,CFE,.,EF,垂直平分,AC,，垂足为,O,，,OA,OC,.,AOE,COF,.,OE,OF,.,证明,：,四边形,AFCE,为平行四边形,又,EF,AC,，,四边形,AFCE,为菱形,设,AF,CF,x,cm,，则,BF,(8,x,)cm,，,在,R,t,ABF,中，,AB,4 cm,，,由勾股定理得,4,2,(8,x,),2,x,2,，,解得,x,5,，,AF,5 cm.,(2),如图,，动点,P,，,Q,分别从,A,，,C,两点同时出发，沿,AFB,和,CDE,各边匀速运动一周，即点,P,自,A,F,B,A,停止，点,Q,自,C,D,E,C,停止,在运动过程中，已知点,P,的速度为,5 cm/,s,，点,Q,的速度为,4 cm/,s,，运动时间为,t,s,，,当以,A,，,C,，,P,，,Q,四点为顶点,的四边形是平行四边形时，求,t,的值,显然当点,P,在,AF,上，点,Q,在,CD,上时，,A,，,C,，,P,，,Q,四点不可能构成平行四边形；,同理点,P,在,AB,上时，点,Q,在,DE,或,CE,上，也不可能构成平行四边形,因此只有当点,P,在,BF,上，点,Q,在,ED,上时，才能构成平行四边形,。,如图，连接,AP,，,CQ,，则以,A,，,C,，,P,，,Q,四点为顶点的四边形是平行,四边形，此时,PC,QA,.,点,P,的速度为,5 cm/s,，点,Q,的速度为,4 cm/s,，运动时间为,t,s,，,PC,5,t,cm,，,QA,(12,4,t,)cm.,5,t,12,4,t,，解得,t,.,以,A,C,P,Q,四点为顶点的四边形是平行四边形时，,t,.,返回,3,如图，在菱形,ABCD,中，,B,60,，动点,E,在边,BC,上，动点,F,在边,CD,上,(1),如图,，若,E,是,BC,的中点，,AEF,60,，求证：,BE,DF,；,3,类型,菱形中的动点问题,连接,AC,.,在菱形,ABCD,中，,B,60,，,AB,BC,CD,，,BCD,180,B,120.,ABC,是等边三角形,又,E,是,BC,的中点，,AE,BC,.,AEF,60,，,FEC,90,AEF,30.,CFE,180,FEC,BCD,180,30,120,30.,FEC,CFE,.,EC,CF,.,BE,DF,.,返回,证明,：,3,如图，在菱形,ABCD,中，,B,60,，动点,E,在边,BC,上，动点,F,在边,CD,上,(2),如图，若,EAF,60,，,求证：,AEF,是等边三角形,连接,AC,.,由,(1),知,ABC,是等边三角形，,AB,AC,，,ACB,BAC,EAF,60.,BAE,CAF,.,BCD,120,，,ACB,60,，,ACF,60,B,.,ABE,ACF,.,AE,AF,.,AEF,是等边三角形,证明,：,4,如图，正方形,ABCD,的边长为,8 cm,，,E,，,F,，,G,，,H,分别是,AB,，,BC,，,CD,，,DA,上的动点，且,AE,BF,CG,DH,.,(1),求证：四边形,EFGH,是正方形,；,4,类型,正方形中的动点问题,证明：如图，,四边形,ABCD,为正方形，,A,ABC,C,ADC,90,，,AB,BC,CD,AD,.,AE,BF,CG,DH,，,BE,CF,DG,AH,.,AEH,BFE,CGF,DHG,.,EH,EF,FG,GH,，,1,2.,四边形,EFGH,为菱形,1,3,90,，,1,2,，,2,3,90.,HEF,90.,四边形,EFGH,为菱形，,四边形,EFGH,为正方形,4,如图，正方形,ABCD,的边长为,8 cm,，,E,，,F,，,G,，,H,分别是,AB,，,BC,，,CD,，,DA,上的动点，且,AE,BF,CG,DH,.,(,2),判断直线,EG,是否经过,一,个,定点，并说明理由,解：直线,EG,经过一个定点,理由如下：如图，连接,BD,，,DE,，,BG,，,EG,，,EG,与,BD,交于,O,点,BE,DG,，,四边形,BGDE,为平行四边形,BD,，,EG,互相平分,BO,OD,.,点,O,为正方形的中心,直线,EG,必过正方形的中心,返回,方法技巧训练,2,特殊平行四边形中,的五种常见热门题型,第一章,特殊平行四边形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,如图，将一张长为,10 cm,，宽为,8 cm,的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线,(,图,中的虚线,),剪下，再打开，得到的菱形的面积为,(,),A,10 cm,2,B,20 cm,2,C,40 cm,2,D,80 cm,2,A,返回,1,题型,特殊平行四边形中的折叠问题,2,(,中考,泰安,),如图，在矩形,ABCD,中，,E,是,AD,的,中,点,，将,ABE,沿直线,BE,折叠后得到,GBE,，延长,BG,交,CD,于点,F,，若,AB,6,，,BC,4,，,则,FD,的长,为,(,),A,2,B,4,C,.,D,2,B,返回,3,如图，将正方形纸片,ABCD,折叠，使边,AB,，,CB,均落在对角线,BD,上，得折痕,BE,，,BF,，则,EBF,的大小为,(,),A,15 B,30,C,45 D,60,C,返回,4,如图，在,R,t,ABC,中，,B,90,，,AC,60 cm,，,A,60.,点,D,从点,C,出发沿,CA,方向以,4 cm/,s,的速度向点,A,匀速运动，同时点,E,从点,A,出发沿,AB,方向以,2 cm/,s,的,速度向点,B,匀速运动，,2,题型,特殊平行四边形中的动点问题,当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运,动,设点,D,，,E,运动的时间是,t,s,(0,t,15),过点,D,作,DF,BC,于点,F,，连接,EF,.,若四边形,AEFD,为菱形，则,t,的值为,(,),A,5 B,10,C,15 D,20,B,返回,5,如图，正方形,ABCD,的边长为,4,，,DAC,的平分线交,DC,于点,E,.,若点,P,，,Q,分别是,AD,和,AE,上的动点，则,DQ,PQ,的最小值是,(,),A,2,B,4,C,2,D,4,C,返回,6,如图，在四边形,ABCD,中，,AC,a,，,BD,b,，,AC,BD,，顺次连接四边形,ABCD,各边中点，得四边形,A,1,B,1,C,1,D,1,，再顺次连接四边形,A,1,B,1,C,1,D,1,各边中点，得四边形,A,2,B,2,C,2,D,2,，,，如此进行下去,，,得,四边形,A,n,B,n,C,n,D,n,.,3,题型,特殊平行四边形中的中点四边形问题,下列结论正确的是,(,),四边形,A,4,B,4,C,4,D,4,是菱形,；,四边形,A,3,B,3,C,3,D,3,是矩形；,四边形,A,7,B,7,C,7,D,7,的周长为,；,四边形,A,n,B,n,C,n,D,n,的面积为,.,A,B,C,D,A,返回,7,(,中考,广安,),如图，,E,，,F,，,G,，,H,分别为菱形,ABCD,四边的中点，,AB,6 cm,，,ABC,60,，则四边形,EFGH,的面积为,_,9 cm,2,返回,8,(,中考,枣庄,),如图，边长为,1,的正方形,ABCD,绕点,A,逆时针旋转,45,得到正方形,AB,1,C,1,D,1,，边,B,1,C,1,与,CD,交于点,O,，则四边形,AB,1,OD,的面积是,(,),A.,B.,C.,D,1,C,4,题型,特殊平行四边形中的图形变换问题,返回,9,如图，四边形,ABCD,是正方形，点,G,是,BC,边上任意一点，,DE,AG,于点,E,，,BF,DE,，交,AG,于点,F,.,(1),求证：,AF,BF,EF,.,四边形,ABCD,是正方形，,AB,AD,，,BAD,BAG,EAD,90.,DE,AG,，,AED,DEG,90.,EAD,ADE,90.,ADE,BAF,.,又,BF,DE,，,BFA,DEG,90.,证明：,在,AED,和,BFA,中，,AED,BFA,，,ADE,BAF,，,AD,AB,，,AED,BFA,(AAS),BF,AE,.,AF,AE,EF,，,AF,BF,EF,.,(,2),将,ABF,绕点,A,逆时针旋转，使得,AB,与,AD,重合，记此时点,F,的对应点为点,F,.,若正方形,ABCD,的边长为,3,，求点,F,与旋转前的图形中点,E,之间的距离,如图，将,ABF,绕,A,点逆时针旋转得到,ADF,，,B,与,D,重合，连接,F,E,，由,(1),得,DE,AF,.,根据题意，知,FAF,90,，,DE,AF,AF,，,F,AE,AED,90.,即,F,AE,AED,180.,解：,AF,ED,.,四边形,AEDF,为平行四边形,又,AED,90,，,四边形,AEDF,是矩形,AD,EF,.,AD,3,，,EF,3.,即点,F,与旋转前的图形中点,E,之间的距离为,3.,返回,10,如图，在,ABCD,中，,E,，,F,分别是,AB,，,CD,的中点，连接,AF,，,CE,.,(1),求证：,BEC,DFA,；,5,题型,灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明,四边形,ABCD,为平行四边形，,AB,CD,，,B,D,，,BC,AD,.,E,，,F,分别是,AB,，,CD,的中点，,BE,DF,.,BEC,DFA,(SAS),返回,证明：,10,如图，在,ABCD,中，,E,，,F,分别是,AB,，,CD,的中点，连接,AF,，,CE,.,(,2),连接,AC,，当,CA,CB,时，判断四边形,AECF,是什么特殊四边形，并说明理由,四边形,AECF,是矩形理由如下：,AE,AB,，,CF,CD,，,AB,CD,，,AE,CF,.,又,AE,CF,，,四边形,AECF,是平行四边形,当,CA,CB,时，,AE,EB,，,CE,AB,.,AEC,90.,四边形,AECF,是矩形,返回,解：,11,(,中考,漳州,),如图，在矩形,ABCD,中，点,E,在边,CD,上，将该矩形沿,AE,折叠，使点,D,落在边,BC,上的点,F,处，过点,F,作,FG,CD,，交,AE,于点,G,，连接,DG,.,(1),求证：四边形,DEFG,为菱形,；,如,图，根据折叠的性质，得,DG,FG,，,ED,EF,，,1,2,，,FG,CD,，,3,1.,2,3.,FG,FE,.,DG,GF,EF,DE,.,四边形,DEFG,为菱形,证明：,11,(,中考,漳州,),如图，在矩形,ABCD,中，点,E,在边,CD,上，将该矩形沿,AE,折叠，使点,D,落在边,BC,上的点,F,处，过点,F,作,FG,CD,，交,AE,于点,G,，连接,DG,.,(,2),若,CD,8,，,CF,4,，求的值,设,DE,x,，则,EF,DE,x,，,EC,8,x,，,在,Rt,EFC,中，,FC,2,EC,2,EF,2,，,即,4,2,(8,x,),2,x,2,，,解得,x,5.,DE,5,，,CE,8,x,3.,.,解：,12,如图,，在正方形,ABCD,中，,E,，,F,分别是边,AD,，,DC,上的点，且,AF,BE,.,(1),求证：,AF,BE,.,四边形,ABCD,是正方形，,AD,AB,，,D,BAE,90.,DAF,BAF,90.,AF,BE,，,ABE,BAF,90.,DAF,ABE,.,DAF,ABE,(ASA),AF,BE,.,证明：,(,2),如图,，在正方形,ABCD,中，,M,，,N,，,P,，,Q,分别是边,AB,，,BC,，,CD,，,DA,上的点，且,MP,NQ,.,MP,与,NQ,是否相等？并说明理由,MP,与,NQ,相等理由如下：,过点,A,作,AF,MP,交,CD,于,F,，过点,B,作,BE,NQ,交,AD,于,E,，,则四边形,AMPF,、四边形,BNQE,都是平行四边形，,AF,MP,，,BE,NQ,.,MP,NQ,，,AF,BE,.,由,(1),知,AF,BE,，,MP,NQ,.,返回,解：,方法技巧训练,3,菱形性质与判定的灵活运用,第一章,特殊平行四边形,1,2,3,4,1,(,中考,北京,),如图，在四边形,ABCD,中，,BD,为一条对角线，,AD,BC,，,AD,2,BC,，,ABD,90,，,E,为,AD,的中点，连接,BE,.,(1),求证：四边形,BCDE,为菱形；,1,类型,利用菱形的判定证明菱形,AD,2,BC,，,E,为,AD,的中点，,DE,BC,.,AD,BC,，,四边形,BCDE,是平行四边形,ABD,90,，,E,为,AD,的中点，,BE,AD,DE,.,四边形,BCDE,是菱形,证明：,1,(,中考,北京,),如图，在四边形,ABCD,中，,BD,为一条对角线，,AD,BC,，,AD,2,BC,，,ABD,90,，,E,为,AD,的中点，连接,BE,.,(2),连接,AC,若,AC,平分,BAD,，,BC,1,，求,AC,的长,AD,BC,，,AC,平分,BAD,，,BAC,DAC,BCA,.,AB,BC,1.,ABD,90,，,E,为,AD,的中点，,BE,AE,AD,.,AD,2,BC,2,，,BE,AE,1,AB,.,解：,ABE,为等边三角形,BAE,60.,DAC,30,，,ADB,30.,ADC,60.,ACD,90.,在,Rt,ACD,中，,AD,2,，,DAC,30,，,CD,1.,AC,.,返回,2,(,中考,兰州,),如图,，将一,张矩形纸片,ABCD,沿着对,角线,BD,向上折叠，顶点,C,落到点,E,处，,BE,交,AD,于点,F,.,(1),求证：,BDF,是等腰三角形；,2,类型,利用菱形的性质与判定解折叠问题,由,折叠得,BDC,BDE,，,DBC,DBE,.,又,四边形,ABCD,是矩形，,AD,BC,.,DBC,FDB,.,DBE,FDB,.,DF,BF,.,BDF,是等腰三角形,证明：,(2),如图,，过点,D,作,DG,BE,，交,BC,于点,G,，连接,FG,交,BD,于点,O,.,判断四边形,BFDG,的形状，并说明理由；,若,AB,6,，,AD,8,，求,FG,的长,四边形,BFDG,是菱形理由如下：,四边形,ABCD,是矩形，,FD,BG,.,DG,BE,，,四边形,BFDG,是平行四边形,DF,BF,，,四边形,BFDG,是菱形,解：,四边形,ABCD,是矩形，,A,90.,BD,.,四边形,BFDG,是菱形，,GF,BD,，,FG,2,OF,，,OB,BD,5.,设,DF,BF,x,，,则,AF,AD,DF,8,x,，,在,Rt,ABF,中，,AB,2,AF,2,BF,2,，,即,6,2,(8,x,),2,x,2,，,返回,3,(,中考,包头,),如图，在,ABC,中，,C,90,，,B,30,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DE,BA,交,AC,于点,E,，,DF,CA,交,AB,于点,F,，已知,CD,3.,(1),求,AD,的长；,3,类型,利用菱形的性质与判定求线段的长,C,90,，,B,30,，,CAB,60.,AD,平分,CAB,，,CAD,CAB,30.,在,Rt,ACD,中，,ACD,90,，,CAD,30,，,AD,2,CD,6.,解：,3,(,中考,包头,),如图，在,ABC,中，,C,90,，,B,30,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DE,BA,交,AC,于点,E,，,DF,CA,交,AB,于点,F,，已知,CD,3.,(2),求四边形,AEDF,的周长,(,注意：本题中的计算过程和结果均保留根号,),DE,BA,交,AC,于点,E,，,DF,CA,交,AB,于点,F,，,四边形,AEDF,是平行四边形，,EAD,ADF,.,又,EAD,FAD,，,ADF,FAD,.,AF,DF,.,四边形,AEDF,是菱形,AE,DE,DF,AF,.,解：,DE,AB,，,EDC,B,30.,在,Rt,CED,中，,CDE,30,，,CE,DE,.,又,CE,2,CD,2,DE,2,，,DE,2 (,负值舍去,),四边形,AEDF,的周长为,8 .,返回,4,如图，分别以,Rt,ABC,的斜边,AB,、直角边,AC,为边向,ABC,外作等边三角形,ABD,和等边三角形,ACE,，,F,为,AB,的中点，,DE,与,AB,交于点,G,，,EF,与,AC,交于点,H,，,ACB,90,，,BAC,30,，,给出如下结论：,4,类型,利用菱形的性质与判定解决相关问题,EF,AC,；,四边形,ADFE,为菱形；,AD,4,AG,；,FH,BD,.,其中正确的结论是,(,),A,B,C,D,C,返回,方法技巧训练,4,矩形性质与判定的灵活运用,第一章,特殊平行四边形,1,2,3,4,1,(,中考,扬州,),如图，,AC,为矩形,ABCD,的对角线，将边,AB,沿,AE,折叠，使点,B,落在,AC,上的点,M,处，将边,CD,沿,CF,折叠，使点,D,落在,AC,上的点,N,处,(1),求证：四边形,AECF,是,平行四边形；,1,类型,利用矩形的性质与判定求线段的长,由题意可得,AM,AB,，,CN,CD,，,FNC,D,90,，,AME,B,90.,ANF,90,，,CME,90.,ANF,CME,.,四边形,ABCD,为矩形，,AB,CD,，,AD,BC,.,AM,CN,，,FAN,ECM,.,AM,MN,CN,MN,，即,AN,CM,.,证明：,在,ANF,和,CME,中，,FAN,ECM,，,AN,CM,，,ANF,CME,，,ANF,CME,(ASA),AF,CE,.,又,AF,CE,，,四边形,AECF,是平行四边形,1,(,中考,扬州,),如图，,AC,为矩形,ABCD,的对角线，将边,AB,沿,AE,折叠，使点,B,落在,AC,上的点,M,处，将边,CD,沿,CF,折叠，使点,D,落在,AC,上的点,N,处,(2),若,AB,6,，,AC,10,，,求四边形,AECF,的面积,AB,6,，,AC,10,，,BC,8.,设,CE,x,，则,EM,BE,8,x,，,CM,10,6,4.,在,Rt,CEM,中，,(8,x,),2,4,2,x,2,，解得,x,5.,四边形,AECF,的面积为,CE,AB,56,30.,返回,解：,2,如图，在,ABC,中，,A,90,，,D,是,AC,上的,一,点,，,BD,DC,，,P,是,BC,上的任意一点，,PE,BD,，,PF,AC,，,E,，,F,为垂足,试判断线段,PE,，,PF,，,AB,之间的数量关系,，,并,说明理由,2,类型,利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系,PE,PF,AB,.,理由：过点,P,作,PG,AB,于,G,，交,BD,于,O,，如图所示,PF,AC,，,A,90,，,A,AGP,PFA,90.,四边形,AGPF,是矩形,AG,PF,，,PG,AC,.,解：,又,BD,DC,，,C,GPB,DBP,.,OB,OP,.,PG,AB,，,PE,BD,，,BGO,PEO,90.,在,BGO,和,PEO,中，,BGO,PEO,，,GOB,EOP,，,OB,OP,，,BGO,PEO,.,BG,PE,.,AB,BG,AG,，,PE,PF,AB,.,返回,3,如图，在四边形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，,AO,CO,，,BO,DO,，且,ABC,ADC,180.,(1),求证：四边形,ABCD,是矩形；,3,类型,利用矩形的性质与判定求角,AO,CO,，,BO,DO,，,四边形,ABCD,是平行四边形,ABC,ADC,.,ABC,ADC,180,，,ABC,ADC,90.,ABCD,是矩形,证明：,3,如图，在四边形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，,AO,CO,，,BO,DO,，且,ABC,ADC,180.,(2),若,ADF,FDC,3,2,，,DF,AC,，求,BDF,的度数,ADC,90,，,ADF,FDC,3,2,，,FDC,36.,DF,AC,，,DCO,90,36,54.,四边形,ABCD,是矩形，,OC,OD,.,ODC,DCO,54.,BDF,ODC,FDC,54,36,18.,返回,解：,4,如图，已知点,E,是,ABCD,中,BC,边的中点，连接,AE,并延长交,DC,的延长线于点,F,.,(1),连接,AC,，,BF,，若,AEC,2,ABC,，,求证,：四边形,ABFC,为矩形,；,4,类型,利用矩形的性质与判定求面积,四边形,ABCD,为平行四边形，,AB,DC,.,ABE,ECF,.,又,点,E,为,BC,的中点，,BE,CE,.,在,ABE,和,FCE,中，,ABE,FCE,，,BE,CE,，,AEB,FEC,，,ABE,FCE,.,AB,CF,.,证明：,又,AB,CF,，,四边形,ABFC,为平行四边形,AE,EF,.,AEC,为,ABE,的外角，,AEC,ABC,EAB,.,又,AEC,2,ABC,，,ABC,EAB,.,AE,BE,.,AE,EF,BE,CE,，,即,AF,BC,.,四边形,ABFC,为矩形,4,如图，已知点,E,是,ABCD,中,BC,边的中点，连接,AE,并延长交,DC,的延长线于点,F,.,(,2),在,(1),的条件下，若,AFD,是,等边三角形,，且边长为,4,，,求,四边形,ABFC,的面积,四边形,ABFC,是矩形，,AC,DF,.,又,AFD,是等边三角形，,返回,解：,全章热门考点整合应用,第一章,特殊平行四边形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,如图，,ACB,ADB,90,，,M,，,N,分别是,AB,，,CD,的中点,(1),求证：,MN,CD,；,(2),若,AB,10,，,CD,8,，求,MN,的长,1,考点,一个定理,直角三角形斜边上的中线定理,连接,DM,，,CM,.,由已知得,CM,AB,，,DM,AB,.,CM,DM,.,又,点,N,为,CD,的中点，,MN,CD,.,AB,10,，,CD,8,，,DM,AB,5,，,DN,CD,4.,又,MN,CD,，,MN,3.,返回,(1),证明：,(2),解：,2,如图，在等腰三角形,ABC,中，,AB,AC,，,AD,平分,BAC,，交,BC,于点,D,，在线段,AD,上任取一点,P,(,点,A,除外,),，过点,P,作,EF,AB,，分别交,AC,，,BC,于点,E,，,F,，作,PM,AC,，交,AB,于点,M,，连接,ME,.,(1),求证：四边形,AEPM,为菱形,（菱形）,2,考点,三个图形,EF,AB,，,PM,AC,，,四边形,AEPM,为平行四边形,AD,平分,BAC,，,CAD,BAD,.,EP,AB,，,BAD,EPA,.,EAP,EPA,.,EA,EP,.,四边形,AEPM,为菱形,证明：,(,2),当点,P,在何处时，菱形,AEPM,的面积为四边形,EFBM,面积的一半？请说明理由,解：当,点,P,为,EF,的中点时，,S,菱形,AEPM,S,四边形,EFBM,.,理由：,四边形,AEPM,为菱形，,AP,EM,.,AB,AC,，,CAD,BAD,，,AD,BC,.,EM,BC,.,又,EF,AB,，,四边形,EFBM,为平行四边形,过点,E,作,EN,AB,于点,N,，如图，,EP,EF,，,S,菱形,AEPM,AM,EN,EP,EN,EF,EN,S,四边形,EFBM,.,返回,3,感知：如图,，在矩形,ABCD,中，点,E,是边,BC,的中点，将,ABE,沿,AE,折叠，使点,B,落在矩形,ABCD,内部的点,F,处，连接,AF,并延长,，,交,CD,于点,G,，连接,FC,，,易,证,GCF,GFC,.,（矩形）,2,考点,三个图形,探究,：将图,中的矩形,ABCD,改为平行四边形，其他条件不变，如图,，判断,GCF,GFC,是否仍然成立，并说明理由,GCF,GFC,仍然成立理由如下：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB,CD,.,B,ECG,180.,AFE,是由,ABE,翻折得到的，,AFE,B,，,EF,BE,.,又,AFE,EFG,180,，,ECG,EFG,.,解：,点,E,是边,BC,的中点，,EC,BE,.,EF,BE,，,EC,EF,.,ECF,EFC,.,ECG,ECF,EFG,EFC,.,GCF,GFC,.,应用,：如图,，若,AB,5,，,BC,6,，则,ADG,的周长为,_,16,返回,4,如图，在,R,t,ABC,中，,ACB,90,，过点,C,的直线,MN,AB,，,D,为,AB,边上一点，过点,D,作,DE,BC,，交直线,MN,于,E,，垂足为,F,，连接,CD,，,BE,.,(1),求证：,CE,AD,.,（正方形）,2,考点,三个图形,DE,BC,，,DFB,90.,ACB,90,，,ACB,DFB,.,AC,DE,.,MN,AB,，即,CE,AD,，,四边形,ADEC,是平行四边形,CE,AD,.,证明：,(,2),当点,D,为,AB,的中点时，四边形,BECD,是什么特殊四边形？请说明理由,四边形,BECD,是菱形,理由：,D,为,AB,的中点，,AD,BD,.,CE,AD,，,BD,CE,.,又,BD,CE,，,四边形,BECD,是平行四边形,ACB,90,，,D,为,AB,的中点，,CD,BD,.,四边形,BECD,是菱形,解：,(,3),若点,D,为,AB,的中点，则当,A,的大小满足什么条件时，四边形,BECD,是正方形,？请说明理由,当,A,45,时，四边形,BECD,是正方形,理由如下：,ACB,90,，,A,45,ABC,A,45.,AC,BC,.,点,D,为,AB,的中点，,CD,AB,.,CDB,90.,四边形,BECD,是菱形，,菱形,BECD,是正方形,即当,A,45,时，四边形,BECD,是正方形,返回,解：,5,如图，在,ABC,中，,BAC,的平分线交,BC,于点,D,，,E,是,AB,上一点，且,AE,AC,，,EF,BC,交,AD,于点,F,.,求证：四边形,CDEF,是菱形,（判定与性质,1,菱形）,3,考点,三个判定与性质,如,图，连接,CE,，交,AD,于点,O,.,AC,AE,，,ACE,为等腰三角形,AO,平分,CAE,，,AO,CE,，且,OC,OE,.,EF,CD,，,1,2.,又,DOC,FOE,，,DOC,FOE,(,A,S,A,),OF,OD,，,即,CE,与,DF,互相垂直且平分,四边形,CDEF,是菱形,返回,证明：,6,(,中考,湘西州,),如图，在,ABCD,中，,DE,AB,，,BF,CD,，垂足分别为,E,，,F,.,求证：,(1),ADE,CBF,；,（判定与性质,2,矩形）,3,考点,三个判定与性质,四边形,ABCD,是平行四边形，,A,C,，,AD,CB,.,又,DE,AB,，,BF,CD,，,DEA,BFC,90.,ADE,CBF,.,证明：,6,(,中考,湘西州,),如图，在,ABCD,中，,DE,AB,，,BF,CD,，垂足分别为,E,，,F,.,求证：,(,2),四边形,DEBF,为矩形,ADE,CBF,，,AE,CF,.,CD,AB,，,DF,BE,.,又,CD,AB,，,四边形,DEBF,为平行四边形,又,DEB,90,，,四边形,DEBF,为矩形,返回,证明：,7,如图，,E,为正方形,ABCD,的边,AB,的延长线上一点，,DE,交,AC,于点,F,，交,BC,于点,G,，,H,为,GE,的中点,求证：,FB,BH,.,（判定与性质,3,正方形）,3,考点,三个判定与性质,四边形,ABCD,是正方形，,CD,BC,，,DCF,BCF,45,，,DCB,90,，,CBE,90.,又,CF,CF,，,DCF,BCF,.,CDF,CBF,.,证明：,H,为,GE,的中点，,HB,HG,GE,.,HGB,HBG,.,CDG,CGD,90,，,CGD,BGH,HBG,，,FBG,HBG,90,，,即,FBH,90.,FB,BH,.,返回,8,如图，在矩形,ABCD,中，,AB,10,，,BC,5,，点,E,，,F,分别在,AB,，,CD,上，将矩形,ABCD,沿,EF,折叠，使点,A,，,D,分别落在矩形,ABCD,外部的,点,A,1,，,D,1,处,，求阴影部分图形的周长,（技巧,1,解与四边形有关的折叠问题的技巧）,4,考点,四个技巧,在矩形,ABCD,中，,AB,10,，,BC,5,，,CD,AB,10,，,AD,BC,5.,又,将矩形,ABCD,沿,EF,折叠，使点,A,，,D,分别落在矩形,ABCD,外部的点,A,1,，,D,1,处，根据轴对称的性质可得，,A,1,E,AE,，,A,1,D,1,AD,，,D,1,F,DF,.,解：,设线段,D,1,F,与线段,AB,交于点,M,，则阴影部分的周长为,(,A,1,E,EM,MD,1,A,1,D,1,),(,MB,MF,FC,CB,),AE,EM,MD,1,AD,MB,MF,FC,CB,(,AE,EM,MB,),(,MD,1,MF,FC,),AD,CB,AB,(,FD,1,FC,),10,AB,(,FD,FC,),10,10,10,10,30.,返回,9,如图，正方形,ABCD,的对角线相交于点,O,，点,O,也是正方形,A,B,C,O,的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于,1,，那么正方形,A,B,C,O,绕顶点,O,转动,，两个正方形重叠部分的,面积,大小有什么,规律？请说明理由,（技巧,2,解与四边形有关的旋转问题的技巧）,4,考点,四个技巧,两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是,.,理由：,四边形,ABCD,是正方形，,OB,OC,，,OBE,OCF,45,，,BOC,90.,四边形,A,B,C,O,是正方形，,EOF,90.,EOF,BOC,.,EOF,BOF,BOC,BOF,，,解：,即,BOE,COF,.,BOE,COF,.,S,BOE,S,COF,.,两个正方形重叠部分的面积等于,S,BOC,.,S,正方形,ABCD,11,1,，,S,BOC,S,正方形,ABCD,.,两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是,.,返回,10,如图，在边长为,10,的菱形,ABCD,中，对角线,BD,16,，对角线,AC,，,BD,相交于,点,G,，,点,O,是直线,BD,上的动点,，,OE,AB,于,E,，,OF,AD,于,F,.,(1),求对角线,AC,的长及菱形,ABCD,的面积,（技巧,3,解与四边形有关的动态问题的技巧）,4,考点,四个技巧,解：,(,2),如图,，当点,O,在对角线,BD,上运动时，,OE,OF,的值是否发生变化？请说明理由,OE,OF,的值不变,理由如下：,如图,，连接,AO,，,则,S,ABD,S,ABO,S,AOD,，,BD,AG,AB,OE,AD,OF,，,即,166,10,OE,10,OF,.,解得,OE,OF,9.6,，是定值，不变,(,3),如图,，当点,O,在对角线,BD,的延长线上时，,OE,OF,的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究,OE,，,OF,之间的数量关系，并说明理由,OE,OF,的值发生变化，,OE,，,OF,之间的数量关系为,OE,OF,9.6.,理由如下：如图,，连接,AO,，则,S,ABD,S,ABO,S,AOD,，,BD,AG,AB,OE,AD,OF,，,即,166,10,OE,10,OF,.,解得,OE,OF,9.6,，是定值，不变,OE,OF,的值发生变化，,OE,，,OF,之间的数量关系为,OE,OF,9.6.,返回,11,如图，在,ABC,中，,AB,AC,，点,O,在,ABC,的内部，,BOC,90,，,OB,OC,，,D,，,E,，,F,，,G,分别是,AB,，,OB,，,OC,，,AC,的中点,(1),求证：四边形,DEFG,是矩形；,（技巧,4,解中点四边形的技巧）,4,考点,四个技巧,如,图，连接,AO,并延长，交,BC,于,H,.,AB,AC,，,OB,OC,，,AH,是,BC,的中垂线，,即,AH,BC,于,H,.,D,，,E,，,F,，,G,分别是,AB,，,OB,，,OC,，,AC,的中点，,DG,EF,BC,，,DE,AH,GF,.,证明：,四边形,DEFG,是平行四边形,EF,BC,，,AH,BC,，,AH,EF,.,DE,AH,，,DE,EF,.,DEF,90.,DEFG,是矩形,(,2),若,DE,2,，,EF,3,，求,ABC,的面积,BOC,是等腰直角三角形，,BC,2,EF,2,OH,23,6,，,AH,OA,OH,2,DE,EF,22,3,7.,S,ABC,BC,AH,67,21.,返回,解：,12,如图，把矩形纸片,ABCD,折叠，使点,B,落在点,D,处,，点,C,落在点,C,处，折痕,EF,与,BD,交于点,O,，已知,AB,16,，,AD,12,，求折痕,EF,的长,（思想,1,方程思想）,5,考点,三种思想,由已知易知,C,DF,CDA,90,，,C,DE,ADF,.,A,C,C,90,，,AD,BC,DC,，,DAF,DC,E,.,DF,DE,BF,.,四边形,ABCD,是矩形，,AB,DC,.,连接,BE,，则四边形,DFBE,是菱形,OE,OF,，,BD,EF,.,解：,设,AF,x,，则,DF,BF,16,x,.,在,Rt,DAF,中，,AD,2,AF,2,DF,2,，,即,12,2,x,2,(16,x,),2,.,整理得,32,x,112.,x,.,DF,.,在,Rt,ABD,中，,DB,2,AD,2,AB,2,12,2,16,2,400,，,返回,13,如图，在四边形,ABCD,中，,C,90,，,ABD,CBD,，,AB,CB,，,P,是,BD,上一点，,PE,BC,，,PF,CD,，垂足分别为点,E,，,F,.,求证：,PA,EF,.,（思想,2,转化思想）,5,考点,三种思想,如图，连接,PC,.,PE,BC,，,PF,CD,，,ECF,90,，,PEC,PFC,ECF,90.,四边形,PECF,是矩形,PC,EF,.,证明：,在,ABP,和,CBP,中，,AB,CB,，,ABP,CBP,，,BP,BP,，,ABP,CBP,(SAS),PA,PC,.,PA,EF,.,返回,14,阅读,在平面直角坐标系中，以任意两点,P,(,x,1,，,y,1,),，,Q(,x,2,，,y,2,),为端点的线段的中点坐标为,.,（思想,3,数形结合思想）,5,考点,三种思想,运用,(1),如图，矩形,ONEF,的对角线相交于点,M,，,ON,，,OF,分别在,x,轴和,y,轴上，,O,为坐标原点，点,E,的坐标为,(4,，,3),，则点,M,的坐标为,_,(2,，,1.5),(,2),在平面直角坐标系中，有,A,(,1,，,2),，,B,(3,，,1),，,C,(1,，,4),三点，另有一点,D,与点,A,，,B,，,C,构成平行四边形的顶点，求点,D,的坐标,设点,D,的坐标为,(,x,，,y,),以点,A,，,B,，,C,，,D,为顶点构成的四边形是平行四边形，,返回,